剛性（K理論）

数学において、K理論の厳密性は、異なる環の代数的K理論に関連する結果を包含します。

サスリン剛性

アンドレイ・ススリンにちなんで名付けられたススリン剛性は、2つの代数的に閉じた体の間の基底変換の下でのモダ代数K理論の不変性を指す。ススリン（1983）は、拡張に対して

${\displaystyle E/F}$

代数的に閉じた体と代数多様体 X / Fの同型が存在する

${\displaystyle K_{*}(X,\mathbf {Z} /n)\cong K_{*}(X\times _{F}E,\mathbf {Z} /n),}$

X上の連接層のmod- n K理論と、その基底がEに変化することとの間の関係。X  =  Fの場合のこの事実に関する教科書的な説明は、特性pの代数的閉体のK理論の計算を含め、Weibel (2013) に掲載されている。

この結果は、他の様々な論文の刺激となった。例えば、Röndigs & Østvær (2008)は、mod -n 安定なA ¹ -ホモトピー圏の基底変換関数が

${\displaystyle \mathrm {SH} (F,\mathbf {Z} /n)\to \mathrm {SH} (E,\mathbf {Z} /n)}$

完全に忠実である。非可換動機についても同様の主張がTabuada (2018)によってなされている。

ガバーの硬直性

もう一つの種類の剛性は、ヘンゼル環Aのmod-n K理論とその留数体A / mのmod -n K理論を関連付ける。この剛性の結果は、同型が存在することを示したガッバー（1992）の研究に鑑みて、 ガッバー剛性と呼ばれる。

${\displaystyle K_{*}(A,\mathbf {Z} /n)=K_{*}(A/m,\mathbf {Z} /n)}$

ただし、n ≥ 1 はAにおいて逆行列が成り立つ整数とする。

nがAにおいて逆行列を持たない場合でも、K理論をK理論と位相巡回ホモロジー間のトレース写像のファイバーに置き換えれば、上記の結果は成立する。これはClausen, Mathew & Morrow (2021)によって示された。

アプリケーション

Jardine (1993) は Gabber と Suslin の剛性結果を使用して、Quillen の有限体 K 理論の計算を証明しました。

参考文献

• クラウゼン、ダスティン；マシュー、アキル；モロー、マシュー（2021）「K理論とヘンゼル対の位相的巡回ホモロジー」、J. Amer. Math. Soc.、34 : 411--473、arXiv : 1803.10897

• ガッバー、オフェル (1992)、「ヘンゼル局所環とヘンゼル対のK理論」、代数的K理論、可換代数、代数幾何学 (サンタ・マルゲリータ・リグレ、1989)、現代数学、第 126 巻、pp.  59– 70、doi :10.1090/conm/126/00509、MR  1156502
• ジャーディン, JF (1993)、「有限体のK理論の再考」、K理論、7 (6): 579– 595、doi :10.1007/BF00961219、MR  1268594
• レンディグス、オリバー。 Østvær、Paul Arne (2008)、「モチーフ ホモトピー理論の剛性」、Mathematische Annalen、341 (3): 651–675、doi :10.1007/s00208-008-0208-5、MR  2399164

• ススリン、アンドレイ（1983）、「代数閉体のK理論について」、 Inventiones Mathematicae、73（2）：241-245、doi：10.1007/BF01394024、MR  0714090

• Tabuada, Gonçalo (2018)、「非可換剛直性」、数学時代、289 ( 3–4 ): 1281–1298、arXiv : 1703.10599、doi :10.1007/s00209-017-1998-5、MR  3830249

• ワイベル、チャールズ A. (2013)、「Kブック」、大学院数学研究、第145巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、ISBN 978-0-8218-9132-2、MR  3076731