テイラー・クエット流
Measurement of viscosity in fluid dynamics
テイラー・クエットシステムのセットアップ

流体力学において、テイラー・クエット流れは、 2つの回転円筒の間の隙間に閉じ込められた粘性流体から構成されます。レイノルズ数 Reで測定される低角速度では、流れは定常で純粋に方位角方向です。この基本状態は、この実験装置を粘性測定の手段として使用したモーリス・マリー・アルフレッド・クエットにちなんで、円形クエット流れとして知られています。ジェフリー・イングラム・テイラー卿は、画期的な論文でクエット流れの安定性を調査しました。[1]テイラーの論文は、流体力学的安定性理論の発展における礎石となり、当時科学界で議論の的となっていた無滑り条件が、固体境界における粘性流れの正しい境界条件であることを示しました。

テイラーは、内筒の角速度が一定の閾値を超えるとクエット流が不安定になり、軸対称のトロイダル渦を特徴とする二次的な定常状態（テイラー渦流）が出現することを示した。その後、円筒の角速度が増加すると、系は不安定性の進行を辿り、より時空間的に複雑な状態へと移行し、次の状態は波状渦流と呼ばれる。2つの円筒が逆方向に回転すると、螺旋渦流が発生する。あるレイノルズ数を超えると乱流が発生する。

円形クエット流は、淡水化から電磁流体力学、さらには粘度測定分析に至るまで、幅広い応用分野を持っています。長年にわたり、ねじれたテイラー渦や波状流出境界など、様々な流動様式が分類されてきました。これは流体力学において、十分に研究され、文献にも記載されている流れです。[2]

フローの説明

単純なテイラー・クエット流は、回転する無限長の同軸円筒2本の間に生じる定常流れである。[3]円筒の長さが無限長であるため、定常状態では流れは本質的に一方向である。図に示すように、半径の内側の円筒が一定の角速度で回転し、半径の外側の円筒も一定の角速度で回転している場合、方位角速度成分は[4]で与えられる。 R 1 {\displaystyle R_{1}} Ω 1 {\displaystyle \Omega _{1}} R 2 {\displaystyle R_{2}} Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}}

v θ = A r + B r , A = Ω 1 μ − η 2 1 − η 2 , B = Ω 1 R 1 2 1 − μ 1 − η 2 {\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}

どこ

μ = Ω 2 Ω 1 , η = R 1 R 2 . {\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.}

レイリーの基準

レイリー卿[5] [6]は、非粘性仮定、すなわちオイラー方程式の摂動を用いて、この問題の安定性を研究した。その基準は、粘性がない場合、方位角速度分布が安定するための必要かつ十分な条件は v θ ( r ) {\displaystyle v_{\theta }(r)} [7]であると述べている。

Φ ≡ 1 r 3 d d r ( r v θ ) 2 ≥ 0 {\displaystyle \Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}

区間内のどこでも が減少するはずであり、さらに、区間内のどこででも が減少するはずであれば、分布は不安定である。 は回転軸を中心とした流体要素の単位質量あたりの ( r v θ ) 2 {\displaystyle (rv_{\theta })^{2}} 角運動量を表すので、この基準を別の言い方で述べると、軸を中心とした角運動量の成層は、それが外側に向かって単調に増加する場合にのみ安定である、ということになる。 | r v θ | {\displaystyle |rv_{\theta }|}

この基準をテイラー・クエット流れに適用すると、流れが安定するのは の場合、すなわち、安定のためには、外側の円筒が（同じ方向に）内側の円筒の角速度の -倍よりも大きな角速度で回転しなければならないことが示される。 のとき、レイリーの基準は流体全体にわたって に違反する（ ）。一方、円筒が反対方向に回転するとき、すなわち のとき、レイリーの基準は内側領域のみに違反する。すなわち、のときである。 μ > η 2 {\displaystyle \mu >\eta ^{2}} η 2 {\displaystyle \eta ^{2}} Φ < 0 {\displaystyle \Phi <0} 0 < μ < η 2 {\displaystyle 0<\mu <\eta ^{2}} μ < 0 {\displaystyle \mu <0} Φ ( r ) < 0 {\displaystyle \Phi (r)<0} η < r / R 2 < η 0 {\displaystyle \eta <r/R_{2}<\eta _{0}} η 0 = η [ ( 1 + | μ | ) / ( η 2 + | μ | ) ] 1 / 2 {\displaystyle \eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}}

