指標のラプラシアン
滑らかな関数の列の極限
平面における楕円の負の指示関数の近似（左）、境界に垂直な方向の微分（中央）、およびそのラプラシアン（右）。極限において、右端のグラフは指示関数の（負の）ラプラシアンに近づきます。純粋に直感的に言えば、右端のグラフは、内側に城壁があり、前面に堀がある楕円形の城に似ています。極限において、城壁と堀は無限に高く深く（そして狭くなります）。

ポテンシャル理論（数学の一分野）において、指示子のラプラシアンは、ラプラス演算子をある領域Dの指示子関数に作用させることで得られる。これは、ディラックのデルタ関数の微分（または「プライム関数」）を高次元に一般化したものであり、 Dの曲面上でのみ非ゼロとなる。これは、曲面デルタプライム関数、つまり曲面デルタ関数（ディラックのデルタの一般化）の微分とみなすことができる。指示子のラプラシアンは、1次元における ヘヴィサイド階段関数の2次微分にも類似している。

指標 のラプラシアンは、領域Dの境界に非常に近いところで評価すると、無限の正と負の値を持つと考えられる。したがって、厳密には関数ではなく、一般化された関数または測度である。 1 次元のディラックのデルタ関数の導関数と同様に、指標 のラプラシアンは、積分記号の下に表示される場合にのみ数学的なオブジェクトとして意味を持ちます。つまり、分布関数です。分布理論の定式化と同様に、これは実際には滑らかな関数の列の極限と見なされます。定義により滑らかなバンプ関数のラプラシアンを意味のあるものとして取り、極限 でバンプ関数を指標に近づけることができます。

歴史

ポール・ディラックは、 1930年代初頭に、後にディラックのδ関数として知られるようになった関数を導入した。[1] 1次元ディラックのδ関数は、1点のみで非ゼロとなる。同様に、多次元の一般化も、通常行われるように、1点のみで非ゼロとなる。直交座標系において、d次元ディラックのδ関数は、各直交座標系ごとに1つずつ、 d個の1次元δ関数の積である（例えば、ディラックのデルタ関数の一般化を参照）。

表面デルタ関数

ディラックのデルタ関数は、一点を超えて一般化することができます。一次元における点零は、正の半直線の境界とみなすことができます。関数1 x >0は、正の半直線上では1、それ以外の場合は0であり、ヘビサイド階段関数とも呼ばれます。正式には、ディラックのδ関数とその導関数は、ヘビサイド階段関数の1次および2次導関数、すなわち ∂ x 1 x >0およびと見なすことができます。 ∂ × 2 1 × > 0 {\displaystyle \partial_{x}^{2}\mathbf {1}_{x>0}}

高次元におけるステップ関数の類似物は指示関数であり、 1 x ∈ Dと表記される。ここでDは何らかの定義域である。指示関数は特性関数とも呼ばれる。1次元の場合と同様に、ディラックのδ関数とその導関数の高次元における一般化として、次のようなものが提案されている。[2]

δ （ × ） → − n × ⋅ ∇ × 1 × ∈ D 、 δ ′ （ × ） → ∇ × 2 1 × ∈ D 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x)&\to \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{aligned}}}

ここでnは外向きの法線ベクトルである。ここでディラックのδ関数は、 d ≥ 1 次元の領域Dの境界上の面デルタ関数へと一般化される。この定義は、領域を正の半直線とした場合の通常の1次元の場合を与える。δ は領域Dの境界（ここでは無限大）を除いてゼロであり、以下に示すように、 Dを囲む全表面積に積分される。

表面デルタプライム関数

1次元ディラックのデルタプライム関数は、d ≥ 1次元の領域Dの境界上の多次元曲面デルタプライム関数へと一般化される。1次元において、Dを正の半直線と等しくすることで、通常の1次元δ'関数を復元することができる。

指示子の法線導関数と指示子のラプラシアンは両方とも点ではなく面によってサポートされます。 一般化は例えば量子力学で有用です。なぜなら表面相互作用はd > 1で境界条件をもたらすことができますが、点相互作用はそうではないからです。 当然、点相互作用と表面相互作用はd =1 の場合に一致します。表面相互作用と点相互作用はどちらも量子力学で長い歴史があり、いわゆる表面デルタポテンシャルまたはデルタ球相互作用に関するかなりの文献が存在します。[3]表面デルタ関数は 1 次元のディラックδ関数を使用しますが、ラジアル座標rの関数として、例えば δ( r − R ) となり、ここでRは球の半径です。

