普遍代数（およびその応用）として知られる数学の分野において、部分直約代数とは、「より単純な」代数の部分直積として因数分解できない代数です。部分直約代数は、代数学において、数論における素数と似た役割を果たします。
意味
普遍代数 A が部分直接既約であるとは、 A が複数の要素を持ち、Aの任意の部分直接表現が(因子として) Aと同型の代数を含み、同型性が射影写像によって与えられる場合に言われます。
例
- 2元鎖は、ブール代数、ヘイティング代数、格子[1] :56 、半格子のいずれの場合でも、部分直接既約である。実際、2元鎖は、部分直接既約な分配格子である唯一のものである。[1] :56
- 2つ以上の要素を持つ有限鎖は、ヘイティング代数として、部分直接的に既約である。（これは、3つ以上の要素を持つ格子または半格子の鎖には当てはまらない。これらの連鎖は、2つの要素を持つ鎖に部分直接的に既約である。ヘイティング代数との違いは、bが格子順序の下でaと比較可能である場合でも、 a → bが格子順序の下でaと比較可能である必要はないことである。）
- 素数の a 乗の有限巡回群 (つまり、巡回p群) は、直接的に既約ではありません。[1] : 56 (直接的に既約な整数と素数の類似性の弱点の 1 つは、整数が、非同型な素数乗巡回群の無限族 (たとえば、メルセンヌ素数が無限にあると仮定した場合の a 乗の巡回群) によって直接的に表現できることです。) 実際、アーベル群が直接的に既約なのは、巡回p群と同型であるか、プリューファー群(有限のp部分群の直接の極限である、無限だが可算なp群) と同型である場合のみです。[1] : 61
- ベクトル空間は、次元が 1 の場合に限り、部分直接的に既約です。
プロパティ
普遍代数の部分直接表現定理は、すべての代数はその部分直接既約商によって部分直接表現可能であることを述べています。したがって、 「部分直接既約」の同等の定義は、 Aと同型でない商によって部分直接表現できない任意の代数Aです。（これは「その真の商によって」とは全く同じではありません。なぜなら、Aの真の商はAと同型になる可能性があり、例えば、2つの要素 3 と 4 だけを同一視することによって得られる半格子 ( Z , min ) の商などです。）
直接的な系として、任意の多様体は、準同型、部分代数、直積に関して閉じたクラスとして、その部分直約元によって決定される。なぜなら、多様体内のすべての代数Aは、 Aの部分直約商の適切な直積の部分代数として構成でき、これらの商はすべてAが多様体に属するため、多様体に属するからである。このため、多様体自体ではなく、その部分直約元のみを研究することが多い。
代数Aが部分直接既約である必要十分条件は、それが任意の真商で識別される2つの元を含む場合であり、また同値であり、その合同格子Con Aが最小非単位元を持つ場合であり、また同値である。つまり、任意の部分直接既約は、このようにその既約性を証明している特定の元対を必ず含んでいる。部分直接既約性の証明 ( a , b ) が与えられているとき、部分直接既約は ( a , b )-既約であると言う。
相似代数の任意のクラスCが与えられたとき、ヨンソンの補題（ビャルニ・ヨンソンによる）によれば、 Cによって生成された多様体 HSP( C ) が合同分配的であれば、その部分直約数は HSP U ( C ) に含まれる、すなわち、それらはCの元の超積の部分代数の商である。（C が有限代数の有限集合であれば、超積演算は冗長である。）
アプリケーション
Heyting 代数が部分直接既約であるための必要十分条件は、1 より厳密に小さい最大元が存在することです。証明ペアはその元と 1 であり、他の任意の元のペアa、bを同一視すると、 a → bとb → aの両方が1 と同一視され、それによってこれら 2 つの含意より上のすべてが 1 に縮小されます。したがって、Heyting 代数としての 2 つ以上の元の有限チェーンはすべて部分直接既約です。
ヨンソンの補題により、有限代数の有限集合によって生成される合同分配多様体の部分直接既約代数は、生成代数よりも大きくならない。これは、代数Aの商と部分代数がA自身よりも大きくなることはないからである。たとえば、有限線型順序付きヘイティング代数Hによって生成される多様体の部分直接既約数は、 Hの非退化商、つまり、より小さい線型順序付き非退化ヘイティング代数すべてでなければならない。この条件は一般には無視できない。たとえば、すべてのヘイティング代数の多様体は、その有限部分直接既約代数の集合によって生成されるが、任意（無限）の濃度の部分直接既約ヘイティング代数が存在する。任意の大きさの直約部分集合を持つ（非合同分配的）多様体を生成する単一の有限代数も存在する。[2]
参考文献
- ^ abcd Bergman, Clifford (2011). 『普遍代数：基礎と選択的トピックス』 Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6。
- ^ R. McKenzie、「有限代数の残差境界」、 Int. J. Algebra Comput. 6 (1996)、1–29。
- ピエール・アントワーヌ・グリエ (2007)。抽象代数。スプリンガー。ISBN 978-0-387-71567-4。
