テレパラレリズム
重力理論

テレパラレリズム（テレパラレル重力とも呼ばれる）は、アルバート・アインシュタイン[1]による、絶対平行性あるいはテレパラレリズムとも呼ばれる遠隔平行性の数学的構造に基づいて、電磁気学と重力の統一理論を構築しようとする試みである。この理論では、時空は曲率のない線形接続と計量テンソル場によって特徴付けられ、これらはいずれも力学的テトラッド場によって定義される。

テレパラレル時空

アインシュタインにとって極めて重要な新しいアイデアは、テトラッド場、すなわちM全体にわたって定義される4 つのベクトル場の集合{X 1、 X 2、 X 3、 X 4 }であり、すべてのp ∈ Mに対して、集合{X 1 ( p )、 X 2 ( p )、 X 3 ( p )、 X 4 ( p )}がT p Mの基底となる、というものでした。ここで、T p M は接ベクトル束TMのp上のファイバーを表します。したがって、4 次元時空多様体M は平行化可能な多様体でなければなりません。テトラッド場は、多様体の異なる点での接ベクトルの方向を遠隔比較できるようにするために導入されたため、遠隔平行性と呼ばれています。彼の試みは、簡略化された場の方程式にシュワルツシルト解が存在しなかったために失敗しました。

実際、平行化の接続（ワイツェンベック接続とも呼ばれる）{X i }をM上の線型接続 ∇として定義することができ、[2]

∇ v （ f 私 X 私 ） ＝ （ v f 私 ） X 私 （ p ） 、 {\displaystyle \nabla_{v}\left(f^{i}\mathrm {X}_{i}\right)=\left(vf^{i}\right)\mathrm {X}_{i}(p),}

ここで、 v ∈ T p Mとf iはM上の（大域）関数である。したがって、f i X iはM上の大域ベクトル場である。言い換えれば、ヴァイツェンベック接続 ∇の{X i }に関する係数はすべてゼロであり、次のように暗黙的に定義される。

∇ X 私 X j ＝ 0 、 {\displaystyle \nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}=0,}

したがって

W け 私 j ＝ ω け （ ∇ X 私 X j ） ≡ 0 、 {\displaystyle {W^{k}}_{ij}=\omega ^{k}\left(\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}\right)\equiv 0,}

この大域基底における接続係数（ワイツェンベック係数とも呼ばれる）について。ここでω kは、 ω i (X j ) = δで定義される双対大域基底（またはコフレーム）である。私
j。

これは、 R n、任意のアフィン空間、またはリー群（たとえば、「曲がった」球面S 3だが「ヴァイツェンベック平坦」な多様体）で通常発生することです。

接続の変換法則、または同等の∇プロパティを使用すると、次の結果が得られます。

命題. 局所座標( U , x μ )に関連付けられた自然な基底、つまりホロノミックフレーム∂ μでは、ヴァイツェンベック接続の (局所) 接続係数は次のように与えられます。

Γ β μ ν ＝ h 私 β ∂ ν h μ 私 、 {\displaystyle {\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }=h_{i}^{\beta }\partial _{\nu }h_{\mu }^{i},}

ここで、X i = hμ
i∂ μ ( i , μ = 1, 2,… n)は、グローバル オブジェクト、つまり指定された四面体のローカル表現です。

ヴァイツェンベック接続では曲率はゼロですが、一般にねじれ率はゼロではありません。

フレーム体{X i }が与えられれば、フレーム体を直交ベクトル場として捉えることで計量を定義することもできる。こうすると、符号(3,1) の擬リーマン 計量テンソル体gが得られる。

グラム （ X 私 、 X j ） ＝ η 私 j 、 {\displaystyle g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\right)=\eta _{ij},}

どこ

η 私 j ＝ 診断 ⁡ （ − 1 、 − 1 、 − 1 、 1 ） 。 {\displaystyle \eta _{ij}=\operatorname {diag} (-1,-1,-1,1).}

この場合、対応する基礎となる時空はヴァイツェンベック時空と呼ばれます。[3]

これらの「平行ベクトル場」は、副産物として計量テンソルを生み出します。

新しいテレパラレル重力理論

新しいテレパラレル重力理論（または新しい一般相対性理論）は、ヴァイツェンベック時空上の重力理論であり、重力を平行ベクトル場から形成されるねじれテンソルに帰属させます。

