トルマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式

天体物理学において、トルマン・オッペンハイマー・フォルコフ（TOV）方程式は、一般相対論によってモデル化された静的重力平衡にある等方性物質の球対称物体の構造を制約する。方程式[ 1 ]は

dPdr＝−Gメートルr2ρ（1+Pρc2）（1+4πr3Pメートルc2）（1−2Gメートルrc2）−1{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}}

ここで、は動径座標であり、と はそれぞれ半径 における物質の密度と圧力である。内の総質量である については後述する。 r{\textstyle r}ρ（r）{\textstyle \rho (r)}P（r）{\textstyle P(r)}r{\textstyle r}メートル（r）{\textstyle m(r)}r{\textstyle r}

この方程式は、一般の時間不変球対称計量に対するアインシュタイン方程式を解くことによって導出される。トールマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式の解の場合、この計量は[ 1 ]の形をとる。

ds2＝eνc2dt2−（1−2Gメートルrc2）−1dr2−r2（dθ2+罪2⁡θdϕ2）{\displaystyle ds^{2}=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}

ここで制約[ 1 ]によって決定される。ν（r）{\textstyle \nu (r)}

dνdr＝−（2P+ρc2）dPdr{\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}=-\left({\frac {2}{P+\rho c^{2}}}\right){\frac {dP}{dr}}}

トルマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式に、密度と圧力を関連付ける状態方程式を加えると、平衡状態にある等方性物質の球対称体の構造が完全に決定されます。秩序項を無視すると、トルマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式はニュートンの静水力方程式となり、一般相対論的補正が重要でない場合に、等方性物質の球対称体の平衡構造を求めるために使用されます。 F（ρ、P）＝0{\textstyle F(\rho,P)=0}1/c2{\textstyle 1/c^{2}}

この方程式を真空中の有界球状の物質をモデル化するために用いる場合、境界にゼロ圧力条件と条件を課す必要がある。2つ目の境界条件は、境界における計量が、真空場方程式の唯一の静的球対称解であるシュワルツシルト計量と連続になるように課される。 P（r）＝0{\textstyle P(r)=0}eν＝1−2Gメートル/c2r{\textstyle e^{\nu }=1-2Gm/c^{2}r}

ds2＝（1−2GMrc2）c2dt2−（1−2GMrc2）−1dr2−r2（dθ2+罪2⁡θdϕ2）{\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin^{2}\theta \,d\phi ^{2})}

総質量

遠方の観測者が感じる重力場によって測定された、半径 の内部に含まれる全質量を とします。これは を満たします。[ 1 ]メートル（r）{\textstyle m(r)}r{\textstyle r}メートル（0）＝0{\textstyle m(0)=0}

dメートルdr＝4πr2ρ{\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }

ここで、は物体の全質量であり、これもまた、遠方の観測者が感じる重力場によって測定される。境界が である場合、計量の連続性と の定義から、 M{\textstyle M}r＝R{\textstyle r=R}メートル（r）{\textstyle m(r)}

M＝メートル（R）＝∫0R4πr2ρdr{\displaystyle M=m(R)=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \,dr}

一方、物体の密度を体積で積分して質量を計算すると、より大きな値が得られる。

M1＝∫0R4πr2ρ1−2Gメートルrc2dr{\displaystyle M_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}\rho}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\,dr}

これら2つの量の差は、

ΔM＝∫0R4πr2ρ（1−11−2Gメートルrc2）dr、{\displaystyle \Delta M=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}}}\right)\,dr,}

物体の重力結合エネルギーを で割った値となり、負の値になります。 c2{\textstyle c^{2}}

一般相対性理論からの導出

静的で球対称な完全流体を仮定する。計量成分はシュワルツシルト計量と同様である：[ 2 ]

c2dτ2＝グラムμνd×μd×ν＝eνc2dt2−eλdr2−r2dθ2−r2罪2⁡θdϕ2{\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\θ\,d\phi ^{2}}

