曲線座標におけるテンソル

曲線座標はテンソル計算で定式化することができ、物理学や工学、特に流体力学や連続体力学における物理量の輸送や物質の変形を記述するために重要な用途があります。

3次元曲線座標におけるベクトル代数とテンソル代数

曲線座標系における初等的なベクトル代数とテンソル代数は、力学と物理学の古い科学文献の一部で用いられており、1900年代初頭から中期にかけての研究、例えばGreenとZernaの著書^[1]を理解する上で不可欠なものとなり 得る。本節では、曲線座標系におけるベクトル代数と2階テンソル代数における有用な関係式をいくつか示す。表記法と内容は主にOgden、^[2] Naghdi、^[3] Simmonds、^[4] GreenとZerna、^[1] BasarとWeichert、^{[5] Ciarlet [6]}に拠っている。

座標変換

座標変数 と を持つ2つの座標系を考えてみましょう。これらはそれぞれ とと略記し、添え字は常に1から3までとします。これらの座標系は3次元ユークリッド空間に埋め込まれていると仮定します。座標 と は互いに説明するために使用できます。なぜなら、一方の座標系で座標線に沿って移動すると、もう一方の座標系を使用して位置を記述できるからです。このように、座標 と は互いの関数です 。${\displaystyle (Z^{1},Z^{2},Z^{3})}$ ${\displaystyle (Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$

$${\displaystyle Z^{i}=f^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})}$$ のために${\displaystyle i=1,2,3}$

これは次のように書ける。

$${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})=Z^{i}(Z^{\acute {i}})}$$ のために${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$

これら3つの方程式は、 からへ の座標変換とも呼ばれます。この変換を と表記します。したがって、座標変数を含む座標系から座標を含む座標系への変換は、次のように表されます。 ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle Z^{i}}$

$${\displaystyle Z=T({\acute {z}})}$$

同様にを の関数として次のように表すことができます。 ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle Z^{i}}$

$${\displaystyle Z^{\acute {i}}=g^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})}$$ のために${\displaystyle {\acute {i}}=1,2,3}$

そして自由方程式は次のように簡潔に書くことができる。

$${\displaystyle Z^{\acute {i}}=Z^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})=Z^{\acute {i}}(Z^{i})}$$ のために${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$

これら3つの方程式は、 からへの座標変換とも呼ばれます。この変換を と表記します。座標変数を含む座標系から座標を含む座標系への変換は、次のように表されます。 ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$

$${\displaystyle {\acute {z}}=S(z)}$$

変換が全単射である場合、変換の像、すなわち を の許容座標の集合と呼びます。が線形である場合、座標系はアフィン座標系と呼ばれ、そうでない場合は曲線座標系と呼ばれます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{i}}$

ヤコビアン

座標 と は互いの関数であることがわかったので、座標変数 を座標変数 に関して微分することができます。 ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$

考慮する

$${\displaystyle {\frac {\partial {Z^{i}}}{\partial {Z^{\acute {i}}}}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;J_{\acute {i}}^{i}}$$ の場合、これらの導関数は行列 に配置することができ、例えば は- 行- 列 の要素である。${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\acute {i}}}$

$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{\acute {1}}^{1}&J_{\acute {2}}^{1}&J_{\acute {3}}^{1}\\J_{\acute {1}}^{2}&J_{\acute {2}}^{2}&J_{\acute {3}}^{2}\\J_{\acute {1}}^{3}&J_{\acute {2}}^{3}&J_{\acute {3}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\end{pmatrix}}}$$

結果として得られる行列はヤコビ行列と呼ばれます。

曲線座標のベクトル

を3次元ユークリッド空間の任意の基底とする。一般に、基底ベクトルは単位ベクトルでも互いに直交でもない。しかし、それらは線形独立であることが要求される。すると、ベクトルは^[4]のように表される^。27 成分はベクトルの反変成分である。 ${\displaystyle (\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =v^{k}\,\mathbf {b} _{k}}$$ ${\displaystyle v^{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

逆基底 は関係式^{[4]によって定義される：28–29} ここでクロネッカーのデルタである。 ${\displaystyle (\mathbf {b} ^{1},\mathbf {b} ^{2},\mathbf {b} ^{3})}$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