新しいテレパラレル重力理論における基本的な仮定は次のとおりです。

  1. 基礎となる時空はヴァイツェンベック時空であり、その基本構造は4つの平行ベクトル場からなる。これらの平行ベクトル場は、副産物として計量テンソルを生み出す。すべての物理法則は、一般座標変換群の下で共変的または形状不変的な方程式によって表現される。
  2. 等価原理は古典物理学においてのみ有効です。
  3. 重力場方程式は作用原理から導出できる。
  4. 場の方程式は、2 次以下の場の変数における偏微分方程式です。

1961年にクリスチャン・メラー[4]がアインシュタインのアイデアを復活させ、ペレグリーニとプレバンスキー[5]が絶対平行性のラグランジアン定式化を発見した。

モーラーの重力四面体理論

1961年、モーラー[4] [6]は、重力場の四元的記述により、計量テンソルのみに基づく理論よりもエネルギー・運動量複合体をより合理的に扱うことができることを示した。四元的記述を重力変数として用いる利点は、純粋に計量的な定式化よりも良好な変換特性を持つエネルギー・運動量複合体の表現式を構築できることと関連していた。2015年には、物質と重力の全エネルギーは、摂動の線形次数まで三元空間のリッチスカラーに比例することが示された。 [7]

新しい翻訳テレパラレルゲージ重力理論

1967年、林と中野[8]はそれぞれ独立にアインシュタインのアイデアを復活させ、ペレグリーニとプレバンスキー[5]は時空並進群のゲージ理論の定式化に着手した。[要出典]林は時空並進群のゲージ理論と絶対平行性の関係を指摘した。ファイバー束の最初の定式化はチョーによって提供された。[9]このモデルは後にシュバイツァーら[10] 、ニッチとヘル、マイヤーによって研究された。[要出典]より最近の進歩は、アルドロヴァンディとペレイラ、グロンワルド、イティン、マルフとダ・ロシャ・ネト、ミュンヒ、オブホフとペレイラ、そしてシュッキングとスロウィッツに見られる。[要出典]

現在、テレパラレリズムは電磁気学との統合を試みることなく、純粋に重力理論として研究されている[11] 。この理論では、重力場は並進群のゲージ理論と同様に、並進ゲージポテンシャル B a μによって完全に表されることがわかる。

この選択がなされた場合、時空多様体の各点における内部ミンコフスキー空間ファイバーは、アーベル群R 4を構造群とするファイバー束に属するため、ローレンツ ゲージ対称性はもはや存在しない。しかし、次のようにして並進ゲージ対称性を導入することができる。四面体を基本的なものとして見る代わりに、接続Bとミンコフスキー空間ファイバー内の値をとる「座標場」xを持つ基本的なR 4並進ゲージ対称性（これは内部ミンコフスキー空間ファイバーにアフィン的に作用し、このファイバーは再び局所的になる）を導入する。

より正確には、π  : M → Mを時空多様体M上のミンコフスキー ファイバー束とする。各点p ∈ Mに対して、ファイバーM pはアフィン空間である。ファイバーチャート( V , ψ )において、座標は通常ψ = ( x μ , x a )と表される。ここで、x μは時空多様体M上の座標、x a はファイバーM p内の座標である。

抽象添字記法を用いて、a、b、c、…をM pに、μ、ν、…を接束 TMにそれぞれ参照するものとする。任意のゲージにおいて、点pにおけるx aの値は、断面

× μ → （ × μ 、 × 1つの ＝ ξ 1つの （ p ） ） 。 {\displaystyle x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).}

共変微分

D μ ξ 1つの ≡ （ d ξ 1つの ） μ + B 1つの μ ＝ ∂ μ ξ 1つの + B 1つの μ {\displaystyle D_{\mu }\xi ^{a}\equiv \left(d\xi ^{a}\right)_{\mu }+{B^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }}

は、並進アーベル群R 4のリー代数に値を仮定した1次元形式である接続形式 Bに関して定義される。ここで、d はスカラー体xのa番目の成分の外微分である（したがって、これは純粋な抽象添字表記ではない）。並進場α aによるゲージ変換のもとで、

x a → x a + α a {\displaystyle x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}}

そして

B a μ → B a μ − ∂ μ α a {\displaystyle {B^{a}}_{\mu }\to {B^{a}}_{\mu }-\partial _{\mu }\alpha ^{a}}

そして、x a = ξ a ( p )の共変微分はゲージ不変である。これは並進(共)四面体と同一視される。

h a μ = ∂ μ ξ a + B a μ {\displaystyle {h^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }}

