タルスキモンスター群

群論として知られる現代代数学の分野において、アルフレッド・タルスキにちなんで名付けられたタルスキ・モンスター群は、恒等部分群以外のすべての真部分群が、位数が固定された素数pである巡回群となるような無限群である。タルスキ・モンスター群は必然的に単純である。 1979年にアレクサンダー・ユウ・オルシャンスキーは、タルスキ群が存在し、すべての素数p > 10 ^{75に対してタルスキ}p群が存在することを示した。これらは群論における予想、とりわけバーンサイドの問題やフォン・ノイマン予想に対する反例の源泉となっている。

意味

タルスキ群とは、すべての真部分群が素数冪位を持つような無限群である。そのような群は、すべての非自明な真部分群が位数を持つような素数が存在するとき、タルスキモンスター群と呼ばれる。^{[ 1 ]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

拡張タルスキ群とは、その商群がタルスキ群である正規部分群を持ち、任意の部分群がに含まれるか、またはを含む群である。^{[ 1 ]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

タルスキ超モンスター（またはTSM）は、すべての真部分群がアーベル群となるような無限単純群であり、群が単純ではなく完全である場合、より一般的には完全タルスキ超モンスターと呼ばれる。タルスキモンスターではないTSM群も存在する。^{[ 2 ]}

プロパティ

すべての素数位数の群は巡回群なので、タルスキモンスター群のすべての真部分群は巡回群である。^{[ 1 ]}結果として、タルスキモンスター群の任意の2つの異なる真部分群の共通部分は、自明群でなければならない。^{[ 1 ]}

• あらゆるタルスキモンスター群は有限生成である。実際、タルスキモンスター群は2つの非可換元によって生成される。
• がタルスキーモンスター群であれば、は単純です。が であり、が 部分群と異なる任意の部分群であれば、その部分群には元が存在します。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ ${\displaystyle U\leq G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle NU}$ ${\displaystyle p^{2}}$
• Olshanskii の構成は、実際に各素数に対して連続多数の非同型 Tarski Monster グループが存在することを示しています。${\displaystyle p>10^{75}}$
• タルスキーモンスター群は、自由部分群を含まない非従属群の例です。

参考文献

1. リュー、リサ。「タルスキーモンスターの分類について」(PDF)。
2. マルセル・ヘルツォーク;ロンゴバルディ、パトリツィア。メルセデス少佐（1998年10月6日）。 「一般化されたデデキントグループとタルスキースーパーモンスターについて」。代数ジャーナル。226 .

• A. Yu. Olshanskii、「素数位数の部分群を持つ無限群」、Math. USSR Izv. 16 (1981)、279–289; Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980)、309–321 の翻訳。
• A. Yu. Olshanskii、「素数位数の部分群を持つ有界周期群」、Algebra and Logic 21 (1983)、369–418。Algebra i Logika 21 (1982)、553–618 の翻訳。
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991),群における関係の定義の幾何学, 数学とその応用（ソビエトシリーズ）, 第70巻, ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6