ベクトルは逆基底で表すこともできます。 成分はベクトルの共変成分です。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{k}~\mathbf {b} ^{k}}$$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

曲線座標における2階テンソル

2 次テンソルは次のように表現できます。 成分は、 2 次テンソルの 反変成分、混合右共変成分、混合左共変成分、共変成分と呼ばれます。$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{~j}^{i}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{~j}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$$ ${\displaystyle S^{ij}}$ ${\displaystyle S_{~j}^{i}}$ ${\displaystyle S_{i}^{~j}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$

計量テンソルと成分間の関係

量は次のように定義される^{[4] :39}${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g^{ij}}$

$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=g_{ji}~;~~g^{ij}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=g^{ji}}$$ 上記の式から、 $${\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}~;~~v_{i}=g_{ik}~v^{k}~;~~\mathbf {b} ^{i}=g^{ij}~\mathbf {b} _{j}~;~~\mathbf {b} _{i}=g_{ij}~\mathbf {b} ^{j}}$$

ベクトルの成分は^{[4]によって関係付けられる：30–32} また、 $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\delta _{k}^{i}=v^{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\delta _{i}^{k}=v_{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}~v^{k}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}~v_{k}}$$

2階テンソルの成分は次のように関係している。 $${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}~S_{k}^{~j}=g^{jk}~S_{~k}^{i}=g^{ik}~g^{jl}~S_{kl}}$$

交代テンソル

直交右手基底では、三階交代テンソルは次のように定義されます。 一般の曲線基底では、同じテンソルは次のように表すことができます。 したがって 、 同様 に、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}~\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=\left[\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j},\mathbf {b} _{k}\right]=(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})\cdot \mathbf {b} _{k}~;~~{\mathcal {E}}^{ijk}=\left[\mathbf {b} ^{i},\mathbf {b} ^{j},\mathbf {b} ^{k}\right]}$$ $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j}=J~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=J~\varepsilon _{ijk}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijk}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}~\varepsilon ^{ijk}={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~\varepsilon ^{ijk}}$$

ベクトル演算

アイデンティティマップ

によって定義される恒等写像は次のように示される: ^{[4] : 39}${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}$$

スカラー（ドット）積

曲線座標における2つのベクトルのスカラー積は^{[4] ：32 である。}

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$$

ベクトル（クロス）積

2つのベクトルの外積は次のように与えられる: ^{[4] : 32–34}

$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}}$$

ここでは置換記号、は直交座標基底ベクトルです。曲線座標では、等価な式は次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$$

ここでは3階交代テンソルです。2つのベクトルの 外積は次のように与えられます。${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}}$$

ここでは置換記号であり、は直交座標基底ベクトルである。したがって、 ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}\mathbf {e} _{i}}$$

そして

$${\displaystyle \mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{n}}}={\frac {\partial (x_{p}\mathbf {e} _{p})}{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial (x_{q}\mathbf {e} _{q})}{\partial q^{n}}}={\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{i}.}$$

したがって、

$${\displaystyle (\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}}$$

ベクトル積に戻り、次の関係を使用します。

$${\displaystyle {\hat {u}}_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}u^{m},\quad {\hat {v}}_{k}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}v^{n},\quad \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}\mathbf {b} ^{s},}$$

結果は次のようになります:

$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$$

テンソル演算

アイデンティティマップ

によって定義される恒等写像は 次のように示される^{[4] ：39}${\displaystyle {\mathsf {I}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {I}}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\mathsf {I}}=g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}$$

2階テンソルのベクトルへの作用

この作用は曲線座標で次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {S}}\mathbf {u} }$

$${\displaystyle v^{i}\mathbf {b} _{i}=S^{ij}u_{j}\mathbf {b} _{i}=S_{j}^{i}u^{j}\mathbf {b} _{i};\qquad v_{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{ij}u^{j}\mathbf {b} ^{i}=S_{i}^{j}u_{j}\mathbf {b} ^{i}}$$

2つの2階テンソルの内積

2つの2階テンソルの内積は曲線座標で次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}}$

$${\displaystyle U_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{ik}T_{.j}^{k}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{.k}T_{kj}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$$