完全流体の仮定によれば、応力エネルギーテンソルは対角線状（中心球座標系）であり、エネルギー密度と圧力の固有値は次のようになります。

T00＝ρc2{\displaystyle T_{0}^{0}=\rho c^{2}}

そして

T私j＝−Pδ私j{\displaystyle T_{i}^{j}=-P\delta_{i}^{j}}

ここで、 は流体の密度であり、は流体の圧力です。 ρ（r）{\textstyle \rho (r)}P（r）{\textstyle P(r)}

さらに進むために、アインシュタインの場の方程式を解きます。

8πGc4Tμν＝Gμν{\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }}

まず、次のコンポーネントを考えてみましょう。 G00{\textstyle G_{00}}

8πGc4ρc2eν＝eνr2（1−ddr[re−λ]）{\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho c^{2}e^{\nu }={\frac {e^{\nu }}{r^{2}}}\left(1-{\frac {d}{dr}}[re^{-\lambda }]\right)}

この式を0から積分すると、 r{\textstyle r}

e−λ＝1−2Gメートルrc2{\displaystyle e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}

ここで、は前のセクションで定義されたとおりです。 メートル（r）{\textstyle m(r)}

次に、成分について考えてみましょう。具体的には、 G11{\textstyle G_{11}}

−8πGc4Peλ＝−rν′+eλ−1r2{\displaystyle -{\frac {8\pi G}{c^{4}}}Pe^{\lambda }={\frac {-r\nu '+e^{\lambda }-1}{r^{2}}}}

これを（ の式を使って）簡略化すると、 eλ{\textstyle e^{\lambda}}

dνdr＝1r（1−2Gメートルc2r）−1（2Gメートルc2r+8πGc4r2P）{\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}={\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)}

応力エネルギーテンソルの連続性を仮定することで、2番目の式が得られる。 （配置は静的であると仮定されているので）また（配置は等方性でもあるので）を観察すると、特に[ 3 ]が得られる。∇μTνμ＝0{\textstyle \nabla _{\mu }T_{\,\nu }^{\mu }=0}∂tρ＝∂tP＝0{\textstyle \partial _{t}\rho =\partial _{t}P=0}∂ϕP＝∂θP＝0{\textstyle \partial _{\phi }P=\partial _{\theta }P=0}

0＝∇μT1μ＝−dPdr−12（P+ρc2）dνdr{\displaystyle 0=\nabla _{\mu }T_{1}^{\mu }=-{\frac {dP}{dr}}-{\frac {1}{2}}\left(P+\rho c^{2}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;}

項を並べ替えると次のようになります。

dPdr＝−（ρc2+P2）dνdr{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right){\frac {d\nu }{dr}}\;}

これにより、 を含む 2 つの式が得られます。 を消去すると、次の式が得られます。 dν/dr{\textstyle d\nu /dr}dν/dr{\textstyle d\nu /dr}

dPdr＝−1r（ρc2+P2）（2Gメートルc2r+8πGc4r2P）（1−2Gメートルc2r）−1{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right)\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}

の因数を取り出し、2 と の因数を並べ替えると、トールマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式が得られます。 G/r{\textstyle G/r}c2{\textstyle c^{2}}

dPdr=−Gr2(ρ+Pc2)(m+4πr3Pc2)(1−2Gmc2r)−1{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {G}{r^{2}}}\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)\left(m+4\pi r^{3}{\frac {P}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}

歴史

リチャード・C・トールマンは1934年と1939年に球対称計量を解析した。[ 4 ] [ 5 ] ここで示した方程式の形は、J・ロバート・オッペンハイマーとジョージ・ボルコフが1939年の論文「大質量中性子コアについて」で導出したものである。[ 1 ] この論文では、中性子の縮退フェルミ気体の状態方程式を使用して、中性子星の重力質量の上限を約0.7 太陽質量と計算した。この状態方程式は中性子星には現実的ではないため、この限界質量も同様に誤っている。連星中性子星合体（GW170817など）からの重力波観測と、それに続く電磁放射（キロノバ）からの情報を使用したデータでは、最大質量の限界は2.17太陽質量に近いことが示唆されている。[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]この限界の以前の推定値は1.5太陽質量から3.0太陽質量の範囲でした。[ 11 ]

