非正規化演算子

数学、特に作用素論において、非正規作用素は、正規作用素に対する要求を弱めることによって定義されるヒルベルト空間上の有界作用素である。[1]非正規作用素の例としては、等長変換や解析記号を用いたテプリッツ作用素などがある。

意味

Hをヒルベルト空間とする。H上の有界作用素Aが非正規であるとは、A が正規拡大 を持つ場合を言う。言い換えれば、H がKに埋め込まれるようなヒルベルト空間Kが存在し、かつ次の形の 正規作用素N が存在する場合を言う。

北 ＝ [ あ B 0 C ] {\displaystyle N={\begin{bmatrix}A&B\\0&C\end{bmatrix}}}

いくつかの有界演算子の場合

B : H ⊥ → H 、 そして C : H ⊥ → H ⊥ 。 {\displaystyle B:H^{\perp }\rightarrow H,\quad {\mbox{and}}\quad C:H^{\perp }\rightarrow H^{\perp }.}

正規性、準正規性、非正規性

通常の演算子

すべての正規作用素は定義により非正規であるが、その逆は一般には成り立たない。ユニタリ作用素の性質を弱めることによって、単純な例のクラスが得られる。ユニタリ作用素は、稠密な 値域を持つ等長変換である。ここで、値域が必ずしも稠密ではない等長変換Aを考える。具体的な例として、片側シフトがあるが、これは正規ではない。しかし、Aは非正規であり、これは明示的に示すことができる。上の 作用素Uを定義する。

H ⊕ H {\displaystyle H\oplus H}

による

あなた ＝ [ あ 私 − あ あ ∗ 0 − あ ∗ ] 。 {\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}.}

直接計算により、Uはユニタリ演算子であり、したがってAの正規拡大であることが示される。演算子Uは等長変換Aのユニタリ拡大演算子と呼ばれる。

準正規演算子

演算子AがA*Aと可換であるとき、演算子Aは準正規演算子であると言われる。[2]正規演算子は準正規演算子であるが、その逆は成り立たない。反例として、上述のように、片側シフトが挙げられる。したがって、正規演算子の族は、準正規演算子と非正規演算子の両方の適切な部分集合である。当然の疑問として、準正規演算子と非正規演算子はどのように関連しているのか、という点が挙げられる。

準正規作用素は必然的に非正規作用素となるが、その逆は成り立たないことを示す。したがって、正規作用素は準正規作用素の適切な部分族であり、準正規作用素は非正規作用素に包含される。準正規作用素が非正規作用素であるという主張を論証するために、準正規作用素の以下の性質を思い出そう。

事実:有界演算子Aが準正規演算子であるための必要十分条件は、その極分解 A = UPにおいて、部分等長演算子Uと正演算子Pが可換であることだ。[3]

準正規分布Aが与えられたとき、 UとPの拡大を十分良い方法で構成し、すべてが可換になるようにするというのがアイディアである。ここではUが等長写像であると仮定する。VをUのユニタリ拡大写像とする。

V ＝ [ あなた 私 − あなた あなた ∗ 0 − あなた ∗ ] ＝ [ あなた D あなた ∗ 0 − あなた ∗ ] 。 {\displaystyle V={\begin{bmatrix}U&I-UU^{*}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U&D_{U^{*}}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}.}

定義する

質問 ＝ [ P 0 0 P ] 。 {\displaystyle Q={\begin{bmatrix}P&0\\0&P\end{bmatrix}}.}

演算子N = VQは明らかにAの拡張である。直接計算により、これが正規拡張であることを示す。V のユニタリ性は 、

北 ∗ 北 ＝ 質問 V ∗ V 質問 ＝ 質問 2 ＝ [ P 2 0 0 P 2 ] 。 {\displaystyle N^{*}N=QV^{*}VQ=Q^{2}={\begin{bmatrix}P^{2}&0\\0&P^{2}\end{bmatrix}}.}

一方で、

北 北 ∗ ＝ [ あなた P 2 あなた ∗ + D あなた ∗ P 2 D あなた ∗ − D あなた ∗ P 2 あなた − あなた ∗ P 2 D あなた ∗ あなた ∗ P 2 あなた ] 。 {\displaystyle NN^{*}={\begin{bmatrix}UP^{2}U^{*}+D_{U^{*}}P^{2}D_{U^{*}}&-D_{U^{*}}P^{2}U\\-U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&U^{*}P^{2}U\end{bmatrix}}.}

UP = PUであり、Pは自己随伴なので、 U*P = PU*かつD U* P = D U* Pが成り立ちます。成分を比較すると、Nが正規分布であることが分かります。これは、準正規性は非正規性を示唆することを証明しています。

逆が真ではないことを示す反例として、片側シフトAを再び考えてみましょう。あるスカラーsに対して、演算子B = A + s は非正規性を維持します。しかし、 Bが準正規性を持つ場合、単純な計算でA*A = AA*となり、これは矛盾となります。

最小法線伸展

正規拡張の非一意性

非正規作用素Aが与えられたとき、その正規拡大Bは一意ではない。例えば、A をl 2 ( N )上の片側シフトとする。正規拡大の一つはl 2 ( Z ) 上の両側シフトBであり、これは次のように定義される。

B （ … 、 1つの − 1 、 1つの ^ 0 、 1つの 1 、 … ） ＝ （ … 、 1つの ^ − 1 、 1つの 0 、 1つの 1 、 … ） 、 {\displaystyle B(\ldots ,a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},\ldots )=(\ldots ,{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},\ldots ),}