あるいは、

$${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=S^{ij}T_{.n}^{m}g_{jm}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S_{.m}^{i}T_{.n}^{m}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S^{ij}T_{jn}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}}$$

2階テンソルの行列式

が2階テンソルの場合、行列式は次の関係で定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

$${\displaystyle \left[{\boldsymbol {S}}\mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]}$$

ここで任意のベクトルであり、 ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} }$

$${\displaystyle \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]:=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ).}$$

曲線基底ベクトルと直交基底ベクトルの関係

を、対象となるユークリッド空間の通常の直交座標基底ベクトルとし、を に写像する2階変換テンソルとします 。すると、 この関係 式から、 で あることが示せます 。を のヤコビアンとします。すると、行列式の定義から、 となるので、 上記 の 関係式を用いて、多くの興味深い結果を導き出すことができます。 ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})}$ $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\boldsymbol {F}}\mathbf {e} _{i}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}=({\boldsymbol {F}}\mathbf {e} _{i})\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {F}}(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i})={\boldsymbol {F}}~.}$$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}\mathbf {e} ^{i}~;~~g^{ij}=[{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {1}}}{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}]_{ij}~;~~g_{ij}=[g^{ij}]^{-1}=[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {F}}]_{ij}}$$ ${\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\det {\boldsymbol {F}}\left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]~.}$$ $${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]=1}$$ $${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}=\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}$$

まず、 を考えます。 次に 、 同様に、 が示せます。 したがって、 という事実を用いて、 $${\displaystyle g:=\det[g_{ij}]}$$ $${\displaystyle g=\det[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}]\cdot \det[{\boldsymbol {F}}]=J\cdot J=J^{2}}$$ $${\displaystyle \det[g^{ij}]={\cfrac {1}{J^{2}}}}$$ ${\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}}$ $${\displaystyle {\cfrac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=2~J~{\cfrac {\partial J}{\partial g_{ij}}}=g~g^{ij}}$$

もう一つの興味深い関係式が以下で導出されます。 は定数ですが、まだ定まっていません。 この観察から、関係式が導かれます。 指数表記では、 は通常の置換記号です。 $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=1,~\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{2}=\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{3}=0\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}=A~(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=A~\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})=AJ=1\quad \Rightarrow \quad A={\cfrac {1}{J}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{1}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})~;~~\mathbf {b} ^{2}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})~;~~\mathbf {b} ^{3}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

変換テンソルの明示的な表現は示していない。これは、曲線基底と直交基底間の写像の別の形式の方がより有用であるためである。写像が十分な滑らかさを持つと仮定すると（そして多少の表記法の乱用）、次の式が得られる。 同様に、 これらの結果から、次の式が得られる 。 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}=\mathbf {e} _{j}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{j}~{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial x_{i}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}=\mathbf {e} ^{k}\cdot (\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i})=\mathbf {e} ^{k}}$$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{k}={\frac {\partial q^{k}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} ^{i}}$$

3次元曲線座標におけるベクトルとテンソルの計算

シモンズ^[4]はテンソル解析に関する著書の中で、アルバート・アインシュタインの言葉を引用している^[7]。

この理論の魔法は、それを真に理解した人なら誰でも感じ取らずにはいられないでしょう。これは、ガウス、リーマン、リッチ、レヴィ＝チヴィタによって確立された絶対微分積分法の真の勝利を表しています。

一般曲線座標系におけるベクトルおよびテンソル計算は、一般相対性理論における4次元曲線多様体のテンソル解析、^[8] 、曲面シェルの力学、^{[6] 、メタ}マテリアル^{[9] [10]}で関心を集めているマクスウェル方程式の不変性の調査、その他多くの分野で使用されています。

この節では、曲線座標系におけるベクトルと2階テンソルの微積分における有用な関係式をいくつか示す。表記法と内容は主にOgden, ^[2] Simmonds, ^[4] Green and Zerna, ^[1] Basar and Weichert, ^[5] Ciarlet ^{[6]に拠る。}

基本的な定義

空間内の点の位置を3つの座標変数で特徴付けるとします。 ${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})}$

