シングの世界関数

一般相対性理論において、シンジの世界関数は、滑らかなロレンツ計量を持つ滑らかな時空 における点のペアの滑らかな局所定義関数である。を時空上の2点とし、が の凸正規近傍（に関連付けられたレヴィ・チヴィタ接続を参照）に属し、からまで、アフィンパラメータ を除けば に含まれる唯一の測地線が存在すると仮定する。 およびと仮定する。このとき、シンジの世界関数は次のように定義される。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (\lambda )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \gamma (\lambda _{0})=x'}$ ${\displaystyle \gamma (\lambda _{1})=x}$

${\displaystyle \sigma (x,x')={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}-\lambda _{0})\int _{\gamma }g_{\mu \nu }(z)t^{\mu }t^{\nu }d\lambda }$

ここで、はアフィンパラメータ化された測地線 への接線ベクトルである。つまり、 は、からまでの符号付き測地線長の2乗の半分であり、における2点を結ぶ唯一の測地線分に沿って計算される。シンジの世界関数は明確に定義されている。なぜなら、上記の積分は再パラメータ化に対して不変だからである。特に、ミンコフスキー時空の場合、シンジの世界関数は2点間の時空間隔の半分に簡略化される。つまり、これは大域的に定義され、次の形をとる。 ${\displaystyle t^{\mu }={\frac {dz^{\mu }}{d\lambda }}}$ ${\displaystyle \gamma (\lambda )}$ ${\displaystyle \sigma (x,x')}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \sigma (x,x')={\frac {1}{2}}\eta _{\alpha \beta }(x-x')^{\alpha }(x-x')^{\beta }.}$

明らかに Synge の関数はリーマン多様体でも定義することができ、その場合には負でない符号を持ちます。一般的に言えば、Synge の関数は局所的にのみ定義され、凸正規近傍よりも大きな領域への拡張を定義しようとすると、時空内の 2 点を結ぶ測地線分が複数存在する可能性があるため、一般に多価関数になります。ただし、 の対角線の近傍で定義することは可能ですが、この定義には何らかの任意の選択が必要です。Synge の世界関数 (および の対角線の近傍への拡張) は、特に、曲がった時空 における量子場の理論のいくつかの理論的構成に現れます。これは、大域的双曲多様体 におけるローレンツ グリーン双曲型 2 階偏微分方程式のグリーン関数のパラメータを構成するために、およびアダマール ガウス状態の定義に 使用される重要なオブジェクトです。${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle M\times M}$

参考文献

• シング、ジョン、L. (1960).相対性理論：一般理論. ノースホランド. ISBN 0-521-34400-X。

• フルリング、スティーブン、A. (1989).曲がった時空における量子場理論の諸相. CUP. ISBN 0-521-34400-X。

• ポアソン, E.; パウンド, A.; ヴェガ, I. (2011). 「曲がった時空における点粒子の運動」. Living Rev. Relativ . 14 (7): 7. arXiv : 1102.0529 . Bibcode :2011LRR....14....7P. doi : 10.12942/lrr-2011-7 . PMC  5255936. PMID 28179832  .

• モレッティ、ヴァルター (2021). 「場の理論における大域的アダマール媒介変数と、凸正規近傍よりも大きな領域で定義された符号付き2乗測地距離について」. Letters in Mathematical Physics . 111 (5): 130. arXiv : 2107.04903 . Bibcode :2021LMaPh.111..130M. doi : 10.1007/s11005-021-01464-4 .
• モレッティ、ヴァルター（2024） 『数理物理学における幾何学的手法II：多様体と一般相対論におけるテンソル解析』第7章。講義ノート トレント大学（2024）