横モード

電磁放射の横モードとは、放射の伝播方向に垂直な面（すなわち横方向）における放射の特定の電磁場パターンである。横モードは、導波管内に閉じ込められた電波やマイクロ波、光ファイバーやレーザーの光共振器内の光波にも発生する。^{[ 1 ]}

横モードは、導波管によって波に課される境界条件によって発生します。例えば、中空金属導波管内の電波は、導波管の壁面において接線方向の電界振幅がゼロでなければならないため、波の電界の横方向パターンは壁面の間に収まるものに限定されます。このため、導波管がサポートするモードは量子化されます。許容されるモードは、与えられた導波管の境界条件について マクスウェル方程式を解くことで見つけることができます。

モードの種類

自由空間またはバルク等方性誘電体内の誘導されない電磁波は、平面波の重ね合わせとして記述できます。これらは、以下に定義される TEM モードとして記述できます。

しかし、物理的構造によって境界条件が課されるあらゆる種類の導波管においては、特定の周波数の波は横モード（またはそのようなモードの重ね合わせ）によって記述することができます。これらのモードは一般に異なる伝搬定数に従います。2つ以上のモードが導波管に沿って同一の伝搬定数を持つ場合、その伝搬定数を持つ波を記述するために複数のモード分解が可能です（例えば、非中心ガウスレーザーモードは、後述する エルミート・ガウスモードまたはラゲール・ガウスモードの重ね合わせとして同等に記述できます）。

導波管

一般的に使用される導波モードのフィールドパターン

導波管内のモードは次のように分類できます。

横方向電磁気（TEM）モード

伝播方向には電場も磁場もありません。

横方向電気（TE）モード

伝播方向には電場が存在しない。伝播方向には磁場のみが存在するため、Hモードと呼ばれることもある（ Hは磁場を表す慣用記号である）。

横磁気（TM）モード

伝播方向に磁場は存在しません。伝播方向にのみ電場が存在するため、Eモードと呼ばれることもあります。

ハイブリッドモード

伝搬方向における非ゼロの電界と磁界。平面伝送線路 § モードも参照。

導体ベースの伝送線路

同軸ケーブルでは、エネルギーは通常、基本TEMモードで伝送されます。他のほとんどの電気導体線路形式でも、TEMモードが想定されています。これはほぼ正確な想定ですが、大きな例外としてマイクロストリップがあります。マイクロストリップでは、導体の下の誘電体基板とその上の空気の境界における不均一性のために、伝播波に大きな縦方向成分が含まれます。不均一性は、同軸ケーブルのコネクタや曲げ部でも発生します。コネクタによって生成される非TEMモードは、信号の周波数が十分に高くない限り、通常は無視できます。これは、コネクタの 最大外部モードフリー動作^{[ 2 ]}または単にモードフリー動作^{[ 3 ] [ 4 ]周波数と呼ばれます。}

光ファイバーやその他の誘電体導波管では、モードは一般にハイブリッド型になります。

導波管

均質で等方性の材料（通常は空気）で満たされた中空金属導波管は、TEモードとTMモードをサポートしますが、TEMモードはサポートしません。長方形導波管では、長方形モード番号はTE _mnやTM _mnのようにモードタイプに付けられた2つの接尾辞番号で指定されます。ここで、mは導波管の幅方向の半波長パターンの数、nは導波管の高さ方向の半波長パターンの数です。円形導波管には円形モードが存在し、ここでmは円周方向の半波長パターンの数、nは直径方向の半波長パターンの数です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

光ファイバー

光ファイバーのモード数によって、マルチモード光ファイバーとシングルモード光ファイバーが区別されます。ステップインデックス型光ファイバーのモード数を決定するには、V数を決定する必要があります。ここで、は波数、は光ファイバーのコア半径、およびはそれぞれコアとクラッドの屈折率です。Vパラメータが2.405未満の光ファイバーは基本モード（ハイブリッドモード）のみをサポートするため、シングルモード光ファイバーと呼ばれます。一方、Vパラメータがより高い光ファイバーはマルチモード光ファイバーとなります。^{[ 7 ]}${\textstyle V=k_{0}a{\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

電界分布をモードに分解することは、多数の電界振幅の測定値をはるかに少数のモード振幅に簡略化できるため有用である。これらのモードは単純な規則に従って時間とともに変化するため、電界分布の将来の挙動を予測することも可能となる。複雑な電界分布をこのように簡略化することで、光ファイバー通信システムの信号処理要件が緩和される。^{[ 8 ]}

典型的な低屈折率コントラストファイバーのモードは通常LP （直線偏光）モードと呼ばれ、これはフィールド解のスカラー近似を指し、横方向フィールド成分が1つだけ含まれているかのように扱います。^{[ 9 ]}

レーザー

円筒横モードパターンTEM( pl )

