タングロイド
Mathematical game

Tangloids は、スピノルの計算をモデル化するためにPiet Heinによって作成された、2 人のプレイヤーが参加する数学ゲームです。

タンロイド装置

このゲームの説明は、 1996年にマーティン・ガードナーが出版した「マーティン・ガードナーのサイエンティフィック・アメリカンからの新しい数学的転換」という本の中の編み込みの数学に関するセクションに掲載されている。[1] [2] [3]

それぞれ 3 つの小さな穴が開けられた 2 つの平らな木のブロックが、3 本の平行な弦でつながれています。各プレーヤーは木のブロックを 1 つ持ちます。最初のプレーヤーが片方の木のブロックを動かさずに、もう一方のプレーヤーがもう一方の木のブロックを 2 回転させます。回転面は、弦が絡まっていない場合、弦に対して垂直になります。これで弦が互いに重なり合った状態になります。次に、最初のプレーヤーはどちらの木片も回転させずに弦を解こうとします。回転せずに木片を動かすことのみが許可されます。その後、プレーヤーの役割が入れ替わり、最も速く弦を解くことができたプレーヤーが勝者となります。最初の 1 回転だけでゲームを試みると、弦はまだ重なり合っていますが、2 つの木のブロックのいずれかを回転させないと解くことはできません。

バリ島のキャンドルダンスに登場するバリのカップトリックは、同じ数学的アイデアの別の例証です。アンチツイスター機構は、このような方向の絡み合いを回避するための装置です。これらのアイデアの数学的解釈は、四元数と空間回転に関する記事に記載されています。

数学的な表現

このゲームは、空間における回転は、空間における単一の剛体の回転のみを考えるだけでは直感的に説明できない性質を持つという概念を明確にするものである。ベクトルの回転は、回転群によって与えられる回転の抽象モデルの性質のすべてを包含するわけではない。このゲームで説明される性質は、数学では正式には「SO(3)のSU(2)による二重被覆」と呼ばれる。この抽象的な概念は、以下のように概説できる。

3 次元での回転は、3x3行列、つまり x、y、z それぞれに 1 つずつの数字のブロックとして表現できます。任意の微小な回転を考えると、回転は空間を形成するという結論に至ります。つまり、各回転を点と考えると、常に他の近傍点、つまりわずかな量だけ異なる他の近傍回転 が存在するということです。小さな近傍では、この近傍点の集合はユークリッド空間に似ています。実際、これは 3 次元ユークリッド空間 に似ており、微小回転には x、y、z の 3 つの異なる方向が考えられます。これは、小さな近傍における回転グループの構造を適切に表しています。ただし、大きな回転のシーケンスでは、このモデルは破綻します。たとえば、右を向いてから横になることは、最初に横になってから右を向くことと同じではありません。回転グループは、小規模では 3D 空間の構造を持ちますが、大規模ではその構造とは異なります。小規模ではユークリッド空間のように振る舞うが、全体的構造はより複雑な場合もあり得る系は、多様体と呼ばれます。多様体の有名な例としては球体があります。球体は全体的には丸いですが、局所的には平らで見た目も感触も平らです。そのため、「平らな地球」と呼ばれます。

回転群を注意深く調べると、対点が特定された3 次元球面 の構造をしていることがわかります。つまり、すべての回転に対して、その回転を記述する 3 次元球面上に実際に 2 つの異なる、別個の、極反対の点があります。これは、タングロイドが示しているものです。この図は実際には非常に巧妙です。360 度回転を、小さなステップの集合として一度に 1 度ずつ実行することを想像してください。これらのステップにより、この抽象的な多様体、この回転の抽象的な空間上の道、旅に出ます。この 360 度の旅を完了しても、家に戻ったわけではなく、極反対の点に到着します。そして、そこで立ち往生します。別の、2 回目の 360 度の旅をしない限り、実際には出発点に戻ることはできません。 S 3 {\displaystyle S^{3}}

この抽象空間、すなわち三次元球面とその対極​​が特定された構造は、かなり奇妙である。技術的には、これは射影空間である。風船を取り、空気を全部抜いて、対極の点を互いに接着することを想像してみるとよい。現実世界でこれを行おうとすると、すぐにこれを全体的行うことはできないことが分かる。局所的には、どんな小さな部分でも、反転して接着する手順は実行できるが、これを全体的行うことはできない。(風船は、つまり二次元球面であり、三次元回転球面ではないことに留意してください。) さらに単純化するために、、つまり円から始めて、対極を接着しようとすると、やはりうまくいかない。できる最善のことは、原点を通る直線を描き、対極が同じ点であると断言することです。これがあらゆる射影空間の基本的な構成です。 S 2 {\displaystyle S^{2}} S 1 {\displaystyle S^{1}}

いわゆる「二重被覆」とは、この正反対の極性の接着を解除できるという考えを指します。これは比較的簡単に説明できますが、ある程度の数学的記法の導入が必要です。最初のステップは、「リー代数」を口にすることです。これは、2つのベクトルを乗算できるという性質を持つベクトル空間です。これは、 x軸の周りの小さな回転の後にy軸の周りの小さな回転を続けて行うことは、これら2つの順序を逆にすることと同じではないために生じます。これらは異なり、その違いはz軸に沿った 内の小さな回転です。正式には、この不等式は と書くことができます。ただし、 x、y、zは数ではなく、無限小の回転であることを念頭に置いてください。これらは と交換されません。 x y − y x = z {\displaystyle xy-yx=z}

