余代数

数学において、余代数（cogebra ）または余代数は、単位結合代数と双対（カテゴリ理論的な意味で矢印を反転させる）な構造です。単位結合代数の公理は、可換図式を用いて定式化できます。すべての矢印を反転させると、余代数の公理が得られます。すべての余代数は、（ベクトル空間の）双対性により代数を生じますが、一般にその逆は起こりません。有限次元では、この双対性は両方向に作用します（下記参照）。

余代数は、さまざまなコンテキスト（たとえば、表現理論、普遍包絡代数、群スキーム）で自然に発生します。

F-余代数も存在し、コンピューターサイエンスにおいて重要な応用があります。

非公式な議論

余代数の頻出例の一つは、表現論、特に回転群の表現論に見られる。物理学において実用的に用いられる主要な課題の一つは、角運動量とスピンの状態が異なる系の組み合わせを得ることである。この目的のために、クレプシュ・ゴルダン係数が用いられる。角運動量とを持つ2つの系が与えられた場合、特に重要な課題は、組み合わせた状態における全角運動量を求めることである。これは、テンソル積の各辺から必要な量を抽出する全角運動量演算子によって提供される。これは「外部」テンソル積として表すことができる。 あ、B{\displaystyle A,B}jあ{\displaystyle j_{A}}jB{\displaystyle j_{B}}jあ+jB{\displaystyle j_{A}+j_{B}}|あ⟩⊗|B⟩{\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }

J≡j⊗1+1⊗j{\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }

ここで「外部」という言葉が使われているのは、テンソル代数の「内部」テンソル積とは対照的である。テンソル代数にはテンソル積（内部テンソル積）が備わっているが、さらに「外部」テンソル積、つまり余積（上記の形）を備えることもできる。これらが2つの異なる積であることは、ベクトルとスカラーの内部テンソル積が単なるスカラー乗算であることを思い出すことで強調できる。外部積はこれらを区別する。この設定では、余積は写像である。

Δ:J→J⊗J{\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}

それは

Δ:j↦j⊗1+1⊗j{\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }

この例では、は回転群のスピン表現の1つと見なすことができ、基本表現は常識的な選択です。この余積は、自由対象に適用される単純な補題によって、テンソル代数全体に持ち上げることができます。テンソル代数は自由代数であるため、部分集合上に定義された任意の準同型は代数全体に拡張できます。この持ち上げを詳細に調べると、余積はシャッフル積のように振る舞うことがわかります。これは基本的に、上記の2つの因子、つまり左と右は、多重角運動量の積の間、順序通りに保たれなければならないためです（回転は可換ではありません）。 J{\displaystyle J}j{\displaystyle \mathbf {j} }

余積において を（例えば）定義するのではなく、 を一度だけ出現させるという特殊な形式は、線形性を維持するためです。この例では（そして表現論全般においても）、余積は線形でなければなりません。一般的な規則として、表現論における余積は既約であり、因子はリトルウッド・リチャードソン則によって与えられます。（リトルウッド・リチャードソン則は、クレプシュ・ゴルダン係数と同じ考え方を、より一般的な設定で伝えます。） j{\displaystyle \mathbf {j} }j↦j⊗j{\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }

以下に示すコジェネバの正式な定義は、この特定の特殊なケースとその必須プロパティを一般的な設定に抽象化します。

正式な定義

形式的には、体K上の余代数とは、K上のベクトル空間CとK線型写像Δ: C → C ⊗ Cおよびε: C → Kであって、

  1. （私dC⊗Δ）∘Δ＝（Δ⊗私dC）∘Δ{\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }
  2. （私dC⊗ε）∘Δ＝私dC＝（ε⊗私dC）∘Δ{\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }。

(ここで、⊗ はK上のテンソル積を指し、id は恒等関数です。)

同様に、次の 2 つの図は可換です。

最初の図では、C ⊗ ( C ⊗ C ) は ( C ⊗ C ) ⊗ Cと同一視されており、この 2 つは自然に同型である。[ 1 ]同様に、2 番目の図では、自然に同型な空間C、C ⊗ K、K ⊗ Cが同一視されている。[ 2 ]

最初の図は代数乗法の結合性（余乗法の余結合性と呼ばれる）を表す図の双対である。2番目の図は乗法単位元の存在を表す図の双対である。したがって、写像 Δ はCの余乗法（または余積）と呼ばれ、ε はCの共単位。

例

任意の集合Sをとり、基底Sを持つKベクトル空間C = K ( S )を以下のように構成する。このベクトル空間Cの元は、 SからKへの関数であって、 Sの有限個以外の元を0に写す関数である。Sの元sを、sを1に、 Sのその他の元を0に写す関数と同一視する。定義

Δ( s ) = s ⊗ sであり、 S内のすべてのsに対してε( s ) = 1である。

線型性により、Δ と ε はともにC全体に一意に拡張できる。ベクトル空間C は、余乗法 Δ と余単位元 ε を持つ余代数となる。

2つ目の例として、不定元Xの多項式環K [ X ]を考える。これは、任意のn ≥ 0に対して次を定義することで、コジェネバ（分割冪コジェネバ[ 3 ] [ 4 ]）となる。

