モジュラリティ定理
モジュラリティ定理
分野数論
推測谷山豊志村五郎
推測では1957
最初の証明クリストフ・ブリューイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラー
最初の校正2001
結果フェルマーの最終定理

数論において、モジュラ性定理は、有理数体上の楕円曲線がモジュラー形式と特定の方法で 関連している ことを述べています。アンドリュー・ワイルズとリチャード・テイラーは、半安定楕円曲線のモジュラ性定理を証明しましたが、これはフェルマーの最終定理(FLT)を示唆するのに十分でした。その後、ワイルズの元教え子であるブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによる一連の論文は、クリストフ・ブリューイユとの共同論文にまとめられ、ワイルズの手法を拡張して、2001年に完全なモジュラ性定理を証明しました。それ以前は、この命題は谷山・志村予想、谷山・志村・ヴェイユ予想、あるいは楕円曲線のモジュラ性予想として知られていました。

声明

定理によれば、上の任意の楕円曲線は、古典的なモジュラー曲線X 0 ( N )から整数係数を持つ有理写像を経由して、何らかの整数Nに対して得られる。これは、明示的に定義された整数係数を持つ曲線である。この写像は、レベルNのモジュラー媒介変数化と呼ばれる。N がそのような媒介変数化を見つけることができる最小の整数である場合（モジュラー定理自体により、これは導体と呼ばれる数であることが現在わかっている）、媒介変数化は、重み 2 でレベルNの特定の種類のモジュラー形式によって生成される写像、つまり整数q展開を持つ正規化された新しい形式で定義され、必要に応じて同型性が続く、によって定義される可能性がある。 質問{\displaystyle \mathbb {Q} }

モジュラリティ定理は、密接に関連した解析的命題を暗示しています。

上の各楕円曲線Eには、対応するL級数を付与することができる。L級数はディリクレ級数であり、一般的には 質問{\displaystyle \mathbb {Q} }

L（E、s）＝∑n＝1∞1つのnns。{\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}

係数a nの生成関数は

f（E、q）＝∑n＝1∞1つのnqn。{\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}

置き換えをすると

q＝e2π私τ{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}

複素変数τの関数f ( E , τ )のフーリエ展開を書いたことがわかるので、 q級数の係数はfのフーリエ係数とも考えられます。このようにして得られた関数は、驚くべきことに、重み2、レベルNのカスプ形式であり、また固有形式（すべてのヘッケ作用素の固有ベクトル）でもあります。これはモジュラリティ定理から導かれる ハッセ＝ヴェイユ予想です。

重み2のモジュラー形式は、 楕円曲線の正則微分に対応する。モジュラー曲線のヤコビアンは（同型性を除き）既約アーベル多様体の積として表すことができ、これは重み2のヘッケ固有形式に対応する。1次元因子は楕円曲線である（高次元因子も存在するため、すべてのヘッケ固有形式が有理楕円曲線に対応するわけではない）。対応するカスプ形式を求め、そこから曲線を構成することで得られる曲線は、元の曲線と 同型である（ただし、一般には同型ではない）。

歴史

谷山豊[ 1 ]は、1955年に東京と日光で開催された代数的整数論に関する国際シンポジウムで、36個の未解決問題のうちの12番目として、この予想の予備的な（わずかに誤った）バージョンを発表しました。 志村五郎と谷山は1957年までその厳密さを改善する作業を行いました。アンドレ・ヴェイユ[ 2 ]がこの予想を再発見し、1967年に、楕円曲線のねじれたL級数に対する（予想された）関数方程式からこの予想が従うことを示しました。これは、この予想が正しいかもしれないという最初の本格的な証拠でした。ヴェイユはまた、楕円曲線の導体は対応するモジュラー形式のレベルであるべきであることも示しました。谷山・志村・ヴェイユ予想は、ラングランズ・プログラムの一部となりました[ 3 ] [ 4 ]