これは一形式であり、並進アーベル群R 4のリー代数に値をとるため、ゲージ不変である。[12]しかし、これは何を意味するのだろうか？x a = ξ a ( p )は（純粋並進）アフィン内部バンドルM → Mの局所切断であり、並進ゲージ場B a μに加えてもう一つの重要な構造である。幾何学的には、この場はアフィン空間の原点を決定する。これはカルタンの動径ベクトルとして知られている。ゲージ理論の枠組みでは、一形式

h a = h a μ d x μ = ( ∂ μ ξ a + B a μ ) d x μ {\displaystyle h^{a}={h^{a}}_{\mu }dx^{\mu }=\left(\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right)dx^{\mu }}

ξ aが並進対称性の自発的破れを記述する ゴールドストーン場として解釈される非線形並進ゲージ場として生じる。

大まかな例えを挙げると、M pをコンピュータ画面、内部変位をマウスポインタの位置と考えてください。湾曲したマウスパッドを時空、マウスの位置を位置と考えてください。マウスの向きを固定したまま、湾曲したマウスパッド上でマウスを動かすと、マウスポインタの位置（内部変位）も変化します。この変化は経路に依存します。つまり、マウスの初期位置と最終位置だけに依存するわけではありません。マウスパッド上の閉じた経路上でマウスを動かしたときの内部変位の変化が、ねじれです。

もう一つ、大まかな例えを挙げましょう。線欠陥（刃状転位とらせん転位はありますが、回位は含まれません）を持つ結晶を考えてみましょう。Mの点が経路に沿って平行移動する様子は、結晶結合の数（上下、前後、左右）を数えることで表されます。バーガースベクトルはねじれに対応します。回位は曲率に対応するため、無視されます。

ねじれ、つまりテレパラレル重力の並進場の強度（または並進「曲率」）は、

T a μ ν ≡ ( D B a ) μ ν = D μ B a ν − D ν B a μ , {\displaystyle {T^{a}}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu \nu }=D_{\mu }{B^{a}}_{\nu }-D_{\nu }{B^{a}}_{\mu },}

はゲージ不変です。

M pはアフィン空間でありファイバーでもあるが、 x aがどこでもゼロとなるゲージを常に選ぶことができる。したがって、原点は点ごとに定義する必要があり、これは任意に行うことができる。これは、四面体が基本となる理論に戻ることにつながる。

テレパラレリズムとは、この枠組みに基づくあらゆる重力理論を指す。作用の特定の選択によって一般相対論と完全に等価となるものがある[9]が、作用の別の選択によって一般相対論と等価とならないものもある。これらの理論の中には、慣性質量と重力質量の間に等価性がないものもある[13]。

一般相対性理論とは異なり、重力は時空の曲率ではなく、時空のねじれによって生じます。

非重力の文脈

時空の幾何学と結晶中の欠陥構造には密接な類似性がある。 [14] [15] 転位はねじれ、回位は曲率で表される。これらの欠陥は互いに独立しているわけではない。転位は回位と反回位のペアに相当し、回位は転位の列に相当する。これが、純粋に曲率に基づくアインシュタインの理論が、ねじれのみに基づくテレパラレル理論に書き直せる基本的な理由である。さらに、曲率のどの程度をねじれで再表現したいかによって、アインシュタインの理論を書き直す方法は無限に存在し、テレパラレル理論はそれらの特定のバージョンの一つに過ぎない。[16]

テレパラレリズムの更なる応用は量子場の理論、すなわち単純な幾何学的多様体上の標的空間を持つ2次元非線形シグマ模型において見られる。この模型のくりこみ挙動は、捩れを含むリッチフローによって制御される。この捩れはリッチテンソルを変化させ、テレパラレリズム（「ジオメトロスタシス」）のために、結合の赤外固定点をもたらす。 [17]