Δ（Xn）＝∑け＝0n（nけ）Xけ⊗Xn−け、{\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{nk},}
ε（Xn）＝{1もし n＝00もし n>0{\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}

線型性のため、これもまたK [ X ] の全体にわたって Δ と ε を一意に定義するのに十分である。こうしてK [ X ] は単位結合代数と余代数の両方となり、両者の構造は両立する。このような対象は双代数と呼ばれ、実際、実用上考慮される重要な余代数のほとんどは双代数である。

余代数の例としては、テンソル代数、外積代数、ホップ代数、リー双代数などが挙げられます。上記の多項式の場合とは異なり、これらはいずれも可換ではありません。したがって、余積は上記の分割されたべき乗構造ではなく、シャッフル積になります。シャッフル積は、非可換代数に必要なように、積に現れる項の順序を保存するため、適切です。

位相空間の特異ホモロジーは、例えば係数が体とみなされる場合など、キュネス同型が成り立つときは常に次数付き余代数を形成する。 [ 5 ]

Cが基底{ s , c } を持つKベクトル空間である場合、Δ: C → C ⊗ Cは次のように与えられる。

Δ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s
Δ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s

そしてε: C → Kは次のように与えられる。

ε( s ) = 0
ε( c ) = 1

この場合、( C ,Δ,ε)は三角余代数として知られる余代数である。[ 6 ] [ 7 ]

区間集合Jを持つ局所有限な半集合Pに対して、Jを基底とする接続余代数Cを定義する。余乗法と余単位は次のように定義される。

Δ[×、z]＝∑y∈[x,z][x,y]⊗[y,z] for x≤z .{\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{ for }}x\leq z\ .}
ε[x,y]={1if x=y,0if x≠y.{\displaystyle \varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}}

長さ0の区間はPの点に対応し、群のような要素である。[ 8 ]

有限次元

有限次元においては、代数と余代数の双対性はより密接になります。有限次元（単位結合的）代数の双対は余代数であり、有限次元余代数の双対は（単位結合的）代数です。一般に、代数の双対は余代数ではない場合があります。

重要な点は、有限次元では、( A ⊗ A ) ∗とA ∗ ⊗ A ∗は同型であるということです。

これらを区別するには、一般に、代数と余代数は双対概念(つまり、それらの公理が双対である、つまり矢印を逆にする) ですが、有限次元の場合は、それらは双対オブジェクトでもあります(つまり、余代数は代数の双対オブジェクトであり、その逆も同様です)。

A が有限次元単位結合的K代数である場合、AからKへのすべてのK線型写像からなるK双対A ∗は余代数である。A の乗法は線型写像A ⊗ A → Aと見なすことができ、これを双対化すると線型写像A ∗ → ( A ⊗ A ) ∗が得られる。有限次元の場合、( A ⊗ A ) ∗ は自然にA ∗ ⊗ A ∗と同型となるため、これはA ∗上の余乗法を定義する。A ∗の余単位は、 1 における線型汎関数を評価することによって与えられる。

スウィードラー記法

余代数を扱う場合、余乗法の特定の表記法は式をかなり簡略化するため、非常に普及している。余代数 ( C , Δ, ε ) の元cが与えられたとき、元cが存在する。（私 ）（1）およびc（私 ）（2）C言語で は

Δ(c)=∑ic(1)(i)⊗c(2)(i){\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}

この和の項の数も、 または のそれぞれの正確な値も、 によって一意に決定されるわけではないことに注意してください。有限個の項が存在し、これらすべての項の完全な和が正しい値 になることのみが約束されています。 c(1)(i){\displaystyle c_{(1)}^{(i)}}c(2)(i){\displaystyle c_{(2)}^{(i)}}c{\displaystyle c}c(1)(i)⊗c(2)(i){\displaystyle c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}Δ(c){\displaystyle \Delta (c)}

スウィードラー記法[ 9 ] （モス・スウィードラーにちなんで名付けられた）では、これは次のように略される。

Δ(c)=∑(c)c(1)⊗c(2).{\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}

εがコユニットであるという事実は、次の式で表すことができます。

c=∑(c)ε(c(1))c(2)=∑(c)c(1)ε(c(2)).{\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}

ここで、 の和は、 の前の和と同様に、同じ数の項と、およびの値のリストを持つことがわかります。 c(1){\displaystyle c_{(1)}}c(2){\displaystyle c_{(2)}}Δ(c){\displaystyle \Delta (c)}

Δの共結合性は次のように表される。

∑(c)c(1)⊗(∑(c(2))(c(2))(1)⊗(c(2))(2))=∑(c)(∑(c(1))(c(1))(1)⊗(c(1))(2))⊗c(2).{\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}

