表面積と体積の比率
プラトン立体と球の表面積Aと体積Vのグラフ。丸い形になると表面積が減少し、体積が増加すると表面積と体積の比が減少することを示しています。破線との切片から、体積が8（2³）倍になると表面積は4（2²）倍になることがわかります。

表面積対体積比または表面積対体積比( SA:V、SA/V、またはsa/volと表記) は、物体または物体の集合の 表面積と体積の比です。

SA:Vは科学と工学において重要な概念である。これは、表面と体積を通して起こるプロセスにおける構造と機能の関係を説明するために使用される。このようなプロセスの良い例としては、熱方程式[ 1 ]、つまり拡散と熱伝導による熱伝達によって支配されるプロセスがある。[ 2 ] SA:Vは、空気、血液、細胞間の酸素や二酸化炭素などの小分子の拡散、[ 3 ]動物の水分損失、[ 4 ]細菌の形態形成、 [ 5 ]生物の体温調節、[ 6 ]人工骨組織の設計、[ 7 ]人工肺[ 8 ]など、多くの生物学的およびバイオテクノロジー的構造を説明するために使用される。より多くの例については、Glazierを参照のこと。[ 9 ]

SA:Vと拡散速度または熱伝導率の関係は、フラックスと表面の観点から説明されます。特に、拡散または熱伝導が起こる場所として物体の表面に焦点を当てます。つまり、SA:Vが大きいほど、物質が拡散できる単位体積あたりの表面積が大きくなり、したがって拡散または熱伝導が速くなります。文献にも同様の解説があります。「サイズが小さいということは、体積に対する表面積の比率が大きいことを意味し、それによって細胞膜を介した栄養素の吸収が最大化される」[ 10 ]など。[ 9 ] [ 11 ] [ 12 ]

与えられた体積に対して、表面積（したがってSA:V）が最小となる物体は球体です。これは3次元における等周不等式の結果です。対照的に、鋭角の突起を持つ物体は、与えられた体積に対して非常に大きな表面積を持ちます。

固体球の場合

3 次元ボールの表面積と体積の比 (SA:V) のグラフ。ボールの半径が増加すると、比が逆に減少することがわかります。

球体またはボールは、球によって囲まれた立体図形である3次元物体です。（幾何学では、 「球」という用語は正確には表面のみを指すため、この文脈では球には体積がありません。）

通常の3次元球の場合、SA:Vは、それぞれ表面積と体積の標準的な方程式、およびを用いて計算できます。r = 1の単位ケースでは、SA :Vは3です。一般的なケースでは、SA:Vは3/ rに等しく、半径と反比例関係にあります。つまり、半径が2倍になると、SA:Vは半分になります（図を参照）。 Sあ＝4πr2{\displaystyle SA=4\pi {r^{2}}}V＝（4/3）πr3{\displaystyle V=(4/3)\pi {r^{3}}}

n次元球の場合

球体はあらゆる次元に存在し、一般的にn球体またはハイパーボールと呼ばれます。ここでnは次元数です。同じ論理は、体積と表面積に関する一般的な方程式を用いてn球体に一般化できます。

V＝rnπn/2Γ（1+n/2）{\displaystyle V={\frac {r^{n}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}}
Sあ＝nrn−1πn/2Γ（1+n/2）{\displaystyle SA={\frac {nr^{n-1}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+{n/2})}}}

したがって、比率は と等しくなります。したがって、面積と体積の間には、どの次元数であっても同じ線形関係が成り立ちます（図を参照）。つまり、半径を2倍にすると、比率は常に半分になります。 Sあ/V＝nr−1{\displaystyle SA/V=nr^{-1}}

寸法と単位

表面積と体積の比は、物理的な大きさが 長さ（L −1 ）の逆数であるため、メートル（m −1）の逆数、またはその接頭辞の倍数や約数で表されます。例えば、辺の長さが 1cmの立方体の表面積は6cm 2、体積は1cm 3です。この立方体の表面積と体積の比は、

SA:V＝6 cm21 cm3＝6 cm−1{\displaystyle {\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}}。

与えられた形状において、SA:Vは大きさに反比例します。一辺が2cmの立方体のSA:V比は3cm -1で、一辺が1cmの立方体の半分です。逆に、大きさが増してもSA:Vを維持するには、よりコンパクトな形状に変更する必要があります。

アプリケーション

物理化学

表面積対体積比が大きい物質（例えば、直径が非常に小さい、多孔質である、あるいは密ではない）は、反応に利用できる表面積が大きいため、モノリス物質よりもはるかに速く反応します。穀物の粉塵がその一例です。穀物は一般的に可燃性ではありませんが、穀物の粉塵は爆発性があります。細かく挽いた塩は粗い塩よりもはるかに速く溶解します。

高い表面積対体積比は、自由エネルギーを最小化する熱力学的プロセスを加速する強力な「駆動力」を提供する。[ 13 ]

