日の出問題

通常、繰り返しの観察から推論されます: 「太陽は常に東から昇る」。

日の出問題は次のように表現できます。「明日、太陽が昇る確率はどれくらいですか？」日の出問題は、発言や信念の妥当性を評価する際に確率論を使用することの難しさを示しています。

ベイズ確率解釈によれば、確率理論は「明日は太陽が昇る」という発言の妥当性を評価するために使用できます。

日の出問題は、1763年にリチャード・プライスがトーマス・ベイズのベイズ主義の基礎研究に関する有名な論文の中で初めて公に紹介されました。^{[ 1 ]}

ラプラスのアプローチ

ピエール＝シモン・ラプラスは、この問題に彼の継承則を用いてアプローチした。^{[ 2 ] [ 3 ]}日の出の長期頻度をpと すると、すなわち、日の出は100 × p %の日に起こるとする。 日の出を知るまでは、 pの値は全く分からない。ラプラスはこの事前無知を、 p上の一様確率分布を用いて表現した。

たとえば、p が20% から 50% の間である確率は、ちょうど 30% です。これは、すべての場合のうち 30% においてp が20% から 50% の間であるという意味に解釈してはなりません。そうではなく、ある人の知識 (または無知) の状態により、太陽が 20% の確率から 50% の確率で昇ることを 30% 確信できることを意味します。 pの値が与えられ、明日太陽が昇るかどうかという問題に関連する他の情報がない場合、明日太陽が昇る確率はpです。しかし、私たちは「 pの値が与えられている」わけではありません。与えられているのは観測データであり、記録上、太陽は毎日昇っています。ラプラスは、若い地球創造論者の聖書 の解釈に基づいて、宇宙が約 6000 年前に創造されたと言って日数を推測しました。

データが与えられた場合のpの条件付き確率分布を求めるには、ベイズの定理（ベイズ・ラプラス則と呼ばれることもあります）を使用します。データが与えられた場合のpの条件付き確率分布がわかったら、そのデータが与えられた場合の、明日太陽が昇る条件付き確率を計算できます。その条件付き確率は、継承の規則によって与えられます。明日太陽が昇る可能性は、これまでに太陽が昇った日数とともに増加します。具体的には、p が区間 [0,1] にわたって均一な事前分布を持ち、pの値が与えられた場合、太陽は確率pで毎日独立して昇ると仮定すると、目的の条件付き確率は次のようになります。

${\displaystyle \Pr({\text{太陽は明日昇ります}}\mid {\text{これまでに }}k{\text{ 回昇っています}})={\frac {\int _{0}^{1}p^{k+1}\,dp}{\int _{0}^{1}p^{k}\,dp}}={\frac {k+1}{k+2}}.}$

この式によれば、過去に太陽が昇るのを10000回観測した場合、翌日も太陽が昇る確率は です。パーセンテージで表すと、これはおよそ の確率です。 ${\displaystyle 10001/10002\approx 0.99990002}$ ${\displaystyle 99.990002\%}$

しかし、ラプラスは、結果を導き出した直後に利用可能なすべての事前情報を考慮していないため、これは継承のルールの誤用であると認識しました。

しかし、この数字（明日太陽が昇る確率）は、現象全体の中で日と季節を規制する原理を見て、現時点ではその流れを止めるものは何もないと理解している人にとっては、はるかに大きいのです。

ETジェインズは、ラプラスの警告が現場の研究者によって無視されていたと指摘した。^{[ 4 ]}

参照クラス問題が生じます。推論される妥当性は、ある人物、人類、あるいは地球の過去の経験のどれを基準にするかによって異なります。結果として、それぞれの参照対象は、その発言の妥当性について異なる見解を持つことになります。ベイズ主義では、あらゆる確率は、自分が知っていることを前提とした条件付き確率です。そして、その条件は人によって異なります。

参照

• 継承のルール
• 帰納法の問題
• 終末論：激しい哲学的議論を引き起こす同様の問題
• ニューカムのパラドックス
• 統計学における未解決の問題
• 加法平滑化（ラプラス平滑化とも呼ばれる）

参考文献

1. ベイズ、トーマス (1763年12月31日). 「LII. 偶然性の教義における問題解決に向けた試論。故ベイズ師（FRS）著、プライス氏からジョン・カントン（AMFR S）宛の手紙に記されたもの」ロンドン王立協会哲学紀要（ラテン語）53 (53): 409– 410. doi : 10.1098/rstl.1763.0053 . ISSN  0261-0523 .
2. ラプラス、ピエール＝シモン (1814).確率に関する哲学的試論(PDF) . トラスコット、フレデリック・ウィルソン; エモリー、フレデリック・リンカーン訳.ジョン・ワイリー・アンド・サン社およびチャップマン・アンド・ホール社.
3. Chung, KL & AitSahlia, F. (2003).初等確率論：確率過程と数理ファイナンス入門. Springer. pp. 129–130. ISBN 978-0-387-95578​​-0。
4. Jaynes, ET (2003). 「第18.6章」. G. Larry Bretthorst (編).確率論：科学の論理. ケンブリッジ大学出版局. p. 564. doi : 10.1017/CBO9780511790423 . ISBN 978-0-521-59271-0. 2022年6月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。

さらに読む

• ハウイー、デイヴィッド（2002年）『確率の解釈：20世紀初頭の論争と発展』ケンブリッジ大学出版局、24頁。ISBN 978-0-521-81251-1