超ミンコフスキー空間

数学および物理学において、超ミンコフスキー空間（またはミンコフスキー超空間）は、ミンコフスキー空間の超対称拡張であり、超体の基本多様体（あるいは超多様体）として用いられることもある。超ポアンカレ代数が作用する 。

工事

抽象構築

抽象的に言えば、超ミンコフスキー空間はローレンツ群の超ポアンカレ群内の（右）剰余類の空間であり、すなわち、

${\displaystyle {\text{超ミンコフスキー空間}}\cong {\frac {\text{超ポアンカレ群}}{\text{ローレンツ群}}}}$ 。

これは、通常のミンコフスキー時空がローレンツ群のポアンカレ群内の（右）剰余類と同一視される方法と類似している。つまり、

${\displaystyle {\text{ミンコフスキー空間}}\cong {\frac {\text{ポアンカレ群}}{\text{ローレンツ群}}}}$ 。

剰余空間は自然にアフィンであり、フェルミオン方向のべき零かつ反可換な動作は、ローレンツ群に関連付けられた クリフォード代数から自然に生じます。

直和構築

このセクションでは、検討中のミンコフスキー空間の次元は です。 ${\displaystyle d=4}$

超ミンコフスキー空間は、具体的には、座標 を持つミンコフスキー空間と「スピン空間」の直和として実現できます。「スピン空間」の次元は、対象の超ミンコフスキー空間に関連付けられた超ポアンカレ代数におけるスーパーチャージの数に依存します。最も単純なケース では、「スピン空間」は の「スピン座標」を持ち、各成分はグラスマン数です。合計で4つのスピン座標が形成されます。 ${\displaystyle x^{\mu}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle (\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})}$ ${\displaystyle \alpha,{\dot {\alpha}}=1,2}$

超ミンコフスキー空間の表記は となる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$

超電荷を許容する理論が存在する。そのような場合、拡張された超対称性を持つ。そのような理論では、超ミンコフスキー空間は と表記され、座標は となる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle (\theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{J{\dot {\alpha }}})}$ ${\displaystyle I,J=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$

意味

超ミンコフスキー空間の基礎となる超多様体は、 d次元（多くの場合4次元とされる）の通常のミンコフスキー時空とローレンツ代数の実スピノル表現の直和で与えられる超ベクトル空間と同型である。（2つの異なる実スピン表現が存在するため、この表現がやや曖昧な場合は、整数のペアに置き換える必要があるが、一部の著者は異なる慣例を用いて両方のスピン表現のコピーを取る。） ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

しかし、この構成は、2 つの理由から誤解を招きます。第 1 に、超ミンコフスキー空間は、実際にはグループではなくグループ上のアフィン空間です。つまり、明確な「原点」がありません。第 2 に、基礎となる並進のスーパーグループは、スーパーベクトル空間ではなく、冪零長さ 2 の冪零スーパーグループです。

この超群には次のリー超代数が存在する。 がミンコフスキー空間（次元）であり、 が-次元ミンコフスキー空間の既約実スピノル表現の有限和であるとする。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

すると、不変対称双線型写像 が存在する。これは、任意の に対して、元がの閉正錐に含まれ、かつならば となるという意味で正定値写像である。この双線型写像は、同型写像を除いて一意である。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:S\times S\rightarrow M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [s,s]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [s,s]\neq 0}$ ${\displaystyle s\neq 0}$

リー超代数は偶数部 と奇数部（フェルミオン） を持つ。不変双線型写像は超代数全体に拡張され、（次数付き）リー括弧 を定義する。ここで、 の任意の項と任意の項のリー括弧はゼロである。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g_{0}}}\oplus {\mathfrak {g_{1}}}=M\oplus S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$

時空の様々な次元dに対する既約実スピノル表現の次元を下の表に示す。この表には、スピノル表現の実在構造の種類と、スピノル表現上の 不変双線型形式の種類も示されている。