参照

参考文献

  1. ^ アインシュタイン、アルバート (1928)。 「フェルン平行法によるリーマン幾何学」。Preussische Akademie der Wissenschaften、物理-数学。クラッセ、シッツングスベリヒテ。1928 : 217–221 .
  2. ^ Bishop, RL; Goldberg, SI (1968).多様体上のテンソル解析. p. 223.
  3. ^ Goenner, Hubert FM (2004). 「統一場理論の歴史について」. Living Reviews in Relativity . 7 (1): 2. Bibcode :2004LRR.....7....2G. doi : 10.12942/lrr-2004-2 . PMC 5256024. PMID  28179864 . 
  4. ^ ab モラー、クリスチャン (1961)。 「一般相対性理論における保存則と絶対平行性」。マット。フィス。ダン。ヴィッド。セルスク。1 (10)：1～ 50。
  5. ^ ab ペレグリーニ、C.;プレバンスキー、J. (1963)。 「四分子場と重力場」。マット。フィス。クローナ。ダン。ヴィッド。セルスク。2 (4)：1～ 39。
  6. ^ Møller, Christian (1961). 「一般相対性理論におけるエネルギーの局在に関する更なる考察」Ann. Phys . 12 (1): 118– 133. Bibcode :1961AnPhy..12..118M. doi :10.1016/0003-4916(61)90148-8.
  7. ^ Abedi, Habib; Salti, Mustafa (2015-07-31). 「テレパラレルフレームワークにおける多重場修正重力と局所エネルギー」.一般相対性理論と重力. 47 (8): 93. Bibcode :2015GReGr..47...93A. doi :10.1007/s10714-015-1935-z. ISSN  0001-7701. S2CID  123324599.
  8. ^ 林 健一; 中野 剛志 (1967). 「拡張並進不変性とそれに伴うゲージ場」. Prog. Theor. Phys . 38 (2): 491– 507. Bibcode :1967PThPh..38..491H. doi : 10.1143/ptp.38.491 .
  9. ^ ab Cho, Y.-M. (1976). 「並進ヤン＝ミルズラグランジアンとしてのアインシュタインラグランジアン」. Physical Review D. 14 ( 10): 2521. Bibcode :1976PhRvD..14.2521C. doi :10.1103/physrevd.14.2521.
  10. ^ Schweizer, M.; Straumann, N.; Wipf, A. (1980). 「ポストニュートン的重力波生成とねじれを伴う重力理論」. Gen. Rel. Grav . 12 (11): 951– 961. arXiv : 2305.01603 . Bibcode :1980GReGr..12..951S. doi :10.1007/bf00757366. S2CID  121759701.
  11. ^ Arcos, HI; Pereira, JG (2005年1月). 「ねじり重力：再評価」. Int. J. Mod. Phys. D. 13 ( 10): 2193– 2240. arXiv : gr-qc/0501017 . Bibcode :2004IJMPD..13.2193A. doi :10.1142/S0218271804006462. S2CID  119540585.
  12. ^ Hehl, FW; McCrea, JD; Mielke, EW; Ne'eman, Y. (1995). 「重力の計量的アフィンゲージ理論：場の方程式、ノイザー恒等式、世界スピノル、そして膨張不変性の破れ」. Phys. Rep . 258 (1): 1– 171. arXiv : gr-qc/9402012 . Bibcode :1995PhR...258....1H. doi :10.1016/0370-1573(94)00111-F. S2CID  119346282.
  13. ^ Combi, L.; Romero, GE (2018). 「テレパラレル重力は本当に一般相対論と同等か？」Annalen der Physik . 530 (1) 1700175. arXiv : 1708.04569 . Bibcode :2018AnP...53000175C. doi :10.1002/andp.201700175. hdl : 11336/36421 . S2CID  119509267.
  14. ^ Kleinert, Hagen (1989). Gauge Fields in Condensed Matter Vol II. pp.  743– 1440. 2022年8月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年7月17日閲覧。
  15. ^ Kleinert, Hagen (2008). Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation (PDF) . pp.  1– 496. Bibcode :2008mfcm.book.....K. 2022年1月20日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2011年7月17日閲覧。
  16. ^ クライナート、ハーゲン(2010). 「重力における新たなゲージ対称性とねじれのエバネッセント役割」. マレー・ゲルマン生誕80周年記念会議議事録(PDF) . pp.  174– 185. arXiv : 1005.1460 . Bibcode :2011pchm.conf..174K. doi :10.1142/9789814335614_0016. ISBN 978-981-4335-60-7. S2CID  17972657。
  17. ^ Braaten, E.; Curtright, TL; Zachos, CK (1985). 「非線形シグマ模型におけるねじれとジオメトロスタシス」.核物理B. 260 ( 3–4 ) : 630. Bibcode :1985NuPhB.260..630B. doi :10.1016/0550-3213(85)90053-7.

さらに読む

  • テレパラレリズムに関する選集、DHデルフェニッチによる翻訳・編集
  • nラボのテレパラレル重力
  • ルカ・ボンベッリ著『テレパラレル構造と重力理論』
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