座標曲線は 、とが定数となる曲線を表します。点の位置ベクトルをある原点からの相対的な位置ベクトルとします。そして、そのような写像とその逆写像が存在し、それらが連続であると仮定すると、 ^{[2] のように書くことができます。55} これらの体は、曲線座標系の曲線座標関数と呼ばれます。 ${\displaystyle q^{1}}$ ${\displaystyle q^{2}}$ ${\displaystyle q^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})~;~~q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )=[{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(\mathbf {x} )]^{i}}$$ ${\displaystyle \psi ^{i}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(\mathbf {x} )}$

座標曲線は、 が固定され たによって与えられる 1 パラメータ関数族によって定義されます 。 ${\displaystyle q^{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{i}(\alpha )={\boldsymbol {\varphi }}(\alpha ,q^{j},q^{k})~,~~i\neq j\neq k}$$ ${\displaystyle q^{j}}$ ${\displaystyle q^{k}}$

座標曲線の接線ベクトル

点における曲線の接線ベクトル（または点における座標曲線の接線ベクトル）は、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}(\alpha )}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle {\cfrac {\rm {{d}\mathbf {x} _{i}}}{\rm {{d}\alpha }}}\equiv {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}$$

勾配

スカラー場

を空間上のスカラー場とする。すると、 場 の勾配はで定義される。 ここで は 任意の定数ベクトルである。の成分を と定義すると、 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f[{\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})]=f_{\varphi }(q^{1},q^{2},q^{3})}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} ){\biggr |}_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle c^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle q^{i}+\alpha ~c^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} +\alpha ~\mathbf {c} )}$$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f_{\varphi }(q^{1}+\alpha ~c^{1},q^{2}+\alpha ~c^{2},q^{3}+\alpha ~c^{3}){\biggr |}_{\alpha =0}={\cfrac {\partial f_{\varphi }}{\partial q^{i}}}~c^{i}={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}}$$

と設定すると、 なので、 となり、これは ベクトル の反変成分を抽出する手段を提供します。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \psi ^{i}}{\partial q^{j}}}~c^{j}=c^{i}}$$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

が点における共変（または自然）基底であり、 がその点における反変（または逆数）基底である場合、次 のセクションでこの基底選択の簡単な根拠を示します。 ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}=\left({\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}\right)\left(c^{i}~\mathbf {b} _{i}\right)\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}}$$

ベクトル場

同様のプロセスを使用して、ベクトル場 の勾配を求めることができます。勾配は、次のように与えられます。 位置ベクトル場 の勾配を考えると、次が示されます。 ベクトル場 は座標曲線に接し、曲線上の各点で自然な基底を形成します。この記事の冒頭で説明したように、この基底は共変曲線基底とも呼ばれます。逆基底、または反変曲線基底を定義することもできます。テンソル代数のセクションで説明したように、基底ベクトル間のすべての代数関係は、各点 における自然な基底とその逆数に適用されます。 ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}~c^{i}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {x} )=\mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}~c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} )~c^{i}~;~~\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} ):={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

は任意なので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$$

反変基底ベクトルは定数の面に垂直であり、次のように与えられる ことに注意する。${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}}$ ${\displaystyle \psi ^{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}}$$

第一種クリストッフェル記号

第一種クリストッフェル記号は次のように定義される。 を 用いて表す と 、 となる。 となる ので、 となる。これらを用いて上記の関係式を整理すると、 $${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}:=\Gamma _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{l}=\Gamma _{ijl}}$$ ${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{ijk}+\Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{ijk}=\Gamma _{jik}}$ $${\displaystyle \Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$$

第二種クリストッフェル記号

第二種クリストッフェル記号は次のように定義 される 。 $${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$$

$${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}}$$

これは、 以下の他の関係が $${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}}$$ $${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$$

クリストッフェル記号が計量テンソルとその導関数のみに依存することを示すもう一つの特に有用な関係は、 $${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {g^{km}}{2}}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial q^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{m}}}\right)}$$

ベクトル場の勾配の明示的な表現

曲線座標におけるベクトル場の勾配を表す次の式は非常に便利です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\left[{\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{lk}^{i}~v^{l}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~v_{l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}$$