テイラーの基準

GIテイラーは、画期的な研究において、粘性力が存在する場合の不安定性の基準を実験と理論の両面から発見しました。一般的に、粘性力はレイリーの基準によって予測される不安定性の発生を遅らせることが分かっています。安定性は、、およびテイラー数という3つのパラメータによって特徴付けられます。 η {\displaystyle \eta } μ {\displaystyle \mu }

T a = 4 Ω 1 2 R 1 4 ν 2 ( 1 − μ ) ( 1 − μ / η 2 ) ( 1 − η 2 ) 2 . {\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}.}

最初の結果は、レイリーの基準と整合して、流れが に対して安定であるという事実に関係する。しかし、 に対して特定のパラメータ範囲で安定となるケースも存在する。 μ > η 2 {\displaystyle \mu >\eta ^{2}} μ < η 2 {\displaystyle \mu <\eta ^{2}}

テイラーは、環状ギャップが平均半径 と比較して小さい、言い換えれば という狭いギャップに対する明示的な基準を得ました。薄いギャップ近似におけるテイラー数のより良い定義は、 R 2 − R 1 {\displaystyle R_{2}-R_{1}} ( R 1 + R 2 ) / 2 {\displaystyle (R_{1}+R_{2})/2} 1 − η ≪ ( 1 + η ) / 2 ≈ 1 {\displaystyle 1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1}

T a = − 2 A Ω 1 R 2 4 ν 2 ( 1 − η ) 4 ( 1 + μ ) . {\displaystyle \mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).}

このテイラー数に関して、同方向回転の臨界条件は次のようになることがわかった。

T a c = 1708 , 0 ≤ μ ≤ 1. {\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.}

のとき、臨界テイラー数は次のように与えられる。 μ → 1 {\displaystyle \mu \rightarrow 1}

T a c = 1707.76 [ 1 − 0.00761 ( 1 − μ 1 + μ ) 2 ] . {\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].}

テイラー渦

Re = 950におけるラジアル鉛直面のテイラー・クエット渦を示す流線

テイラー渦（ジェフリー・イングラム・テイラー卿にちなんで名付けられた）は、回転するテイラー・クエット流れにおいて、流れのテイラー数（ ）が臨界値を超えたときに形成される渦である。 T a {\displaystyle \mathrm {Ta} } T a c {\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }

フローの場合

T a < T a c , {\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}

流れの不安定性は存在しない、すなわち流れへの摂動は粘性力によって減衰され、流れは定常である。しかし、 が を超えると、軸対称の不安定性が発生する。これらの不安定性の性質は、（過剰安定性ではなく）安定性の交換であり、その結果は乱流ではなく、流れの中に大きなトロイダル渦が形成され、それらが互いに積み重なる安定した二次的な流れパターンが発生する。これらがテイラー渦である。 のとき、元の流れの流体力学は非定常であるが、テイラー渦が存在するテイラー・クエット流れと呼ばれる新しい流れは、流れが大きなレイノルズ数 に達するまでは実際には定常である。大きなレイノルズ数に達すると、流れは非定常の「波状渦」流れに遷移し、おそらく非軸対称の不安定性の存在を示している。 T a {\displaystyle \mathrm {Ta} } T a c {\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} } T a > T a c {\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }

理想化された数学的問題は、、、およびの特定の値を選択することによって提起されます。下から、臨界テイラー数は[4] [8] [9] [10] [11]です。 μ {\displaystyle \mu } η {\displaystyle \eta } T a {\displaystyle \mathrm {Ta} } η → 1 {\displaystyle \eta \rightarrow 1} μ → 0 {\displaystyle \mu \rightarrow 0} T a c ≃ 1708 {\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}

ゴルブ・スウィニー円形クエット実験

1975年、JP・ゴルブとHL・スウィニーは、回転流体における乱流の発生に関する論文を発表しました。テイラー・クエット流れ系において、彼らは回転速度が増加するにつれて流体が成層化し、「流体ドーナツ」の山を形成することを観察しました。回転速度がさらに増加すると、ドーナツは振動し、ねじれ、最終的に乱流状態になります。[12]彼らの研究は、乱流におけるルエル・テイケンス・シナリオ[13]の確立に貢献しました。これは、フロリス・テイケンスとデイヴィッド・ルエルによる、流体力学系が安定な流れのパターンから乱流へとどのように遷移するかを理解する上での重要な貢献です。この遷移の主な支配因子はレイノルズ数ですが、他にも重要な影響因子があります。流れが開放型（つまり、横方向の上流と下流がある）か閉鎖型（流れが横方向に束縛されている、例えば回転している）、そして境界付き（壁面効果の影響を受ける）か非境界付き（壁面効果の影響を受けない）かです。この分類によれば、テイラー・クエット流れは、閉じた境界のある流れシステムで形成される流れパターンの例です。