ゲルハルト・フライ[ 5 ]が1986年にFLT（楕円曲線有限要素法）を示唆したことで、この予想は大きな注目を集めました。フライは、FLTの反例が少なくとも1つの非モジュラ楕円曲線の存在を意味することを示そうと試みました。この議論は、1987年にジャン＝ピエール・セール[ 6 ]がフライの元の研究におけるミッシングリンク（現在ではイプシロン予想またはリベットの定理として知られている）を特定したことで、その目標にさらに近づきました。そして2年後、ケン・リベットがイプシロン予想の証明を完成させました[ 7 ] 。

谷山・志村・ヴェイユ予想は、真剣に注目を集めた後も、当時の数学者からは証明が非常に難しい、あるいは証明不可能とさえ考えられていた。[ 8 ]例えば、ワイルズの博士課程の指導教官であるジョン・コーツは「実際に証明するのは不可能に思えた」と述べており、ケン・リベットは自身を「[谷山・志村・ヴェイユ予想]が完全に証明不可能だと信じている大多数の人々の一人」と考えていた。

リベットによるイプシロン予想の証明に、アンドリュー・ワイルズは好機を見出した。フェルマーの最終定理はTSW予想の系となったため、立派な研究プロジェクトとなったのだ。彼は岩澤理論の専門家であり、岩澤理論から谷山・志村・ヴェイユ理論への道筋があるかもしれない。

1995 年、アンドリュー・ワイルズはリチャード・テイラーの協力を得て、すべての半安定楕円曲線に対する谷山・志村・ヴェイユ予想を証明した。ワイルズはこれを用いて FLT を証明し[ 9 ]、谷山・志村・ヴェイユ予想の完全版は最終的にダイアモンド、[ 10 ]コンラッド、ダイアモンド & テイラー、そしてブレイユ、コンラッド、ダイアモンド & テイラーによって証明された。ワイルズの研究を基にして彼らは残りのケースを徐々に解決していき、1999 年に完全な結果が証明された[ 11 ] [ 12 ]。完全に証明されたため、この予想はモジュラ性定理として知られるようになった。

モジュラリティ定理からは、FLTに類似した数論におけるいくつかの定理が導かれる。例えば、立方体は互いに素な2つのn乗（ n ≥ 3）の和として表すことはできない。 [ a ]

2025年に、ボクサー、カレガリ、ジー、ピローニによって、モジュラリティはアーベル面の10%​​以上に拡張されました。 [ 13 ] [ 14 ]

一般化

モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズによるより一般的な予想の特殊なケースである。ラングランズ・プログラムは、数体上のすべての楕円曲線など、より一般的な数論代数幾何学の対象に、保型形式または保型表現（モジュラ形式の適切な一般化）を付与しようとするものである。これらの拡張された予想のほとんどは、まだ証明されていない。

2013年、フレイタス、ル・フン、シクセックは、実二次体上に定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。[ 15 ]

例

例えば、[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]判別式（および導体）37を持つ楕円曲線y 2 − y = x 3 − xは、次の形式に関連付けられている。

f（z）＝q−2q2−3q3+2q4−2q5+6q6+⋯、q＝e2π私z{\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}

素数l が37 以外の場合、係数に関する性質を検証することができます。したがって、l = 3の場合、方程式の法 3 の解は 6 通りあります: (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1)。したがって、 a (3) = 3 − 6 = −3 となります。

この予想は1950年代に遡り、アンドリュー・ワイルズのアイデアを用いて1999年までに完全に証明された。ワイルズは1994年に楕円曲線の大きな族に対してこの予想を証明した。[ 19 ]

この予想には複数の定式化が存在する。それらが同値であることを示すことは、20世紀後半の数論における主要な課題であった。導手Nの楕円曲線Eのモジュラ性は、モジュラー曲線X 0 ( N )からEへの、 ℚ上に定義された非定数有理写像が存在するという形でも表現できる。特に、Eの点はモジュラー関数によって媒介変数化できる。

例えば、曲線y 2 − y = x 3 − xのモジュラーパラメータ化は[ 20 ]で与えられる。

×（z）＝q−2+2q−1+5+9q+18q2+29q3+51q4+⋯y（z）＝q−3+3q−2+9q−1+21+46q+92q2+180q3+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}