物理的なベクトル場を表現する

ベクトル場は、場の共変成分、物理的な成分、（合計なし） は正規化された反変基底ベクトル として表すことができます 。${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{i}~\mathbf {b} ^{i}={\hat {v}}_{i}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}}$$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{i}={\cfrac {\mathbf {b} ^{i}}{\sqrt {g^{ii}}}}}$$

2階テンソル場

2階テンソル場の勾配も同様に次のように表される。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$$

勾配の明示的な表現

テンソルの表現を反変基底で考えると、次 のようにも書ける。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial }{\partial q^{k}}}[S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}]\otimes \mathbf {b} ^{k}=\left[{\frac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{kl}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}$$

物理的な2階テンソル場を表現する

2階テンソル場の物理的成分は、正規化された反変基底、すなわち ハット基底ベクトルが正規化された基底を用いることで得られる。これは（これもまた和は不要である） $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}={\hat {S}}_{ij}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}\otimes {\hat {\mathbf {b} }}^{j}}$$

$${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}=S_{ij}~{\sqrt {g^{ii}~g^{jj}}}}$$

発散

ベクトル場

ベクトル場の発散は 、曲線基底に関する成分に関して 次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{j}}}-\Gamma _{ji}^{\ell }~v_{\ell }\right]~g^{ij}}$$

ベクトル場の発散を表す別の方程式が頻繁に用いられます。この関係式を導くには、次の関係を思い出してください。 ここで、 の対称性により、次の関係が成り立ち ます 。 が を成分とする行列である 場合、その逆行列は となります。逆行列は で与えられます。 ここで、はを成分とする余因子行列です。行列代数から、 次の関係が成り立ちます。 したがって、 この関係式を発散の式に代入すると、次の式が得られます。 少し操作を加えると、よりコンパクトな形式になります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }}$$ $${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{i}=\Gamma _{i\ell }^{i}={\cfrac {g^{mi}}{2}}\left[{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{il}}{\partial q^{m}}}\right]}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ $${\displaystyle g^{mi}~{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}=g^{mi}~{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial q^{m}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {g^{mi}}{2}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}$$ ${\displaystyle [g_{ij}]}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle [g_{ij}]^{-1}=[g^{ij}]}$ $${\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}={\cfrac {A^{ij}}{g}}~;~~g:=\det([g_{ij}])=\det {\boldsymbol {g}}}$$ ${\displaystyle A^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ $${\displaystyle g=\det([g_{ij}])=\sum _{i}g_{ij}~A^{ij}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ij}}$$ $${\displaystyle [g^{ij}]={\cfrac {1}{g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{mi}}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}~{\sqrt {g}})}$$

2階テンソル場

2階テンソル場の発散は、任意の定数ベクトルを用いて定義される 。[ 11 ]^曲線 座標では、 $${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\mathbf {a} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}}$$

ラプラシアン

スカラー場

スカラー場のラプラシアンは 次の ように定義されます。 ベクトル場の発散の別の表現を使うと次のようになります 。したがって、 ${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi :={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}([{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}~{\sqrt {g}})}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} ^{l}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} _{i}\quad \Rightarrow \quad [{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~{\sqrt {g}}\right)}$$

ベクトル場の回転

共変曲線座標におけるベクトル場の回転は 次 のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} ={\mathcal {E}}^{rst}v_{s|r}~\mathbf {b} _{t}}$$ $${\displaystyle v_{s|r}=v_{s,r}-\Gamma _{sr}^{i}~v_{i}}$$

直交曲線座標

この節では、曲線座標系が直交、すなわち 、 あるいは同値で であると仮定する。前述と同様に、は共変基底ベクトルであり、は反変基底ベクトルである。また、 は背景の固定直交基底とする。直交曲線座標系の一覧は以下の通りである。 $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}={\begin{cases}g_{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}={\begin{cases}g^{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle g^{ii}=g_{ii}^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ^{j}}$ ${\displaystyle (\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3})}$

直交曲線座標における計量テンソル

座標系の原点に対する点の位置ベクトルをと する。表記は=とすることで簡略化できる。各点において、小さな線分要素 を作図できる。線分要素の長さの2乗はスカラー積であり、空間の計量と呼ばれる。曲線座標系について話す場合、対象となる空間はユークリッド空間であると仮定することを思い出してほしい。位置ベクトルを、背景となる固定された直交座標基底、すなわち を用いて表すとしよう。 ${\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}~\mathbf {e} _{i}}$$