スウィードラー記法では、これらの式は両方とも次のように書かれる。

∑(c)c(1)⊗c(2)⊗c(3).{\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}

和の記号を省略する著者もいる。この和のないスウィードラー記法では、次のように書く。

Δ(c)=c(1)⊗c(2){\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}

そして

c=ε(c(1))c(2)=c(1)ε(c(2)).{\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}

この種の式で、下付き括弧で囲まれたインデックスを持つ変数に遭遇した場合は、その変数の合計記号が暗黙的に示されます。

さらなる概念と事実

余代数( C , Δ, ε )が共可換であるとは、σ: C ⊗ C → C ⊗ Cが、 Cのすべてのc , dに対してσ ( c ⊗ d ) = d ⊗ cで定義されるK -線型写像である場合を言う。スウィードラーの無和記法では、C が共可換であるための必要十分条件は、 σ∘Δ=Δ{\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }

c(1)⊗c(2)=c(2)⊗c(1){\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}

C内のすべてのcについて。（ここでは暗黙の合計が重要であることを理解することが重要です。すべての加数が等しい必要はなく、合計が等しいことだけが求められます。これははるかに弱い要件です。）

群状元（または集合状元）は、 Δ( x ) = x ⊗ xかつε ( x ) = 1となる元xである。この命名規則が示唆するのとは反対に、群状元は常に群を形成するわけではなく、一般的には集合のみを形成する。ホップ代数の群状元は群を形成する。原始元は、 Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ xを満たす元xである。ホップ代数の原始元はリー代数を形成する。[ 10 ] [ 11 ]

( C 1 , Δ 1 , ε 1 )と( C 2 , Δ 2 , ε 2 )が同じ体K上の2つの余代数である場合、C 1からC 2への余代数射は、および となるK -線型写像f  : C 1 → C 2である。スウィードラーの無和記法では、これらの特性の最初のものは次のように表される。 (f⊗f)∘Δ1=Δ2∘f{\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}ε2∘f=ε1{\displaystyle \varepsilon _{2}\circ f=\varepsilon _{1}}

f(c(1))⊗f(c(2))=f(c)(1)⊗f(c)(2).{\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}

2 つの余代数射の合成もまた余代数射であり、K上の余代数はこの射の概念とともにカテゴリを形成します。

Cの線型部分空間 Iがコイデアルであるとは、 I ⊆ ker( ε )かつΔ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ Iが成立する場合を言う。この場合、商空間C / Iは自然にコイデアルとなる。

Cの部分空間Dは、 Δ( D ) ⊆ D ⊗ D のとき部分余代数と呼ばれます。その場合、D自体は余代数であり、余単位としてεの制限を受けます。

あらゆる余代数射f  : C 1 → C 2の核はC 1の余イデアルであり、その像はC 2の部分余代数である。一般的な同型定理は余代数にも適用され、例えばC 1 /ker( f ) は im( f ) と同型である。

Aが有限次元単位結合K代数ならば、A ∗は有限次元余代数であり、実際、あらゆる有限次元余代数は、このようにして何らかの有限次元代数（すなわち、余代数のK双対）から生じる。この対応関係において、可換有限次元代数は、可換有限次元余代数に対応する。したがって、有限次元の場合、代数の理論と余代数の理論は双対であり、一方を研究することは他方を研究することと等価である。しかし、無限次元の場合、関係は発散する。あらゆる余代数のK双対は代数であるが、無限次元代数のK双対は余代数である必要はない。

あらゆる余代数はその有限次元部分余代数の和であるが、これは代数においては成り立たない。抽象的には、余代数は有限次元単位結合代数の一般化、あるいは双対である。

代数の表現の概念に対応するのは、共表現または共加群です。

参照

参考文献

  1. ^横沼 (1992). 「命題 1.7」.テンソル空間と外積代数. p. 12.
  2. ^横沼 (1992). 「命題 1.4」.テンソル空間と外積代数. p. 10.
  3. ^ Dăscălescu、Năstăsescu、Raianu (2001) も参照。ホップ代数: 入門。 p. 3.
  4. ^ Raianu, Serban. Coalgebras from Formulas Archived 2010-05-29 at the Wayback Machine、p. 2も参照。
  5. ^ 「講義ノート（参考資料）」（PDF） 。 2012年2月24日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2008年10月31日閲覧。
  6. ^ Dăscălescu、Năstăsescu、Raianu (2001)も参照。ホップ代数: 入門。 p. 4.、およびダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ (2001)。ホップ代数: 入門。 p. 55.、例1.1.5。
  7. ^ Raianu, Serban.数式からの余代数Archived 2010-05-29 at the Wayback Machine , p. 1.
  8. ^モンゴメリー（1993）p.61
  9. ^アンダーウッド（2011）p.35
  10. ^ミハレフ、アレクサンドル・ヴァシリエヴィチ;ピルツ、ギュンター編。 （2002年）。代数の簡潔なハンドブック。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 307、C.42。ISBN 0792370724。
  11. ^阿部英一 (2004).ホップ代数. ケンブリッジ数学トラクト第74巻.ケンブリッジ大学出版局. p. 59. ISBN 0-521-60489-3。

さらに読む

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