シルベスターの三角形問題

数学の解決済み問題

シルベスターの定理（シルベスターのていり、またはシルベスターの公式）は、三角形幾何学の文脈において、長さが等しい3つの互いに異なるベクトルの和の特定の解釈を記述する。文献では、定理ではなく問題として提示される場合、 「シルベスター（三角形）問題」とも呼ばれる。この定理は、イギリスの数学者ジェームズ・ジョセフ・シルベスターにちなんで名付けられている。

定理

長さが等しい3つのベクトルを考えます。これらのベクトルはそれぞれ同じ点に作用し、点、、を形成します。これらの点は、を外接円の中心とする三角形を形成します。三角形の垂心をとすると、接続ベクトルは 3つのベクトルの和に等しくなります。^[1]^[2] ${\vec {u}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {w}}$ $O$ $A$ $B$ $C$ $\triangle ABC$ $O$ $H$ ${\overrightarrow {OH}}$

{\overrightarrow {OH}}={\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}

さらに、点と点はオイラー直線上にあり、重心もそこにあるため、次の式が成り立ちます。^[3] $O$ $H$ $S$

{\overrightarrow {OH}}=3\cdot {\overrightarrow {OS}}

一般化

シルベスターの定理における等長条件を捨て、任意の3つの互いに異なるベクトルのみを対象とすると、上記の式はもはや成立しなくなります。しかし、重心との関係は依然として成り立ちます。つまり、次の式です。^[3]

3\cdot {\overrightarrow {OS}}={\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}

これは、内の有限の点の集合に対する重心の定義 $\mathbb {R} ^{n}$ から直接導かれ、に作用するベクトルに対する定義も導き出される：^[3] $n$ $O$

n\cdot {\overrightarrow {OS}}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}

ここで、はに作用するベクトルによって生成される多角形の頂点の重心です。^[4] $S$ $n$ $O$

参考文献

^ ロジャー・A・ジョンソン著『ユークリッド幾何学の発展』ドーバー社、2007年、ISBN 978-0-486-46237-0、251ページ
^ デーリー、ハインリッヒ (1965). 「シルベスターの問題」.初等数学100大問題. アンティン、デイヴィッド訳. ドーバー. p. 142. ISBN 978-0-486-61348-2。
^ abc Michael de Villiers：「シルベスターの問題の一般化」『数学ガゼット』第96巻第535号（2012年3月）、78-81頁（JSTOR）
^ n頂点を持つ多角形の（面積）重心は、n >3の場合にはその頂点の重心とは異なることに注意する。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「シルベスターの三角形問題」。マスワールド。
ダリジ・グリンバーグ：スタンレー・フアン著「アメリカ数学月刊問題11398」の解答 - シルベスターの定理とその証明を補題として含んでいる
インタラクティブな動的幾何学スケッチ：シルベスターの定理の一般化

[1] ロジャー・A・ジョンソン著『ユークリッド幾何学の発展』ドーバー社、2007年、ISBN 978-0-486-46237-0、251ページ

[2] デーリー、ハインリッヒ (1965). 「シルベスターの問題」.初等数学100大問題. アンティン、デイヴィッド訳. ドーバー. p. 142. ISBN 978-0-486-61348-2。

[Villiers-3] Michael de Villiers：「シルベスターの問題の一般化」『数学ガゼット』第96巻第535号（2012年3月）、78-81頁（JSTOR）

[4] 頂点を持つ多角形の（面積）重心は、n >3の場合にはその頂点の重心とは異なることに注意する。