連鎖律を用いると、 3次元直交曲線座標系で次のように表すことができます。したがって 、計量は次のように与えられます。 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }$ ${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})}$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left({\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~\mathbf {e} _{i}\right)\mathrm {d} q^{j}}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}~\mathrm {d} q^{j}~\mathrm {d} q^{k}}$$

対称量は 、曲線座標における ユークリッド空間の基本テンソル（または計量テンソル） と呼ばれます。$${\displaystyle g_{ij}(q^{i},q^{j})=\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$$

また、 Lamé 係数が どこにあるかにも注意してください。$${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(\sum _{m}h_{mj}~\mathbf {e} _{m}\right)=\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}}$$ ${\displaystyle h_{ij}}$

スケール係数 を定義すると、基本 テンソルとラメ係数の関係が得られます。 ${\displaystyle h_{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ii}=\sum _{k}h_{ki}^{2}=:h_{i}^{2}\quad \Rightarrow \quad \left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|=\left|\mathbf {b} _{i}\right|={\sqrt {g_{ii}}}=h_{i}}$$

例: 極座標

の極座標を考えるとき、 は曲線座標であり、変換のヤコビ行列式は であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle (r,\theta )\to (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ ${\displaystyle r}$

直交基底ベクトルは、です。正規化された基底ベクトルは、であり、スケール係数は 、 です。基礎テンソルは、、です。 ${\displaystyle \mathbf {b} _{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{\theta }=(-r\sin \theta ,r\cos \theta )}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )}$ ${\displaystyle h_{r}=1}$ ${\displaystyle h_{\theta }=r}$ ${\displaystyle g_{11}=1}$ ${\displaystyle g_{22}=r^{2}}$ ${\displaystyle g_{12}=g_{21}=0}$

線積分と面積分

ベクトル解析の計算に曲線座標系を用いる場合、線積分、面積分、体積積分の計算において調整が必要です。簡潔にするため、ここでも議論は3次元と直交曲線座標系に限定します。ただし、座標系が直交でない場合は式にいくつかの追加項が加わりますが、同じ議論は3次元問題にも当てはまります。 ${\displaystyle n}$

線積分

通常、線積分の計算では、直交座標系における が媒介変数化される 場所を計算することに関心がある 。曲線座標系では、 $${\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\;dt}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\sum _{i=1}^{3}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial t}\right|}$$

連鎖律により。そしてラメ係数の定義から、

$${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}=\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}}$$

そしてこうして

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\left(\sum _{i}h_{ki}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)\mathbf {e} _{k}\right|\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}\end{aligned}}}$$

さて、いつから、私たちは 、そして正常に進めることができるようになりました。 ${\displaystyle g_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ $${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|={\sqrt {\sum _{i}g_{ii}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sum _{i}h_{i}^{2}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}}$$

面積分

同様に、面積分に興味がある場合、直交座標系における表面のパラメータ化を用いた関連する計算は次のようになる。 また、曲線座標系では、 となり 、曲線座標系の定義を再び利用して、 を得る。 $${\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\,ds\,dt}$$ $${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\left(\sum _{i}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\times \left(\sum _{j}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\right|}$$ $${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}=\sum _{k}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\mathbf {e} _{k}~;~~{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}=\sum _{m}\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{m}}$$

したがって、 は順列記号です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\sum _{m}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{k}\times \mathbf {e} _{m}\right|\\[8pt]&=\left|\sum _{p}\sum _{k}\sum _{m}{\mathcal {E}}_{kmp}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{p}\right|\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

行列式の形式では、曲線座標に関する外積は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\&&\\\sum _{i}h_{1i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{2i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{3i}{\partial q^{i} \over \partial s}\\&&\\\sum _{j}h_{1j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{2j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{3j}{\partial q^{j} \over \partial t}\end{vmatrix}}}$$