時空次元、d	スピノル表現の実次元	構造	双線形形式
1	1	本物	対称的
2	1、1	本物	2つの二重表現
3	2	本物	交互
4	4	複素数（次元2）	交互
5	8	四元数（次元2）	対称的
6	8、8	四元数（次元2, 2）	2つの二重表現
7	16	四元数（次元4）	交互
8	16	複合体（次元8）	対称的
9	16	本物	対称的
10	16, 16	本物	2つの二重表現
11	32	本物	交互
12	64	複合体（次元32）	交互

表は次元が 8 増加するたびに繰り返されますが、スピン表現の次元は 16 倍になります。

表記

物理学の文献では、超ミンコフスキー時空は、偶数ボソン部の次元（時空の次元）と、奇数フェルミオン部における各既約スピノル表現の出現回数によって規定されることが多い。これは、超ミンコフスキー空間に関連する超ポアンカレ代数におけるスーパーチャージの数である。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

数学において、ミンコフスキー時空はM ^{m | n}という形式で記述されることがあります。ここで、 mは偶数部の次元、n は奇数部の次元です。これは-次数付きベクトル空間に用いられる表記法です。この表記法は、基礎となる時空の符号を含むように拡張することができ、多くの場合、 の場合にそれが当てはまります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m|n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1|n}}$ ${\displaystyle m=d}$

関係は以下のとおりです。物理表記の整数は数学表記の整数であり、数学表記の整数は物理表記の整数の倍です。ここでは（いずれかの）既約実スピノル表現の次元です。例えば、ミンコフスキー時空は です。一般的な表現は です 。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q|D{\mathcal {N}}}}$

のとき、2つの異なる既約実スピノル表現が存在し、著者は様々な異なる表記法を用いています。以前の表記法を用いると、一方の表現ともう一方の表現のコピーが存在する場合、 を定義すると、以前の式が成立します。 ${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$

物理学において、文字P はリー超代数の偶ボゾン部分の基底に用いられ、文字Qは奇フェルミオン部分の複素化の基底に用いられることが多いため、特にリー超代数の構造定数は実数ではなく複素数となる場合がある。基底元Qは複素共役対となることが多いため、実部分空間は複素共役の不動点として復元できる。

署名（p,q）

因子またはに関連付けられた実次元は、次元と任意の符号 を持つ一般化ミンコフスキー空間に対して求められます。の場合の前述の微妙な点は、 の場合の微妙な点になります。このセクションの残りの部分では、符号は差 を指します。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$ ${\displaystyle p-q\equiv 0\mod 4}$ ${\displaystyle p-q}$

次元はスピン表現上の現実構造に依存する。これは、表で示される8を法とするシグネチャ に依存する。${\displaystyle p-q}$

p − q を8 で割ったもの	0	1	2	3	4	5	6	7
構造	${\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {H} +\mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$

次元は にも依存します。は または と書くことができ、ここで です。スピン表現は、ここでと記述されているように、あるベクトル空間の外積代数を使用して構築された表現であると定義します。の複素次元は です。シグネチャが偶数の場合、これは 次元の と の2つの既約なハーフスピン表現に分割されますが、シグネチャが奇数の場合、自体は既約ではありません。シグネチャが偶数の場合、シグネチャが4の倍数の場合はこれらのハーフスピン表現が同値ではなく、そうでない場合は同値であるという、さらに微妙な違いがあります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle 2m+1}$ ${\displaystyle m:=\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle S_{-}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle S}$

署名が奇数の場合、スピン表現のコピー数を数えます。署名が偶数で4の倍数でない場合は、ハーフスピン表現のコピー数を数えます。署名が4の倍数の場合は、各ハーフスピン表現のコピー数を数えます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$

