超完全数

約数を2倍してその数自体を2倍した数

数論では、超完全数とは、次の式を満たす正の整数 $nである。$

\sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,

ここで $σは$ 約数の和関数である。超完全数は完全数の一般化ではないが、共通の一般化を持つ。この用語はD. Suryanarayana (1969) によって造られた。^[1]

最初のいくつかの超完全数は次のとおりです。

例えば、16はσ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31、σ(31) = 1 + 31 = 32、したがってσ(σ(16)) = 32 = 2 × 16となるので、超完全数であることがわかります。

$nが偶数の$ 超完全数である場合、 $nは$ 2のべき乗、つまり $2 k$ でなければならず、 $2 k +1 - 1は$ メルセンヌ素数となる。^[1]^[2]

奇数の超完全数が存在するかどうかは不明である。奇数の超完全数 $n$ は、 $n$ または $σ$ $($ $n$ $)$ が少なくとも3つの異なる素数で割り切れる平方数でなければならない。 ^{[2] 7}× 10未満の奇数の超完全数は存在しない。^24. [^1]

一般化

完全数と超完全数は、 m超完全数のより広いクラスの例であり、

\sigma^{m}(n)=2n,

それぞれm = 1と2に対応する。m ≥ 3の場合、偶数m超完全数は存在しない。^[1]

m-超完全数は、( m , k )-完全数の例であり、 ^[3]を満たす。

\sigma^{m}(n)=kn\,.

この記法では、完全数は(1,2)-完全、多重完全数は(1, k )-完全、超完全数は(2,2)-完全、m超完全数は( m ,2)-完全となる。^{[4] (}m , k )-完全数のクラスの例としては以下のようなものがある。

メートル	け	( m , k )-完全数	OEISシーケンス
2	2	2、4、16、64、4096、65536、262144、1073741824、1152921504606846976	A019279
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127, 355744082763	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976, 572941926400	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360, 711488165526, 1098437885952, 1422976331052	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368, 4010593484800	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680	A019289
3	どれでも	12、14、24、52、98、156、294、684、910、1368、1440、4480、4788、5460、5840、...	A019292
4	どれでも	2、3、4、6、8、10、12、15、18、21、24、26、32、39、42、60、65、72、84、96、160、182、...	A019293

PlanetMathの Superperfect Number 。
Cohen, GL; te Riele, HJJ (1996). 「約数和関数の反復」.実験数学. 5 (2): 93– 100. doi :10.1080/10586458.1996.10504580. S2CID 28197771. Zbl 0866.11003.
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