勾配、回転、除算、ラプラシアン

3 次元の 直交曲線座標では、スカラー場またはベクトル場の勾配を次のように 表すことができます。 直交基底の場合、 ベクトル場の発散は次のように記述できます。 また、 したがって 、 次の式に注意することで、同様の方法で ラプラシアン の式を取得できます。 次に、次の式が得られます。 勾配、発散、およびラプラシアンの式は、直接-次元に拡張できます。 $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\sum _{k}g^{ik}~\mathbf {b} _{k}~;~~g^{ii}={\cfrac {1}{g_{ii}}}={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}}$$ $${\displaystyle \nabla \varphi =\sum _{i}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} ^{i}=\sum _{i}\sum _{j}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~g^{ij}~\mathbf {b} _{j}=\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial f \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} _{i}~;~~\nabla \mathbf {v} =\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}$$ $${\displaystyle g=g_{11}~g_{22}~g_{33}=h_{1}^{2}~h_{2}^{2}~h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(h_{1}h_{2}h_{3}~v^{i})}$$ $${\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}\quad \Rightarrow v^{1}=g^{11}~v_{1}={\cfrac {v_{1}}{h_{1}^{2}}}~;~~v^{2}=g^{22}~v_{2}={\cfrac {v_{2}}{h_{2}^{2}}}~;~~v^{3}=g^{33}~v_{3}={\cfrac {v_{3}}{h_{3}^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~v_{i}\right)}$$ $${\displaystyle g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}=\left\{g^{11}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},g^{22}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},g^{33}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}=\left\{{\cfrac {1}{h_{1}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},{\cfrac {1}{h_{2}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},{\cfrac {1}{h_{3}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}$$ ${\displaystyle n}$

ベクトル場の回転は で与えられ、 は レヴィ・チヴィタ記号です。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

例: 円筒極座標

円筒 座標 では 、 $${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})={\boldsymbol {\varphi }}(r,\theta ,z)=\{r\cos \theta ,r\sin \theta ,z\}}$$ $${\displaystyle \{\psi ^{1}(\mathbf {x} ),\psi ^{2}(\mathbf {x} ),\psi ^{3}(\mathbf {x} )\}=(q^{1},q^{2},q^{3})\equiv (r,\theta ,z)=\{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\tan ^{-1}(x_{2}/x_{1}),x_{3}\}}$$ $${\displaystyle 0<r<\infty ~,~~0<\theta <2\pi ~,~~-\infty <z<\infty }$$

すると、共変基底ベクトルと反変基底ベクトルは、 方向の単位ベクトルになり ます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=\mathbf {e} _{r}=\mathbf {b} ^{1}\\\mathbf {b} _{2}&=r~\mathbf {e} _{\theta }=r^{2}~\mathbf {b} ^{2}\\\mathbf {b} _{3}&=\mathbf {e} _{z}=\mathbf {b} ^{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle r,\theta ,z}$

計量テンソルの成分は、 基底が直交していることを示すものであることに注意してください。 $${\displaystyle g^{ij}=g_{ij}=0(i\neq j)~;~~{\sqrt {g^{11}}}=1,~{\sqrt {g^{22}}}={\cfrac {1}{r}},~{\sqrt {g^{33}}}=1}$$

第二種クリストッフェル記号の非零成分は $${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}={\cfrac {1}{r}}~;~~\Gamma _{22}^{1}=-r}$$

物理的なベクトル場を表現する

円筒極座標における正規化された反変基底ベクトルは 、ベクトルの物理的成分は、 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{1}=\mathbf {e} _{r}~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{2}=\mathbf {e} _{\theta }~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{3}=\mathbf {e} _{z}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle ({\hat {v}}_{1},{\hat {v}}_{2},{\hat {v}}_{3})=(v_{1},v_{2}/r,v_{3})=:(v_{r},v_{\theta },v_{z})}$$

スカラー場の勾配

円筒座標におけるスカラー場の勾配は、曲線座標における一般的な式から計算することができ、次の形をとる。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f={\cfrac {\partial f}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial f}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}}$$

ベクトル場の勾配

同様に、円筒座標におけるベクトル場の勾配は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$$

ベクトル場の発散

曲線座標系におけるベクトル場の発散の式を用いると、円筒座標系における発散は次のように示される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$