すると、「他にこのような振る舞いをするものは何か？」と疑問に思うかもしれません。もちろん、3次元回転行列はそうします。結局のところ、回転行列は3次元空間における回転を数学的に正しく完璧に記述するからです。しかし、実は、2x2、4x4、5x5、…といった行列にもこの性質があります。「では、それらの多様体の形状はどのようなものでしょうか？」と当然疑問に思うかもしれません。2x2の場合、リー代数はsu(2)、多様体はSU(2)と呼ばれます。そして、非常に興味深いことに、SU(2)の多様体は3次元球面です（ただし、対極の射影同一視は行われません）。

これでちょっとしたトリックが使えるようになります。通常の3次元空間（私たちの物理空間）のベクトルを取り、それに回転行列を適用します。すると回転ベクトル が得られます。これは、 に通常の「常識的な」回転を適用した結果です。しかし、パウリ行列も存在します。これは2x2の複素行列で、リー代数の性質を持ち、無限小回転の振る舞いをモデル化します。次に、積 を考えてみましょう。「二重被覆」とは、1つではなく2つの2x2行列が存在し、 v → = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})} R {\displaystyle R} R v → {\displaystyle R{\vec {v}}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} σ 1 σ 2 − σ 2 σ 1 = σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{3}} x y − y x = z {\displaystyle xy-yx=z} σ → ⋅ v → = v 1 σ 1 + v 2 σ 2 + v 3 σ 3 {\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {v}}=v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}} S {\displaystyle S}

S − 1 ( σ → ⋅ v → ) S = σ → ⋅ R v → {\displaystyle S^{-1}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {v}})S={\vec {\sigma }}\cdot R{\vec {v}}}

ここで、は の逆行列、つまり を表します。 行列は SU(2) の元なので、SO(3) のすべての行列には、対応する が 2 つあります。 と の両方で十分です。これら 2 つは正反対であり、射影は、 という自明な観察に要約されます。タンジェロイド ゲームは、360 度回転すると からへの経路をたどることを示しています 。これはきわめて正確です。一連の小さな回転と、それに対応する の動きを考えることができ、結果の符号は変化します。回転角度では、行列には​​ が含まれ、マッチングには が含まれます。さらに説明するには、これらの式を実際に書き出す必要があります。 S − 1 {\displaystyle S^{-1}} S {\displaystyle S} S − 1 S = S S − 1 = 1. {\displaystyle S^{-1}S=SS^{-1}=1.} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} + S {\displaystyle +S} − S {\displaystyle -S} ( − 1 ) × ( − 1 ) = + 1. {\displaystyle (-1)\times (-1)=+1.} + S {\displaystyle +S} − S {\displaystyle -S} R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} θ , {\displaystyle \theta ,} R {\displaystyle R} cos ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta } S {\displaystyle S} cos ⁡ θ / 2 {\displaystyle \cos \theta /2}

このスケッチは、いくつかの一般的な注意を述べれば完成する。まず、リー代数は一般的なものであり、それぞれに対して、1 つ以上の対応するリー群が存在します。物理学では、通常の 3D オブジェクトの 3D 回転は、明らかに回転群、つまり 3x3 行列のリー群によって記述されます。ただし、スピノル、つまりスピン 1/2粒子は、SU(2) の行列に従って回転します。4x4 行列はスピン 3/2 粒子の回転を記述し、5x5 行列はスピン 2 粒子の回転を記述します。リー群とリー代数の表現は、表現論によって記述されます。スピン 1/2 表現は基本表現に属し、スピン 1 は随伴表現です。ここで使用される二重被覆の概念は、被覆マップによって記述される一般的な現象です。被覆マップは、ファイバー バンドルの特殊なケースです。被覆マップの分類は、ホモトピー理論によって行われます。この場合、二重被覆の正式な表現は、被覆群が単に2つの同値な回転とそれ以上のものを符号化しているところを基本群とするということです。この意味で、回転群は高等数学の広大な領域への扉、つまり鍵を提供します。 R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} π 1 ( S O ( 3 ) ) = Z 2 {\displaystyle \pi _{1}(SO(3))=\mathbb {Z} _{2}} Z 2 = { + 1 , − 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}} + S {\displaystyle +S} − S {\displaystyle -S}

参照

参考文献

  1. ^ Piet Hein Archived 2012-04-14 at the Wayback Machine , www.piethein.com, downloaded 13-12-2011
  2. ^ M. ガードナー著『マーティン・ガードナーの新しい数学的転換』サイエンティフィック・アメリカン誌、サイモン・アンド・シュスター、1996年、ISBNより抜粋 978-0-671-20989-6
  3. ^ M. Gardner: Sphere Packing, Lewis Carroll, and Reversi: Martin Gardner's New Mathematical Diversions Archived 2012-04-06 at the Wayback Machine、Cambridge University Press、2009年9月、ISBN 978-0-521-75607-5
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