対称化可能なコンパクト演算子
数学的コンパクト演算子

数学において、対称化可能コンパクト作用素とは、自明な核を持つ正の作用素と合成して自己随伴作用素を生成することができる、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素である。このような作用素は、ユークリッド空間の有界領域上の楕円境界値問題を解くために必要な、ヒルベルト、コーン、リヒテンシュタイン、マーティの積分作用素に関する研究で自然に生まれた。1940 年代後半から 1960 年代前半にかけて、以前は古典的なポテンシャル理論の一部として開発された手法が、 MG クライン、ウィリアム T. リード、ピーター ラックス、ジャン ディウドネなどのさまざまな数学者によって作用素理論の中で抽象化された。フレドホルム理論では既に、スペクトルの任意の要素が固有値であることが暗示されている。主な結果から、これらの作用素のスペクトル理論は、コンパクト自己随伴作用素のスペクトル理論と類似していることが主張されている。つまり、任意のスペクトル値は実数であり、ゼロに向かうシーケンスを形成する。任意の一般化固有ベクトルは固有ベクトルであり、固有ベクトルはヒルベルト空間の稠密な部分空間を張ります。

議論

H をヒルベルト空間とする。H上のコンパクト作用素Kが対称化可能であるとは、 H上に有界自己随伴作用素Sが存在し、 S が正で自明な核を持つ、すなわち任意の非零xに対して( Sx , x ) > 0 であり、SKが自己随伴であるときである。

S K ＝ K ∗ S 。 {\displaystyle \displaystyle {SK=K^{*}S.}}

多くの応用においてSはコンパクトである。作用素SはH上の新たな内積を定義する。

（ × 、 y ） S ＝ （ S × 、 y ） 。 {\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{S}=(Sx,y)}.}

H S をこの内積に関する Hのヒルベルト空間完備化とします。

作用素KはH Sの稠密部分空間H上の形式的に自己随伴な作用素を定義する。Krein (1947)とReid (1951)が指摘したように、この作用素はKと同じ作用素ノルムを持つ。実際、[1]の自己随伴性条件は次を意味する 。

S K n ＝ （ K ∗ ） n S 。 {\displaystyle \displaystyle {SK^{n}=(K^{*})^{n}S.}}

帰納的に、( x , x ) S = 1 ならば、

‖ K × ‖ S | 2 n ≤ ‖ K 2 n × ‖ S 。 \displaystyle \displaystyle {\|Kx\|_{S}|^{2^{n}}\leq \|K^{2^{n}}x\|_{S}.}}

したがって

‖ K × ‖ S ≤ リムサップ n → ∞ ‖ K ‖ （ ‖ S ‖ ‖ × ‖ 2 ） 1 / 2 n ＝ ‖ K ‖ {\displaystyle \displaystyle {\|Kx\|_{S}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\|K\|(\|S\|\|x\|^{2})^{1/2^{n}}=\|K\|}}

Kが単にコンパクトな場合、クラインはフレドホルム理論を用いて、 K がH S上のコンパクト作用素を定義することを示す議論を与えた。Kがシャッテン類に属する場合、より簡潔な議論が可能である。

Kがヒルベルト・シュミット作用素のとき、議論は次のように進む。RをSの唯一の正の平方根とし、ε > 0に対して[2]を定義する。

あ ε ＝ （ R + ε 私 ） − 1 S K （ R + ε 私 ） − 1 。 {\displaystyle \displaystyle {A_{\varepsilon }=(R+\varepsilon I)^{-1}SK(R+\varepsilon I)^{-1}.}}

これらはH上の自己随伴ヒルベルト・シュミット作用素であり、ヒルベルト・シュミットノルムで一様有界である。

‖ あ ε ‖ 2 2 ＝ （ R 2 （ R + ε 私 ） − 2 K 、 K R 2 （ R + ε 私 ） − 2 ） 2 ≤ ‖ K ‖ 2 2 、 {\displaystyle \displaystyle {\|A_{\varepsilon }\|_{2}^{2}=(R^{2}(R+\varepsilon I)^{-2}K,KR^{2}(R+\varepsilon I)^{-2})_{2}\leq \|K\|_{2}^{2},}}

ヒルベルト・シュミット作用素はヒルベルト空間を形成するので、自己随伴ヒルベルト・シュミット作用素Aに弱収束する部分列が存在する。A ε R はヒルベルト ・シュミットノルムにおいて RKに収束するので、

R K ＝ あ R 。 {\displaystyle \displaystyle {RK=AR.}}

したがって、UがH SとHの間のRによって誘導されるユニタリーである場合、 Kの制限によって誘導される演算子K SはH上のAに対応します。

あなた K S あなた ∗ ＝ あ 。 {\displaystyle \displaystyle {UK_{S}U^{*}=A.}}

演算子K  −  λIおよびK * −  λIは、 λ ≠ 0 に対して指数 0 のフレドホルム演算子であるため、KまたはK * の任意のスペクトル値は固有値であり、対応する固有空間は有限次元です。 一方、コンパクト演算子の特殊定理により、HはAの固有空間の直交直和であり、 0 固有空間を除いてすべて有限次元です。RA = K * Rであるため、 Aの λ 固有空間のRによる像は、K *の λ 固有空間にあります。 同様に、RはKの λ 固有空間をAの λ 固有空間に持ち込みます。 したがって、KおよびK * の固有値はすべて実数です。 Rは単射であり稠密範囲を持つため、A、K、およびK *の λ 固有空間の間に同型を誘導します。一般化固有値についても同様です。K  −  λIとK * −  λIの冪も指数 0 のフレドホルム分布です。Aの任意の一般化 λ 固有ベクトルは既に固有ベクトルであるため、 KとK *についても同様です。λ = 0 の場合、この議論はK m x = 0がKx = 0 を意味することを示しています。