ポストニュートン近似

ポストニュートン近似、すなわちニュートン力場からわずかにずれた重力場においては、この式は のべき乗で展開できる。言い換えれば、 1/c2{\textstyle 1/c^{2}}

dPdr=−Gmr2ρ(1+Pρc2+4πr3Pmc2+2Gmrc2)+O(c−4).{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)+O(c^{-4}).}

参照

参考文献

  1. ^ a b c d e Oppenheimer, JR; Volkoff, GM (1939). 「大質量中性子コアについて」. Physical Review . 55 (4): 374– 381. Bibcode : 1939PhRv...55..374O . doi : 10.1103/PhysRev.55.374 .
  2. ^ミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ・S.、ホイーラー、ジョン・アーチボルド (2017). 「静的球面システムの座標と計量」『重力』プリンストン大学出版局. pp.  594– 595. ISBN 978-0-691-17779-3。
  3. ^トルマン, RC (1934).相対性理論、熱力学、そして宇宙論. オックスフォード・プレス. pp.  243– 244.
  4. ^ Tolman, RC (1934). 「不均質性の宇宙論モデルへの影響」(PDF) . Proceedings of the National Academy of Sciences . 20 (3): 169– 176. Bibcode : 1934PNAS...20..169T . doi : 10.1073 /pnas.20.3.169 . PMC 1076370. PMID 16587869 .  
  5. ^ Tolman, RC (1939). 「流体球に対するアインシュタインの場の方程式の静的解」(PDF) . Physical Review . 55 (4): 364– 373. Bibcode : 1939PhRv...55..364T . doi : 10.1103/PhysRev.55.364 .
  6. ^ Margalit, B.; Metzger, BD (2017-12-01). 「GW170817のマルチメッセンジャー観測による中性子星の最大質量の制約」 .アストロフィジカル・ジャーナル. 850 (2): L19. arXiv : 1710.05938 . Bibcode : 2017ApJ...850L..19M . doi : 10.3847/2041-8213/aa991c . S2CID 119342447 . 
  7. ^柴田 正之; 藤林 誠; 仏坂 健; 木内 健; 久徳 健; 関口 雄三; 田中 正之 (2017-12-22). 「数値相対論に基づくGW170817のモデリングとその示唆」. Physical Review D . 96 (12) 123012. arXiv : 1710.07579 . Bibcode : 2017PhRvD..96l3012S . doi : 10.1103/PhysRevD.96.123012 . S2CID 119206732 . 
  8. ^ Ruiz, M.; Shapiro, SL; Tsokaros, A. (2018-01-11). 「GW170817、一般相対論的磁気流体シミュレーション、そして中性子星の最大質量」 . Physical Review D. 97 ( 2) 021501. arXiv : 1711.00473 . Bibcode : 2018PhRvD..97b1501R . doi : 10.1103/PhysRevD.97.021501 . PMC 6036631. PMID 30003183 .  
  9. ^ Rezzolla, L.; Most, ER; Weih, LR (2018-01-09). 「重力波観測と準普遍関係を用いた中性子星の最大質量の制約」 . Astrophysical Journal . 852 (2): L25. arXiv : 1711.00314 . Bibcode : 2018ApJ...852L..25R . doi : 10.3847/2041-8213/aaa401 . S2CID 119359694 . 
  10. ^ 「中性子星の質量はどれくらいか？」フランクフルト・ゲーテ大学。2018年1月15日。 2018年2月19日閲覧。
  11. ^ Bombaci, I. (1996). 「中性子星の最大質量」.天文学と天体物理学. 305 : 871–877 .書誌コード: 1996A&A...305..871B .
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