円筒対称性を持つレーザーでは、横方向モードパターンはガウスビームプロファイルとラゲール多項式の組み合わせで記述され ます。モードはTEM _plで表され、 pとlはそれぞれラジアルモードと角度モードの次数を表す整数です。モード中心からの 点( r , φ )（極座標）における強度は次式で与えられます。ρ = 2 r ² / w ²、L$${\displaystyle I_{pl}(\rho ,\varphi )=I_{0}\rho ^{l}\left[L_{p}^{l}(\rho )\right]^{2}\cos ^{2}(l\varphi )e^{-\rho }}$$ ^左_pはp次、指数lの関連するラゲール多項式であり、w はガウスビーム半径に対応するモードのスポットサイズです。

p =2、l =1の円筒横モード

p = l = 0の場合、TEM ₀₀モードは最低次です。これはレーザー共振器の基本横モードであり、ガウスビームと同じ形状をしています。パターンには単一のローブがあり、モード全体で位相が一定です。pが増加するモードは強度の同心円を示し、lが増加するモードは角度的に分布したローブを示します。一般に、モードパターンには2 l ( p +1)個のスポットがあります ( l = 0を除く)。TEM _{0 i *}モード、いわゆるドーナツモードは、互いに360°/4 i回転した 2 つのTEM _{0 i}モード ( i = 1、2、3 )の重ね合わせで構成される特殊なケースです。

モードの全体的な大きさはガウスビーム半径wによって決定され、ビームの伝播に伴って増加または減少する可能性がありますが、モードは伝播中にその全体的な形状を維持します。高次モードはTEM ₀₀モードと比較して比較的大きいため、レーザー共振器内に適切なサイズの開口部を配置することで、レーザーの基本ガウスモードを選択できます。

多くのレーザーでは、光共振器の対称性はブリュースター角窓などの偏光素子によって制限される。これらのレーザーでは、直交対称の横モードが形成される。これらのモードはTEM _mnと表記され、mとnはパターンの水平方向と垂直方向の次数である。z軸に沿って伝播するビームの点（x、y、z）における電界パターンは^{[ 10 ]}で与えられる。 ここで、、、、はガウスビームに対して与えられるウェスト、スポットサイズ、曲率半径、およびグイ位相シフトである。は正規化定数であり、はk番目の物理学者のエルミート多項式である。対応する強度パターンは $${\displaystyle E_{mn}(x,y,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w}}H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}}\right)H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}}\right)\exp \left[-(x^{2}+y^{2})\left({\frac {1}{w^{2}}}+{\frac {jk}{2R}}\right)-jkz-j(m+n+1)\zeta \right]}$$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle w(z)}$ ${\displaystyle R(z)}$ ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ $${\displaystyle I_{mn}(x,y,z)=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w}}\right)^{2}\left[H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}}\right)\exp \left({\frac {-x^{2}}{w^{2}}}\right)\right]^{2}\left[H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}}\right)\exp \left({\frac {-y^{2}}{w^{2}}}\right)\right]^{2}}$$

長方形横モードパターンTEM(mn)

TEM ₀₀モードは、円筒形状の場合と全く同じ基本モードに対応します。m と n が増加すると、水平方向と垂直方向にローブが現れ、一般にパターンには( m + 1)( n + 1)個のローブが存在します。前述のように、高次モードは 00 モードよりも空間的な広がりが広くなります。

TEM _mnの各ローブの位相は、水平方向または垂直方向に隣接するローブに対してπラジアンだけずれています。これは、各ローブの偏光方向が反転していることと等価です。

レーザー出力の全体的な強度プロファイルは、レーザーのキャビティの許容される横方向モードのいずれかの重ね合わせから構成されますが、多くの場合、基本モードのみで動作させることが望ましいです。

参照

• 通常モード
• 縦モード
• レーザービームプロファイラー
• 空間フィルタ
• 横波

参考文献

1. 「横方向電磁モード」
2. Eisenhart, RL (1998). 「新型広帯域TM01-TE11モードコンバータ」. 998 IEEE MTT-S 国際マイクロ波シンポジウムダイジェスト (Cat. No.98CH36192) . q : 249–252 .
3. Hannon, Michael J.; Malloy, Pat. 「RF同軸コネクタおよびケーブルのアプリケーションガイド」（PDF） . 2025年2月26日閲覧。
4. hobbs (2021年7月14日). 「同軸コネクタにおける「モードフリー」とはどういう意味か？」 Electrical Engineering Stack Exchange . 2025年2月26日閲覧。
5. FRコナー『波動伝達』 pp.52-53、ロンドン：エドワード・アーノルド、1971年ISBN 0-7131-3278-7。
6. 米国海軍-海兵隊軍事補助無線システム（MARS）、NAVMARCORMARSオペレーターコース、第1章「導波管の理論と応用」、図1-38。—長方形および円形導波管のさまざまな動作モード。
7. Kahn, Joseph M. (2006年9月21日). 「講義3：光ファイバーの波動光学的説明」(PDF) . EE 247：光ファイバー通信入門、講義ノート. スタンフォード大学. p. 8. 2007年6月14日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2015年1月27日閲覧。
8. Paschotta, Rüdiger. 「モード」 .レーザー物理技術百科事典. RP Photonics . 2015年1月26日閲覧。
9. 岡本 健一,光導波路の基礎, pp. 71–79, エルゼビア・アカデミック・プレス, 2006, ISBN 0-12-525096-7。
10. Svelto, O. (2010).レーザーの原理（第5版）. p. 158.

外部リンク

• レーザーモードの詳細な説明