最後に、 K *の固有空間はHの稠密部分空間を張る。これは、 K * がAの対応する空間のRによる像を含むからである。また、上記の議論は、 H SにおけるK Sの非零固有値の固有ベクトルがすべて部分空間Hに存在することを示唆している。

非ゼロの実固有値λnを持つヒルベルト・シュミット作用素Kは、Carleman(1921)によって証明された以下の恒等式を満たす。

t r K 2 ＝ ∑ λ n 2 、 詳細 （ 私 − z K 2 ） ＝ ∏ n ＝ 1 ∞ （ 1 − z λ n 2 ） 。 {\displaystyle \displaystyle {\mathrm {tr} \,K^{2}=\sum \lambda _{n}^{2},\,\,\,\det(I-zK^{2})=\prod _{n=1}^{\infty }(1-z\lambda _{n}^{2}).}}

ここで、tr はトレースクラス作用素上のトレースであり、det はフレドホルム行列式である。対称化可能なヒルベルト・シュミット作用素の場合、結果はKまたはK * のトレースまたは行列式がAのトレースまたは行列式に等しいことを示す。対称化可能な作用素の場合、K * の恒等式は、 H 0 をK *の核とし、 H m を非ゼロ固有値 λ mの有限次元固有空間とすることで証明できる。P N を0 ≤ m ≤ Nを満たすH mの直和への直交射影とする。この部分空間はK *によって不変のままにされる。和は直交ではないが、K *の制約P N K * P Nは、同じ固有値を持つ直交直和上の対角作用素と、有界逆を持つ有界作用素によって相似となる。したがって

t r ( P N K ∗ P N ) 2 = ∑ m = 1 N λ m 2 ⋅ d i m H m , d e t [ P N − z ( P N K ∗ P N ) 2 ] = ∏ m = 1 N ( 1 − z λ m 2 ) d i m H m . {\displaystyle \displaystyle {\mathrm {tr} \,(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}=\sum _{m=1}^{N}\lambda _{m}^{2}\cdot \mathrm {dim} \,H_{m},\,\,\,\mathrm {det} \,[P_{N}-z(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}]=\prod _{m=1}^{N}(1-z\lambda _{m}^{2})^{\mathrm {dim} \,H_{m}}.}}

P N K * P N はヒルベルト・シュミットノルムでK *に近づくため、 N が無限大に近づくにつれて極限まで進むことでK *の恒等式が成り立ちます。

注記

  1. ^ ハルモス 1974
  2. ^ カビンソン、プーティナール、シャピロ 2007、p. 156

参考文献

  • Carleman, T. (1921)、「Zur Theorie der Linearen Integralgleichungen」、Math。 Z.、9 ( 3–4 ): 196–217、土井:10.1007/bf01279029、S2CID  122412155
  • ディウドネ、J.（1969）、現代解析の基礎、純粋および応用数学、アカデミックプレス
  • Halmos, PR (1974), A Hilbert space problem book , Graduate Texts in Mathematics, vol. 19, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90090-2、問題82
  • Kellogg、Oliver Dimon (1929)、ポテンシャル理論の基礎、Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 31、シュプリンガー・フェルラーク
  • Khavinson, D.; Putinar, M.; Shapiro, HS (2007)、「ポテンシャル理論におけるポアンカレの変分問題」、Arch. Ration. Mech. Anal.、185 (1): 143– 184、Bibcode :2007ArRMA.185..143K、CiteSeerX  10.1.1.569.7145、doi :10.1007/s00205-006-0045-1、S2CID  855706
  • Krein, MG (1998)、「2つのノルムを持つ関数空間上のコンパクト線形作用素（1947年のウクライナ語論文からの翻訳）」、積分方程式作用素理論、30 (2): 140– 162、doi :10.1007/bf01238216、S2CID  120822340
  • Landkof, NS (1972)、現代ポテンシャル理論の基礎、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 180、シュプリンガー・フェルラーク
  • ラックス、ピーター・D. (1954)、「対称化可能な線形変換」、Comm. Pure Appl. Math.、7 (4): 633– 647、doi :10.1002/cpa.3160070403
  • リード、ウィリアム・T. (1951)、「ヒルベルト空間における対称化可能な完全連続線型変換」、デューク数学誌、18 : 41–56、doi :10.1215/s0012-7094-51-01805-4
  • Zaanen, Adriaan Cornelis (1953),線型解析; 測度と積分、バナッハ空間とヒルベルト空間、線型積分方程式、Interscience
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