実現（システム）

システム理論において、状態空間モデルの実現とは、与えられた入出力動作の実装である。つまり、入出力関係が与えられた場合、実現とは（時間変動する）行列の4つ組であり、 $[A(t),B(t),C(t),D(t)]$

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)

\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)

時刻におけるシステムの入力と出力を記述します。 $(u(t),y(t))$ $t$

LTIシステム

伝達行列、によって指定される線形時間不変システムの場合、実現はとなる任意の 4 重行列です。 $H(s)$ $(A,B,C,D)$ $H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$

標準的な実現

厳密に適切な任意の伝達関数は、次のアプローチによって簡単に状態空間に転送できます (この例は 4 次元、単一入力、単一出力システム用です)。

伝達関数が与えられた場合、それを展開して分子と分母の両方の係数をすべて明らかにします。結果は次のようになります。

H(s)={\frac {n_{3}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{1}s+n_{0}}{s^{4}+d_{3}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{1}s+d_{0}}}

。

次の方法により、係数を状態空間モデルに直接挿入できるようになりました。

{\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}&-d_{0}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)

{\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{3}&n_{2}&n_{1}&n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)

。

この状態空間実現は、結果として得られるモデルが制御可能であることが保証されているため（つまり、制御が積分器のチェーンに入るため、あらゆる状態を移動できる）、制御可能標準形式（位相変数標準形式とも呼ばれる）と呼ばれます。

伝達関数の係数は、別の種類の標準形を構築するためにも使用できる。

{\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{1}&0&0&1\\-d_{0}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\\n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)

{\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)

。

この状態空間実現は、結果として得られるモデルが観測可能であることが保証されているため（つまり、出力が積分器のチェーンから出力されるため、すべての状態が出力に影響を与えるため）、観測可能標準形式と呼ばれます。

一般システム

D= 0

入力、出力、重み付けパターンがある場合、実現は任意の3つの行列で、ここでは実現に関連付けられた状態遷移行列です。 ^[1] $u(t)$ $y(t)$ $T(t,\sigma )$ $[A(t),B(t),C(t)]$ $T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )$ $\phi$

システム識別

システム同定技術は、システムから実験データを取得し、実現結果を出力します。このような技術は、入力データと出力データの両方を利用する場合（例：固有値実現アルゴリズム）と、出力データのみを利用する場合（例：周波数領域分解）があります。一般的に、入出力手法の方が精度は高くなりますが、入力データが常に利用できるとは限りません。

参照

参考文献

^ Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。

[1] Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。