指示関数の導関数は、一見定義が曖昧に思えるが、超関数論や一般関数論を用いて正式に定義することができる。例えば、指示関数のラプラシアンは、積分記号の下に現れる場合、2つの部分積分によって定義されると仮定することで、明確な定義を得ることができる。あるいは、指示関数（およびその導関数）は、バンプ関数（およびその導関数）を用いて近似することができる。この場合、（滑らかな）バンプ関数が指示関数に近づく極限は、積分の外側に置く必要がある。

証明

表面デルタプライム関数の証明

このセクションでは、指標のラプラシアンが表面デルタプライム関数であることを証明します。表面デルタ関数については以下で考察します。

まず、区間( a , b )における関数fについて、微積分学の基本定理を思い出してください。

∫ 1つの b ∂ f （ × ） ∂ × d × ＝ リム × ↗ b f （ × ） − リム × ↘ 1つの f （ × ） 、 {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),}

fは局所積分可能と仮定する。a < bの場合には、経験 的 に次のようになる。

∫ − ∞ + ∞ ∂ 2 1 1つの < × < b ∂ × 2 f （ × ） d × ＝ ∫ − ∞ + ∞ 1 1つの < × < b ∂ 2 f （ × ） ∂ × 2 d × 、 ＝ ∫ 1つの b ∂ 2 f （ × ） ∂ × 2 d × 、 ＝ （ リム × ↗ b − リム × ↘ 1つの ） ∂ f （ × ） ∂ × 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}}

ここで、 1 a < x < bは、領域a < x < bの指示関数です。 指示関数は、添え字の条件が満たされる場合は 1 になり、そうでない場合は 0 になります。 この計算では、 2 つの部分積分(上記に示した微積分の基本定理と組み合わせて) により、最初の等式が成り立つことが示されています。つまり、aとbが有限の場合、またはf が無限大で消失する場合は、境界項が 0 になります。 最後の等式は、外向きの正規導関数の和を示しています。この和は境界点aとbにわたっており、符号は外向きの方向から続きます (つまり、bの場合は正、 aの場合は負)。 指示関数の導関数は正式には存在しませんが、部分積分の通常の規則に従うことで「正しい」結果が得られます。 有限のd次元領域Dを考えると、外向きの正規導関数の和は積分になると予想されますが、これは次のように確認できます。

∫ R d ∇ × 2 1 × ∈ D f （ × ） d × ＝ ∫ R d 1 × ∈ D ∇ × 2 f （ × ） d × 、 ＝ ∫ D ∇ × 2 f （ × ） d × 、 ＝ ∮ ∂ D リム × → β n β ⋅ ∇ × f （ × ） d β 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}}

ここで、極限は x が領域Dの内側から面 β に近づくことです。n βは面 β に垂直な単位ベクトル、∇ xは多次元勾配演算子になります。前と同様に、最初の等式は部分積分 2 つによって得られます (より高次元では、これはグリーンの第 2 恒等式によって進みます)。ここで、領域Dが有限であるか、またはf が無限大で消える場合は、境界項は消えます。たとえば、領域Dが有限である場合、 R dの「境界」で評価すると、 1 x ∈ Dと ∇ x 1 x ∈ Dは両方とも 0 になります。3 番目の等式は発散定理によって得られ、ここでも、すべての境界位置にわたる外向きの正規導関数の和 (または、この場合は積分) を示します。発散定理は区分的に滑らかな領域Dに対して有効であるため、D は区分的に滑らかである必要があります。

したがって、曲面デルタプライム関数（別名ディラックδ'関数）は区分的に滑らかな曲面上に存在し、その区分的に滑らかな曲面が囲む領域Dの指示関数のラプラシアンと等価である。当然のことながら、点と曲面の違いは1次元では消える。

静電気学では、表面双極子（または二重層ポテンシャル）は、指示薬のラプラシアンの極限分布によってモデル化できます。

上記の計算は量子物理学における経路積分の研究から導き出されたものである。[2]

表面デルタ関数の証明

このセクションでは、指標の（内向き）正規微分が表面デルタ関数であることを証明します。

有限領域Dの場合、またはfが無限大でゼロになる場合、発散定理により次 の式が成り立ちます。

∫ R d ∇ × 2 （ 1 × ∈ D f （ × ） ） d × ＝ 0。 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.}

積の法則によれば、

∫ R d ∇ × 2 1 × ∈ D f （ × ） d × + ∫ R d 1 × ∈ D ∇ × 2 f （ × ） d × ＝ − 2 ∫ R d ∇ × 1 × ∈ D ⋅ ∇ × f （ × ） d × 。 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}

上のセクションの分析に従えば、左辺の2つの項は等しいので、

∮ ∂ D lim α → β n β ⋅ ∇ α f ( α ) d β = − ∫ R d ∇ x 1 x ∈ D ⋅ ∇ x f ( x ) d x . {\displaystyle \oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}