スカラー場のラプラシアン

ラプラシアンは、 とすればより簡単に計算できる。円筒極座標では 、したがって、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}f}$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f=\left[v_{r}~~v_{\theta }~~v_{z}\right]=\left[{\cfrac {\partial f}{\partial r}}~~{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~~{\cfrac {\partial f}{\partial z}}\right]}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{r}}\left[{\cfrac {\partial }{\partial r}}\left(r{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)\right]+{\cfrac {1}{r^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$

物理的な2階テンソル場を表現する

2階テンソル場の物理的成分は、テンソルを正規化された反変基底で表したときに得られる成分である。円筒極座標では、これらの成分は以下の通りである。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{11}&=S_{11}=:S_{rr},&{\hat {S}}_{12}&={\frac {S_{12}}{r}}=:S_{r\theta },&{\hat {S}}_{13}&=S_{13}=:S_{rz}\\[6pt]{\hat {S}}_{21}&={\frac {S_{21}}{r}}=:S_{\theta r},&{\hat {S}}_{22}&={\frac {S_{22}}{r^{2}}}=:S_{\theta \theta },&{\hat {S}}_{23}&={\frac {S_{23}}{r}}=:S_{\theta z}\\[6pt]{\hat {S}}_{31}&=S_{31}=:S_{zr},&{\hat {S}}_{32}&={\frac {S_{32}}{r}}=:S_{z\theta },&{\hat {S}}_{33}&=S_{33}=:S_{zz}\end{aligned}}}$$

2階テンソル場の勾配

上記の定義を用いると、円筒極座標における2次テンソル場の勾配は次のように表せることがわかる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$$

2階テンソル場の発散

円筒極座標における2階テンソル場の発散は、勾配の式から、2項積における2つの外側のベクトルのスカラー積が非ゼロとなる項を集めることによって得られる。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$$

参照

• 共変性と反変性
• 曲がった時空の数学の基礎入門
• 直交座標
• フレネ・セレ式
• 共変微分
• テンソル微分（連続体力学）
• 曲線遠近法
• 円筒座標と球座標におけるDel

参考文献

注記

1. Green, AE; Zerna, W. (1968).理論的弾性. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853486-8。
2. Ogden, RW (2000).非線形弾性変形. ドーバー.
3. Naghdi, PM (1972). 「殻と板の理論」. S. Flügge (編).物理学ハンドブック. 第6a巻第2号. pp.  425– 640.
4. Simmonds, JG (1994).テンソル解析の概要. Springer. ISBN 0-387-90639-8。
5. Basar, Y.; Weichert, D. (2000).固体の数値連続体力学：基本概念と展望. Springer.
6. Ciarlet, PG (2000).シェルの理論. 第1巻. エルゼビア・サイエンス.
7. アインシュタイン、A. (1915). 「一般相対性理論への貢献」. ラチョス、C. (編). 『アインシュタインの10年』 p. 213.
8. ミスナー, CW; ソーン, KS; ウィーラー, JA (1973). 『重力』 WHフリーマン・アンド・カンパニーISBN 0-7167-0344-0。
9. Greenleaf, A.; Lassas, M.; Uhlmann, G. (2003). 「EITでは検出できない異方性導電率」.生理学的測定. 24 (2): 413– 419. doi :10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID  12812426. S2CID  250813768.
10. Leonhardt, U.; Philbin, TG (2006). 「電気工学における一般相対性理論」. New Journal of Physics . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . Bibcode :2006NJPh....8..247L. doi :10.1088/1367-2630/8/10/247. S2CID  12100599.
11. 「テンソル場の発散」弾性/テンソル入門.ウィキバーシティ. 2010年11月26日閲覧。

さらに読む

• シュピーゲル、MR (1959)。ベクトル解析。ニューヨーク: シャウムのアウトライン シリーズ。ISBN 0-07-084378-3。
• アーフケン、ジョージ（1995年）『物理学者のための数学的手法』アカデミック・プレス、ISBN 0-12-059877-9。

外部リンク

• 曲線座標における単位ベクトルの導出
• MathWorldの曲線座標に関するページ
• R. ブランノン教授の曲線座標に関する電子書籍