接線展開可能

らせんの接線展開可能面

曲面の微分幾何学における数学的研究において、接線展開可能面とは、ユークリッド空間内の曲線から、その曲線の接線によって掃引された面として得られる特殊な展開可能面である。このような面は、曲線の 接平面の包絡線でもある

媒介変数化

を滑らかな空間曲線の媒介変数化とします。つまり、は、その引数（実数）を空間内の点に写す、どこにも消滅しない導関数を持つ2回微分可能な関数です。曲線はの像です。すると、2次元曲面、すなわちの接線展開可能関数は、写像によって媒介変数化できます ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle (s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).}$ ^[1]

元の曲線は接線展開可能曲線の境界を形成し、その準線または回帰辺と呼ばれます。この曲線は、まず曲面を平面に展開し、次に曲面上の線の生成元の平面における像を考えることによって得られます。この線族の包絡線は平面曲線であり、その展開における逆像は回帰辺です。直感的には、平面に展開する過程で曲面を折り曲げる際に沿う曲線です

性質

ねじれがゼロの点を持つ曲線の接線展開可能値

接線展開可能面は展開可能な面です。つまり、ガウス曲率がゼロの面です。展開可能な面の 3 つの基本タイプのうちの 1 つです。他の 2 つは、一般化された円錐 (固定点を通る 1 次元の線族によって描かれた面) と円筒 (1 次元の平行線族によって描かれた面) です。(平面は4 番目のタイプとして示される場合もあれば、これら 2 つのタイプのいずれかの特殊なケースとみなされる場合もあります。) 3 次元空間のすべての展開可能な面は、これら 3 つのタイプの部分を貼り合わせることで形成できます。このことから、すべての展開可能な面は1 次元の線族の和集合である線織面であることがわかります。 ^[2]ただし、すべての線織面が展開可能であるとは限らず、螺旋面が反例となります。

一般に、曲線がねじれ角がゼロの点 を持つ場合、その点における可展接線は、ホイットニーの傘のような形の挟み込み型自己交差を持ちます。これを示すには、曲線 を用いて、 付近における可展接線を調べます。 ${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2},t^{4})}$ ${\displaystyle t=0}$

歴史

接線展開可能面は、1772年にレオンハルト・オイラーによって初めて研究されました。^[3]それまで、展開可能な面は一般化された円錐と円柱だけでした。オイラーは、接線展開可能面は展開可能であり、すべての展開可能面はこれらのいずれかのタイプに属していることを示しました。^[2]

注釈

1. プレスリー、アンドリュー（2010年）、初等微分幾何学、シュプリンガー、129ページ、ISBN 978-1-84882-890-2。
2. Lawrence, Snežana (2011)、「展開可能な面：その歴史と応用」、Nexus Network Journal、13 (3): 701– 714、doi : 10.1007/s00004-011-0087-z。
3. オイラー、L. (1772)、「プラナムエクスプリケアリセットにおける固体定足数のスーパーフィシエム」、Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (ラテン語)、16 : 3–34。

参考文献

• ストルイク、ダーク・ヤン（1961年）『古典微分幾何学講義』アディソン・ウェスリー。
• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝ヴォッセン、ステファン（1952年）、幾何学と想像力（第2版）、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-1087-8
• サビトフ、I.Kh. (2001) [1994]、「可展面」、数学百科事典、EMSプレス
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]、「回帰のエッジ」、数学百科事典、EMS Press

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「接線展開可能」MathWorld