指示子の勾配は、Dの境界付近を除いてどこでもゼロであり、そこでは法線方向を向いている。したがって、∇ x f ( x ) の法線方向成分のみが関係する。境界付近では、∇ x f ( x ) がn x g ( x )に等しいと仮定する（ただしgは他の関数）。すると、次の式が成り立つ。

∮ ∂ D g ( β ) d β = − ∫ R d ∇ x 1 x ∈ D ⋅ n x g ( x ) d x . {\displaystyle \oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.}

外向き法線n x は、もともと表面のxに対してのみ定義されていましたが、 xに最も近い境界点の外向き法線を取るなどして、すべてのxに対して存在するように定義することもできます。

以上の解析から、 − n x ⋅ ∇ x 1 x ∈ Dは1次元ディラックデルタ関数の曲面一般化とみなせることがわかる。関数gを1とすれば、指示関数の内向きの法線微分はDの曲面積分となる。

静電気学では、表面電荷密度（または単一の境界層）は、上記のように表面デルタ関数を用いてモデル化できます。表面が球面の場合など、通常のディラックデルタ関数が使用される場合もあります。一般的に、ここで説明する表面デルタ関数は、あらゆる形状の表面上の表面電荷密度を表すために使用できます。

上記の計算は量子物理学における経路積分の研究から導き出されたものである。[2]

バンプ関数による近似

このセクションでは、指標の導関数を積分記号の下で数値的に処理する方法を示します。

原理的には、この指標は微分できない。なぜなら、その導関数はゼロか無限大であるからだ。しかし、実用上は、この指標はI ε ( x )で示され、ε → 0で指標に近づくバンプ関数で近似できる。いくつかの選択肢が考えられるが、バンプ関数を非負とし、下から指標に近づくようにするのが便利である。すなわち、

0 ≤ I ε ( x ) ≤ 1 x ∈ D ∀ ε > 0 lim ε ↘ 0 I ε ( x ) = 1 x ∈ D {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}}

これにより、バンプ関数の族はDの外部では常にゼロとなることが保証されます。関数fがDの内部でのみ定義されている可能性があるため、これは便利です。 f がD内で定義されている場合、以下の式が得られます。

− lim ε ↘ 0 ∫ R d f ( x ) n x ⋅ ∇ x I ε ( x ) d x = ∮ ∂ D lim α → β f ( α ) d β , lim ε ↘ 0 ∫ R d ∇ x 2 I ε ( x ) f ( x ) d x = ∮ ∂ D lim α → β n β ⋅ ∇ α f ( α ) d β , {\displaystyle {\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}}

ここで、内部座標 α はDの内部から境界座標 β に近づき、 f がDの外部に存在する必要はありません。

f が境界の両側で定義され、さらにDの境界を越えて微分可能である場合、バンプ関数が指標にどのように近づくかはそれほど重要ではありません。

不連続テスト関数

テスト関数fが境界を越えて不連続となる可能性がある場合、不連続関数の分布理論を用いて曲面分布を理解することができる（例えば、[4]のセクションVを参照）。実際には、曲面デルタ関数の場合、これは通常、境界上で積分する前に、領域Dの境界の両側でfの値を平均することを意味する。同様に、曲面デルタプライム関数の場合、これは通常、境界上で積分する前に、領域Dの境界の両側でfの外向き正規微分を平均することを意味する。

アプリケーション

量子力学

量子力学において、点相互作用はよく知られており、このテーマに関する膨大な文献が存在する。1次元特異ポテンシャルのよく知られた例としては、ディラックのデルタポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式が挙げられる。[5] [6]一方、1次元ディラックのデルタプライムポテンシャルは論争を引き起こした。 [7] [8] [9]この論争は独立した論文によって決着したかに見えたが、[10]この論文さえも後に批判を浴びた。[2] [11]

最近、１次元ディラックデルタプライムポテンシャルに多くの注目が集まっている。[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28]

一次元直線上の点は、点としても面としても考えることができます。点は二つの領域の境界を示すからです。ディラックのデルタ関数は、高次元への二つの一般化がなされています。一つは多次元点への一般化、[29] [30]、もう一つは多次元面への一般化です。[2] [31] [32] [33] [34]

前者の一般化は点相互作用として知られていますが、後者は「デルタ球相互作用」や「面デルタ相互作用」など、異なる名前で知られています。後者の一般化では、ここで説明されているように、指示子の導関数、またはラジアル座標rの関数としての1次元ディラックδ関数が使用される場合があります。

流体力学

指標のラプラシアンは流体力学において、例えば異なる媒体間の界面をモデル化するために使用されている。[35] [36] [37] [38] [39] [40]

表面再構成

指標の発散と指標のラプラシアン（または指標の特性関数としても知られる）は、曲面を再構成するためのサンプル情報として使われてきた。[41] [42]

参照

参考文献

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