生物学

小腸の内壁細胞は、房状の微絨毛のカーペットによって栄養分を吸収できる表面積を増やします。

細胞 や生物の表面積と体積の比率は、生理や行動を含む生物学的機能に大きな影響を与えます。例えば、多くの水生微生物は、水中での抵抗を増やすために表面積を増やしています。これにより沈降速度が低下し、より少ないエネルギー消費で水面近くに留まることができます。

表面積と体積の比率が増加するということは、環境への露出も増加することを意味します。オキアミなどの濾過摂食動物は、細かく枝分かれした付属肢によって、餌を得るために水をふるいにかけるための大きな表面積を確保しています。[ 14 ]

肺のような個々の臓器には、表面積を増やすための多数の内部分岐があります。肺の場合、大きな表面積がガス交換をサポートし、血液に酸素を取り込み、血液から二酸化炭素を放出します。 [ 15 ] [ 16 ]同様に、小腸は細かくしわのある内部表面を持ち、体が効率的に栄養素を吸収できるようにしています。[ 17 ]

細胞は、小腸の内壁を覆う微絨毛のように、複雑に折り畳まれた表面によって、高い表面積対体積比を実現することができる。[ 18 ]

表面積の増加は生物学的問題を引き起こす可能性があります。細胞や臓器の表面（体積に対して）を介した環境との接触が増えると、水分や溶解物質の損失が増加します。また、体積に対する表面積の比率が高いと、不利な環境下での温度制御にも問題が生じます。

異なるサイズの生物の表面積と体積の比率は、アレンの法則、ベルクマンの法則[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]、巨温性[ 22 ]などの生物学的法則にもつながります。

火災の拡大

山火事において、固体燃料の表面積と体積の比率は重要な指標です。火災の延焼挙動は、燃料（例えば、葉や枝）の表面積と体積の比率と相関関係にあることがよくあります。この値が高いほど、粒子は温度や湿度などの環境条件の変化に速く反応します。また、この値が高いほど燃料の着火時間が短くなり、延焼速度も速くなります。

惑星の冷却

宇宙空間に存在する氷や岩石からなる天体は、十分な熱を蓄積・保持できれば、内部が分化して火山活動や地殻変動によって表面が変化する可能性があります。惑星が表面変化を起こす活動を維持できる期間は、その熱保持能力に依存し、これは表面積と体積の比によって決まります。ベスタ（半径263km）の場合、この比は非常に高いため、天文学者たちはベスタが分化して短期間の火山活動を起こしたことに驚きました。月、水星、火星の半径はそれぞれ数千km台です。これら3つの天体は、約10億年後には極端に冷え込み、ごく局所的で稀な火山活動しか見られなくなりましたが、完全に分化できるほど十分に熱を保持していました。しかし、2019年4月現在、NASAは、2019年4月6日にNASAの探査機インサイトが観測した「火星地震」を検出したと発表しています。[ 23 ]金星と地球（r>6,000 km）は表面積と体積の比が十分に低い（火星の約半分で、他の既知の岩石天体よりもはるかに低い）ため、熱損失は最小限に抑えられます。[ 24 ]

数学的な例

形 画像 特性長さ1つの{\displaystyle a}SA/V比率 単位容積 あたりのSA/V比率
四面体角 661つの≈14.6971つの{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}}7.21
キューブ角 61つの{\displaystyle {\frac {6}{a}}}6
八面体角 361つの≈7.3481つの{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}}5.72
十二面体角 1225+105（15+75）1つの≈2.6941つの{\displaystyle {\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}}5.31
カプセル半径（R） 1251つの{\displaystyle {\frac {12}{5a}}}5.251
二十面体角 123（3+5）1つの≈3.9701つの{\displaystyle {\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}}5.148
球半径 31つの{\displaystyle {\frac {3}{a}}}4.83598
異なるサイズの立方体の例
立方体の側面サイド2単一の面の面積6 × サイド2立方体全体の面積（6面）サイド3音量表面積と体積の 比
22×246×2×2242×2×283:1
44×4166×4×4964×4×4643:2
66×6366×6×62166×6×62163:3
88×8646×8×83848×8×85123:4
1212×121446×12×1286412×12×121,7283:6
2020×204006×20×202,40020×20×208,0003:10
5050×502,5006×50×5015,00050×50×5012万50003:25
1,0001,000×1,0001,000,0006×1,000×1,0006,000,0001,000×1,000×1,0001,000,000,0003:500

参照

参考文献

特定の
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  2. ^ Planinšič, Gorazd (2008). 「熱物理学における表面積対体積比：チーズキューブの物理学から動物の代謝まで」 . European Journal of Physics 欧州物理学会, Find Out More . 29 (2): 369– 384. Bibcode : 2008EJPh...29..369P . doi : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270 . 
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