そして、現実構造が実数であれば、複素次元は実数次元になります。一方、現実構造が四元数または複素数（エルミート）であれば、実数次元は複素次元の2倍になります。

またはに関連付けられた実際のディメンションは、次の表にまとめられています。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$

p − q を8 で割ったもの	0	1	2	3	4	5	6	7
実次元${\displaystyle D}$	${\displaystyle 2^{m-1},2^{m-1}}$	${\displaystyle 2^{m}}$	${\displaystyle 2^{m}}$	${\displaystyle 2^{m+1}}$	${\displaystyle 2^{m},2^{m}}$	${\displaystyle 2^{m+1}}$	${\displaystyle 2^{m}}$	${\displaystyle 2^{m}}$

これにより、スーパーチャージを持つ基礎時空を持つ超空間の次元、または署名が 4 の倍数である場合はスーパーチャージを持つ超空間の次元を計算できます。関連するスーパーベクトル空間は、適切な場合にとともにあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q|{\mathcal {N}}D}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$

寸法と過給に関する制限

高次スピン理論

には上限があります（適切な場合は に等しい）。より直接的に言えば、スピン空間の次元には上限があります。ここで は、符号が奇数の場合のスピン表現の次元、符号が偶数の場合の半スピン表現の次元です。上限は です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$ ${\displaystyle N={\mathcal {N}}D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N=32}$

この制限は、超電荷数を超える理論は、スピン（絶対値）が2を超える場を自動的に持つことから生じます。より数学的に言えば、超代数の表現には、スピンが2を超える場が含まれます。このような場を考慮する理論は、高スピン理論として知られています。ミンコフスキー空間では、そのような理論が興味深いものになることを妨げる禁制定理が存在します。 ${\displaystyle N=32}$

そのような理論を考慮したくない場合は、これは の次元と の上限を与えます。ロレンツ空間（符号）の場合、次元の極限は です。任意の符号 の一般化ミンコフスキー空間の場合、上次元は の符号に敏感に依存します。これは前のセクションで詳述されています。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (-,+,\cdots ,+)}$ ${\displaystyle d<12}$

超重力

多数の超電荷は局所超対称性も意味します。超対称性が理論のゲージ対称性である場合、超電荷を用いて並進運動を生成できるため、無限小並進運動は理論のゲージ対称性であることを意味します。しかし、これらは局所微分同相写像を生成します。これは重力理論の特徴です。したがって、局所超対称性を持つ理論は必ず超重力理論になります。 ${\displaystyle N}$

質量のない表現に課せられる制限は、最高のスピン フィールドが持つ必要のあるスピンであり、これにより、超重力のない理論に対してスーパーチャージの制限が課せられます。 ${\displaystyle |h|\leq 1}$ ${\displaystyle N=16}$

超対称ヤン＝ミルズ理論

これらはゲージ超場とスピノル超場を組み合わせた理論である。これには自由度の一致が必要となる。この議論を-次元ローレンツ空間に限定すると、ゲージ場の自由度は であるのに対し、スピノルの自由度は2のべき乗であり、これは本稿の他の箇所で説明されている情報から求めることができる。これは、超対称ヤン＝ミルズ理論を支持できる超ミンコフスキー空間に制約を課す。例えば、 の場合、またはのみがヤン＝ミルズ理論を支持する。^{[ 1 ]}${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle d=3,4,6}$ ${\displaystyle 10}$

参照

• 超空間
• 超ベクトル空間
• 超ポアンカレ代数

参考文献

• ピエール・ドリーニュ、ジョン・W.・モーガン (1999)、「超対称性に関する注釈（ジョセフ・バーンスタインに倣って）」、ピエール・ドリーニュ、パベル・エティンゴフ、ダニエル・S.・フリード、リサ・C.・ジェフリー、デイビッド・カズダン、ジョン・W.・モーガン、デイビッド・R.・モリソン、エドワード・ウィッテン（編）『量子場と弦：数学者のための講座』第1巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  41– 97、ISBN 978-0-8218-1198-6、MR  1701597

1. Figueroa-O'Farrill, JM (2001). 「Busstepp Lectures on Supersymmetry」. arXiv : hep-th/0109172 .