ここで、上記のように、q = e 2 πiz である。関数x ( z )とy ( z )は重み0、レベル37のモジュラー関数である。言い換えれば、これらは有理型であり、上半平面Im( z ) > 0上 で定義され、

×（1つのz+bcz+d）＝×（z）{\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}

同様にy ( z )についても、 ad − bc = 1かつ37 | cを満たすすべての整数a、b、c、dに対して成り立ちます。

別の定式化は、一方では楕円曲線に、他方ではモジュラー形式に付随するガロア表現の比較に基づく。後者の定式化は、この予想の証明に用いられてきた。形式のレベル（および曲線の導体との関連）の扱いは特に繊細である。

この予想の最も見事な応用は、フェルマーの最終定理（FLT）の証明である。素数p ≥ 5に対して、フェルマー方程式が

1つのp+bp＝cp{\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}

は非零整数の解を持つため、FLTの反例となる。そして、イヴ・ヘレグアルが最初に指摘したように[ 21 ]、楕円曲線

y2＝×（×−1つのp）（×+bp）{\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}

判別式の

Δ=1256(abc)2p{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}

モジュラー曲線にはなり得ない。[ 7 ]したがって、この楕円曲線族（ヘレグアルフ・フライ曲線と呼ばれる）に対する谷山・志村・ヴェイユ予想の証明は、FLTを示唆する。ゲルハルト・フライ（ 1985）のアイデアに基づく、これら2つの命題の関連性の証明は困難で専門的である。これは1987年にケネス・リベットによって確立された。[ 22 ]

注記

  1. ^ n = 3の場合はオイラーによってすでに知られていました。

参考文献

  1. ^谷山 1956 .
  2. ^ワイル 1967 .
  3. ^ハリス、マイケル (2020). 「優先権の美徳」. arXiv : 2003.08242 [ math.HO ].
  4. ^ Lang, Serge (1995年11月). 「志村・谷山予想の歴史」(PDF) .アメリカ数学会報. 42 (11): 1301– 1307. 2022年11月8日閲覧。
  5. ^フレイ 1986 .
  6. ^セール 1987 .
  7. ^ a bリベット 1990 .
  8. ^シン1997、203-205、223、226頁。
  9. ^ワイルズ 1995a ;ワイルズ 1995b .
  10. ^ダイヤモンド 1996 .
  11. ^コンラッド、ダイアモンド、テイラー 1999 .
  12. ^ Breuil et al. 2001 .
  13. ^ジョセフ・ハウレット (2025年6月2日). 「フェルマーの最終定理の核心がスーパーパワーアップ」 . Quanta Magazine . 2025年8月6日閲覧。
  14. ^ Boxer, George; Calegari, Frank; Gee, Toby; Pilloni, Vincent (2025-02-28). 「アーベル面のモジュラリティ定理」. arXiv : 2502.20645 [ math.NT ].
  15. ^フレイタス、レ・フン、シクセク、2015 年。
  16. ^計算については、例えばZagier 1985、pp. 225–248
  17. ^ LMFDB: http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/37/a/1
  18. ^ OEIS: https://oeis.org/A007653
  19. ^主要なアイデアの総合的な説明（フランス語）は、ジャン＝ピエール・セールによるブルバキ 論文。詳細については、Hellegouarch  2001を参照してください。
  20. ^ Zagier, D. (1985). 「モジュラー点、モジュラー曲線、モジュラー面、モジュラー形式」.ボンでの作業研究 1984 . 数学講義ノート. 第1111巻. Springer. pp.  225– 248. doi : 10.1007/BFb0084592 . ISBN 978-3-540-39298-9。
  21. ^ Helleguearch、イヴ (1974)。「Points d'ordre 2 p h sur les courbes elliptiques」(PDF)。アクタ算術。26 (3): 253–263 .土井: 10.4064/aa-26-3-253-263。ISSN 0065-1036。MR 0379507。  
  22. ^ Ribet, K. ( 1990b)の概説「谷山・志村予想からフェルマーの最終定理へ」を参照。トゥールーズ科学大学紀要。11 : 116–139。doi : 10.5802 /afst.698。

参考文献

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