セゲド指数

化学グラフ理論において、セゲド指数は分子の位相的な指数であり、生化学で用いられる。イヴァン・グットマン[ ^{1 ]}によって導入されたセゲド指数は、ハリー・ウィーナーによって導入されたウィーナー指数の概念を一般化したものである。連結グラフGのセゲド指数は次のように定義される ^。

${\displaystyle Sz(G)=\sum _{e\in E(G)}n_{1}(e\mid G)n_{2}(e\mid G),}$

Gの辺eが頂点uとv を結ぶ辺である場合、 e  =  uvまたはe  =  vuと書きます。 において、と をそれぞれ、 Gの頂点のうち頂点vよりも頂点uに近い頂点の数、およびGの頂点のうち頂点uよりも頂点 vに近い頂点の数とします。 ${\displaystyle e=uv\in E(G)}$ ${\displaystyle n_{1}(e\mid G)}$ ${\displaystyle n_{2}(e\mid G)}$

セゲド指数は情報理論において重要な役割を果たします。ネットワーク構造を測定する方法の一つとして、いわゆるトポロジカル指数が挙げられます。セゲド指数は、多くの生物学的特性や物理化学的特性と良好な相関関係にあることが示されています。

例

下図のデンドリマーナノスターのセゲド指数は^{[ 2 ]で計算できる。}

${\displaystyle Sz(T_{n})=1620n\cdot 4^{n}-2376\cdot 4^{n}+2862\cdot 2^{n}-432,\quad n\geq 0.}$

グラフの二重グラフは、それ自身に対する既知のインデックスを持つ: ^{[ 3 ]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[G]}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle Sz({\mathcal {D}}[G])=16Sz(G)}$

参考文献

1. Gutman, I. (1994)、「木のウィーナー数の公式と閉路を含むグラフへのその拡張」、Graph Theory Notes、NY、27 : 9–15。
2. Khalifeh, MH; Darafsheh, MR; Jolany, H. (2011)、「デンドリマーナノスターのウィーナー指数、セゲド指数、PI指数」、Journal of Computational and Theoretical Nanoscience、8 (2): 220– 223、Bibcode : 2011JCTN....8..220K、doi : 10.1166/jctn.2011.1681。
3. Ghasemi, Mehdi; Madanshekaf, Ali (2023年9月27日). 「二重グラフ上の位相指標について」 . Caspian Journal of Mathematical Sciences . 12 (2): 423– 439. doi : 10.22080/CJMS.2023.25624.1660 .