参考文献

  1. ^ テイラー、ジェフリー・I. (1923). 「2つの回転円筒間に含まれる粘性液体の安定性」.ロンドン王立協会哲学論文集. シリーズA, 数学的または物理学的性質の論文を含む. 223 ( 605–615 ): 289–343 .書誌コード:1923RSPTA.223..289T. doi : 10.1098/rsta.1923.0008 . JSTOR  91148.
  2. ^ Andereck, CD; Liu, SS; Swinney, HL (1986). 「独立回転シリンダーを備えた円形クエットシステムにおける流動様式」. Journal of Fluid Mechanics . 164 : 155–183 . Bibcode :1986JFM...164..155A. doi :10.1017/S0022112086002513. S2CID  122768769.
  3. ^ Drazin, Philip G. ; Reid, William Hill (2004).流体力学的安定性. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-52541-1。
  4. ^ ab Davey (1962). 「回転円筒間の流れにおけるテイラー渦の成長」. Journal of Fluid Mechanics . 14 (3): 336– 368. Bibcode :1962JFM....14..336D. doi :10.1017/S0022112062001287. S2CID  122884625.
  5. ^ レイリー卿「ある流体運動の安定性と不安定性について。科学論文集、3」（1880年）：594-596。
  6. ^ レイリー卿「回転流体の力学について」ロンドン王立協会紀要。シリーズA、数学的および物理学的性質の論文を含む。93.648 (1917): 148-154。
  7. ^ チャンドラセカール、スブラマニアン. 流体力学的および流体磁気的安定性. クーリエコーポレーション, 2013.
  8. ^ Weisberg, AY; Kevrekidis, IG ; Smits, AJ (1997). 「内筒の軸方向運動によるテイラー・クエット流れの遷移遅延」. Journal of Fluid Mechanics . 348 (1): 141– 151. Bibcode :1997JFM...348..141W. doi :10.1017/S0022112097006630. S2CID  49329964.
  9. ^ 武田雄志 (1999). 「回転クエット系における準周期状態と乱流遷移」.流体力学ジャーナル. 389 (1): 81– 99. Bibcode :1999JFM...389...81T. doi :10.1017/S0022112099005091. S2CID  4842053.
  10. ^ Wereley, ST; Lueptow, RM (1999). 「軸流を伴うテイラー・クエット流の速度場」.流体物理学. 11 (12): 3637– 3649. Bibcode :1999PhFl...11.3637W. doi :10.1063/1.870228.
  11. ^ Marques, F.; Lopez, JM; Shen, J. (2001). 「3-トーラス接着分岐と2-トーラス共鳴による対称性の破れを示す周期的強制流れ」. Physica D: 非線形現象. 156 ( 1–2 ): 81–97 . Bibcode :2001PhyD..156...81M. CiteSeerX 10.1.1.23.8712 . doi :10.1016/S0167-2789(01)00261-5. 
  12. ^ Gollub, JP; Swinney, HL (1975). 「回転流体における乱流の発生」. Physical Review Letters . 35 (14): 927– 930. Bibcode :1975PhRvL..35..927G. doi :10.1103/PhysRevLett.35.927.
  13. ^ グッケンハイマー, ジョン (1983). 「流体力学における奇妙なアトラクター」.力学系とカオス. 物理学講義ノート. 第179巻. シュプリンガー・ベルリン. pp.  149– 156. doi :10.1007/3-540-12276-1_10. ISBN 978-3-540-12276-0。

さらに読む

ウィキメディア・コモンズには、テイラー・クエット流れに関連するメディアがあります。
  • Chossat, P.; Iooss, G. (1992).クエット・テイラー問題. 応用数学科学. 第102巻. Springer. doi :10.1007/978-1-4612-4300-7. ISBN 978-0387941547。
  • Koschmieder, EL (1993). Bénard Cells and Taylor Vortices . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40204-0。
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