ここで、ˆは0番目の位置を表す。Bは演算子行列で表される 。

B ＝ [ あ 私 − あ あ ∗ 0 あ ∗ ] 。 {\displaystyle B={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&A^{*}\end{bmatrix}}.}

もう1つの通常の拡張は、上で定義したAの単位拡大B'によって与えられます。

B ′ ＝ [ あ 私 − あ あ ∗ 0 − あ ∗ ] {\displaystyle B'={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}}

その動作は次のように説明される

B ′ （ … 、 1つの − 2 、 1つの − 1 、 1つの ^ 0 、 1つの 1 、 1つの 2 、 … ） ＝ （ … 、 − 1つの − 2 、 1つの ^ − 1 、 1つの 0 、 1つの 1 、 1つの 2 、 … ） 。 {\displaystyle B'(\ldots ,a_{-2},a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},a_{2},\ldots )=(\ldots ,-a_{-2},{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}

ミニマリズム

したがって、ある意味で最小の正規拡大に興味がある。より正確には、ヒルベルト空間Kに作用する正規作用素Bが非正規空間Aの最小拡大であるとは、 K' ⊂ KがBの縮小部分空間であり、かつ H ⊂ K' であるとき、 K ' = Kが成り立つことを意味する。（部分空間がBの縮小部分空間であるとは、それがBとB*の両方の下で不変であることを意味する。）[4]

二つの演算子B 1とB 2 がそれぞれK 1とK 2の最小拡大である場合、ユニタリ演算子が存在すること が示される。

あなた : K 1 → K 2 。 {\displaystyle U:K_{1}\rightarrow K_{2}.}

また、次のような絡み合い関係が成り立ちます。

あなた B 1 ＝ B 2 あなた 。 {\displaystyle UB_{1}=B_{2}U.\,}

これは構成的に示せます。次の形式のベクトルからなる 集合Sを考えてみましょう。

∑ 私 ＝ 0 n （ B 1 ∗ ） 私 h 私 ＝ h 0 + B 1 ∗ h 1 + （ B 1 ∗ ） 2 h 2 + ⋯ + （ B 1 ∗ ） n h n どこ h 私 ∈ H 。 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=h_{0}+B_{1}^{*}h_{1}+(B_{1}^{*})^{2}h_{2}+\cdots +(B_{1}^{*})^{n}h_{n}\quad {\text{where}}\quad h_{i}\in H.}

K' ⊂ K 1 をSの線型範囲の閉包となる部分空間とする。定義により、K'はB 1 *に関して不変であり、 Hを含む。 B 1の正規性と、 HがB 1に関して不変であるという仮定から、 K'はB 1に関して不変であることがわかる。したがって、K' = K 1である。ヒルベルト空間K 2 も全く同様にして同定できる。ここで、演算子U を次のように定義する。

あなた ∑ 私 ＝ 0 n （ B 1 ∗ ） 私 h 私 ＝ ∑ 私 ＝ 0 n （ B 2 ∗ ） 私 h 私 {\displaystyle U\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i}}

なぜなら

⟨ ∑ 私 ＝ 0 n （ B 1 ∗ ） 私 h 私 、 ∑ j ＝ 0 n （ B 1 ∗ ） j h j ⟩ ＝ ∑ 私 j ⟨ h 私 、 （ B 1 ） 私 （ B 1 ∗ ） j h j ⟩ ＝ ∑ 私 j ⟨ （ B 2 ） j h 私 、 （ B 2 ） 私 h j ⟩ ＝ ⟨ ∑ 私 ＝ 0 n （ B 2 ∗ ） 私 h 私 、 ∑ j ＝ 0 n （ B 2 ∗ ） j h j ⟩ 、 {\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle =\sum _{ij}\langle h_{i},(B_{1})^{i}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\rangle =\sum _{ij}\langle (B_{2})^{j}h_{i},(B_{2})^{i}h_{j}\rangle =\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{2}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle ,}

、演算子Uはユニタリである。直接計算により、（ B 1とB 2の両方がAの拡張であるという仮定が必要である）

もし  グラム ＝ ∑ 私 ＝ 0 n （ B 1 ∗ ） 私 h 私 、 {\displaystyle {\text{if }}g=\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},}
それから  あなた B 1 グラム ＝ B 2 あなた グラム ＝ ∑ 私 ＝ 0 n （ B 2 ∗ ） 私 あ h 私 。 {\displaystyle {\text{then }}UB_{1}g=B_{2}Ug=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}Ah_{i}.}

B 1とB 2が最小であると仮定されない場合、同じ計算により、U が部分等長変換である場合に上記の主張がそのまま成り立つことがわかります。

参考文献

  1. ^ ジョン・B・コンウェイ（1991年）「11」、非正規作用素の理論、アメリカ数学会、27ページ、ISBN 978-0-8218-1536-6、 2017年6月15日閲覧。
  2. ^ John B. Conway (1991)、「11」、非正規化作用素の理論、アメリカ数学会、p. 29、ISBN 978-0-8218-1536-6、 2017年6月15日閲覧。
  3. ^ ジョン・B・コンウェイ、ロバート・F・オリン（1977年）、非正規演算子のための関数計算II、アメリカ数学会、p.51、ISBN 978-0-8218-2184-8、 2017年6月15日閲覧。
  4. ^ ジョン・B・コンウェイ（1991年）「非正規作用素の理論」アメリカ数学会、pp.38-、ISBN 978-0-8218-1536-6、 2017年6月15日閲覧。
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Subnormal_operator&oldid=1310524097」から取得