サリバン予想

数学において、サリバン予想または分類空間からの写像に関するサリバン予想は、デニス サリバンのホモトピー理論の研究によって促されたいくつかの結果と予想のいずれかを指す。基本的なテーマと動機は、有限群の群作用における不動点集合に関する。しかし、最も基本的な定式化は、そのような群の分類空間によるものである。大まかに言えば、そのような空間を有限CW 複体に非自明な方法で連続的に写像することは困難である。サリバン予想のそのようなバージョンは、ヘインズ ミラーによって初めて証明された。^[1]具体的には、1984 年にミラーは、からへの基底点保存写像の、コンパクト開位相を持つ関数空間が弱縮約可能であることを証明した。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$

これは、X から写像の関数空間→への写像（必ずしも基底点を保存しない）が、 の点をその像を持つ定数写像に送ることで与えられる、弱同値であるというステートメントと同等です。 写像空間はホモトピー不動点集合の例です。具体的には、 はへの自明な作用によって作用する群のホモトピー不動点集合です。一般に、空間 に作用する群について、ホモトピー不動点は の普遍被覆からへの写像の写像空間の不動点であり、は でによって与えられたへの -作用の下での写像であり、 の写像をに送ることで作用します。から単一点への -同変写像は、不動点から に作用するのホモトピー不動点への自然な写像 η: →を誘導します。ミラーの定理は、有限次元 CW 複体に対する自明な -作用に対して η が弱同値であるというものです。彼の証明の重要な要素と動機は、スティーンロッド代数上の不安定加群としてのホモロジーに関するグンナー・カールソンの結果である。^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(BG,X)}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(BG,X)}$ ${\displaystyle F(BG,X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$ ${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle gfg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle X^{G}=F(*,X)^{G}}$ ${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BZ/2}$

ミラーの定理は、サリバンの予想の一種に一般化され、 への作用は非自明であることが許される。^[3]で、サリバンは、 の群に対するA. Bousfield とD. Kanによる特定の p-完備化手続きの後、 η は弱同値であると予想した。この予想は述べられているとおり誤りであったが、正しいバージョンがミラーによって与えられ、Dwyer-Miller-Neisendorfer ^[4] 、 Carlsson、^[5] 、およびJean Lannes [ ^6]によって独立に証明され、の位数が素数 p のべき乗であるときに自然な写像→は弱同値であり、 は のBousfield-Kan p-完備化を表すことが示された。ミラーの証明は不安定なアダムススペクトル列を含み、カールソンの証明はシーガル予想の肯定的解決法を使用し、完成前のホモトピー不動点に関する情報も提供し、ランヌの証明はT関数を含む。^[7]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=Z/2}$ ${\displaystyle (X^{G})_{p}}$ ${\displaystyle F(EG,(X)_{p})^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X)_{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$

参考文献

1. ミラー、ヘインズ(1984). 「分類空間からの写像に関するサリバン予想」Annals of Mathematics . 120 (1): 39– 87. doi :10.2307/2007071. JSTOR  2007071.
2. Carlsson, Gunnar (1983). 「(Z/2)^kに対するGB SegalのBurnside Ring予想」. Topology . 22 (1): 83–103 . doi : 10.1016/0040-9383(83)90046-0 .
3. サリバン、デニス (1971).幾何学的位相幾何学 第1部. ケンブリッジ、マサチューセッツ州: マサチューセッツ工科大学出版局. p. 432.
4. Dwyer, William; Haynes Miller; Joseph Neisendorfer (1989). 「ファイバーワイズ補完と不安定アダムススペクトル列」. Israel Journal of Mathematics . 66 ( 1–3 ): 160– 178. doi : 10.1007/bf02765891 .
5. Carlsson, Gunnar (1991). 「同変安定ホモトピーとサリバン予想」. Inventiones Mathematicae . 103 : 497–525 . Bibcode :1991InMat.103..497C. doi : 10.1007/bf01239524 .
6. ランヌ、ジャン (1992)。 「Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。75 : 135–244。土井:10.1007/bf02699494。
7. シュワルツ、ライオネル (1994).スティーンロッド代数上の不安定加群とサリバンの不動点集合予想. シカゴ大学出版局. ISBN 978-0-226-74203-8。

外部リンク

• ゴットリーブ、ダニエル H. (2001) [1994]、「サリバン予想」、数学百科事典、EMSプレス
• 本の抜粋
• J. ルリーのコースノート