最適化のためのテスト関数

応用数学では、人工景観と呼ばれるテスト関数は、収束率、精度、堅牢性、一般的なパフォーマンス などの最適化アルゴリズムの特性を評価するのに役立ちます。

ここでは、最適化アルゴリズムがこれらの種類の問題に対処する際に直面する様々な状況について理解を深めるために、いくつかのテスト関数を紹介します。前半では、単目的最適化の場合の目的関数をいくつか紹介します。後半では、多目的最適化問題（MOP）におけるテスト関数と、それぞれのパレートフロントを示します。

ここで提示されている単目的最適化問題の人工景観は、Bäck [ 1 ] Hauptら[ 2 ]およびRody Oldenhuisのソフトウェア[ 3 ]から取得されています。問題の数（合計55）を考慮して、ここではそのうちのいくつかを紹介します。

MOPのアルゴリズムを評価するために使用されたテスト関数は、Deb、[ 4 ] Binh et al. [ 5 ]およびBinh [ 6 ]から取得されました。Debによって開発されたソフトウェアは、GAを使用してNSGA-II手順を実装したもの[ 7 ] 、またはインターネットに投稿されたプログラム[ 8 ]をダウンロードできます。これは、ESを使用してNSGA-II手順を実装しています。

ここでは、方程式の一般的な形式、目的関数のプロット、目的変数の境界、およびグローバル最小値の座標のみが示されています。

単一目的最適化のためのテスト関数

名前 プロット 式 グローバル最小値 検索ドメイン
ラストリジン関数n=2のRastrigin関数f（×）＝あn+∑私＝1n[×私2−あコス⁡（2π×私）]{\displaystyle f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\right]}

どこ： あ＝10 そして ×∈Rn{\displaystyle {\text{ただし: }}A=10{\text{ および }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}

f（0、…、0）＝0{\displaystyle f(0,\dots ,0)=0}−5.12≤×私≤5.12{\displaystyle -5.12\leq x_{i}\leq 5.12}
アクリー関数n=2のAckley関数f（×、y）＝−20経験⁡[−0.20.5（×2+y2）]{\displaystyle f(x,y)=-20\exp \left[-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\right]}

−経験⁡[0.5（コス⁡2π×+コス⁡2πy）]+e+20{\displaystyle -\exp \left[0.5\left(\cos 2\pi x+\cos 2\pi y\right)\right]+e+20}

f（0、0）＝0{\displaystyle f(0,0)=0}−5≤×、y≤5{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
球関数 n=2の球関数f（×）＝∑私＝1n×私2{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}f（×1、…、×n）＝f（0、…、0）＝0{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0}−∞≤×私≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }、1≤私≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}
ローゼンブロック関数n=2のローゼンブロック関数f（×）＝∑私＝1n−1[100（×私+1−×私2）2+（1−×私）2]{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2}\right)^{2}+\left(1-x_{i}\right)^{2}\right]}分＝{n＝2→f（1、1）＝0、n＝3→f（1、1、1）＝0、n>3→f（1、…、1⏟n 回）＝0{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1)=0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}}−∞≤×私≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }、1≤私≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}
ビール関数ビール関数f（×、y）＝（1.5−×+×y）2+（2.25−×+×y2）2{\displaystyle f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}}

+（2.625−×+×y3）2{\displaystyle +\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}}

f(3,0.5)=0{\displaystyle f(3,0.5)=0}−4.5≤x,y≤4.5{\displaystyle -4.5\leq x,y\leq 4.5}
ゴールドスタイン・プライス関数ゴールドスタイン・プライス関数f(x,y)=[1+(x+y+1)2(19−14x+3x2−14y+6xy+3y2)]{\displaystyle f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{2}\right)\right]}

[30+(2x−3y)2(18−32x+12x2+48y−36xy+27y2)]{\displaystyle \left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]}

f(0,−1)=3{\displaystyle f(0,-1)=3}−2≤x,y≤2{\displaystyle -2\leq x,y\leq 2}
ブース機能ブースの機能f(x,y)=(x+2y−7)2+(2x+y−5)2{\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2}}f(1,3)=0{\displaystyle f(1,3)=0}−10≤x,y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
ブキン関数N.6 ブキン関数N.6f(x,y)=100|y−0.01x2|+0.01|x+10|.{\displaystyle f(x,y)=100{\sqrt {\left|y-0.01x^{2}\right|}}+0.01\left|x+10\right|.\quad }f(−10,1)=0{\displaystyle f(-10,1)=0}−15≤x≤−5{\displaystyle -15\leq x\leq -5}、−3≤y≤3{\displaystyle -3\leq y\leq 3}
マティアス関数マティアス関数f(x,y)=0.26(x2+y2)−0.48xy{\displaystyle f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy}f(0,0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}−10≤x,y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
レヴィ関数 N.13 レヴィ関数 N.13f(x,y)=sin2⁡3πx+(x−1)2(1+sin2⁡3πy){\displaystyle f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right)}

+(y−1)2(1+sin2⁡2πy){\displaystyle +\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)}

f(1,1)=0{\displaystyle f(1,1)=0}−10≤x,y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
グリーワンク関数グリワンク関数f(x)=1+14000∑i=1nxi2−∏i=1nPi(xi){\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=1+{\frac {1}{4000}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\prod _{i=1}^{n}P_{i}(x_{i})}、 どこPi(xi)=cos⁡(xii){\displaystyle P_{i}(x_{i})=\cos \left({\frac {x_{i}}{\sqrt {i}}}\right)}f(0,…,0)=0{\displaystyle f(0,\dots ,0)=0}−∞≤xi≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }、1≤i≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}
ヒンメルブルーの機能ヒンメルブルーの機能f(x,y)=(x2+y−11)2+(x+y2−7)2.{\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad }Min={f(3.0,2.0)=0.0f(−2.805118,3.131312)=0.0f(−3.779310,−3.283186)=0.0f(3.584428,−1.848126)=0.0{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\left(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{cases}}}−5≤x,y≤5{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
三こぶラクダ関数 三つこぶラクダ関数f(x,y)=2x2−1.05x4+x66+xy+y2{\displaystyle f(x,y)=2x^{2}-1.05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}}f(0,0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}−5≤x,y≤5{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
イーサム関数イーサム関数f(x,y)=−cos⁡(x)cos⁡(y)exp⁡(−((x−π)2+(y−π)2)){\displaystyle f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)}f(π,π)=−1{\displaystyle f(\pi ,\pi )=-1}−100≤x,y≤100{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
クロスイントレイ機能 クロスイントレイ機能f(x,y)=−0.0001[|sin⁡xsin⁡yexp⁡(|100−x2+y2π|)|+1]0.1{\displaystyle f(x,y)=-0.0001\left[\left|\sin x\sin y\exp \left(\left|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|+1\right]^{0.1}}Min={f(1.34941,−1.34941)=−2.06261f(1.34941,1.34941)=−2.06261f(−1.34941,1.34941)=−2.06261f(−1.34941,−1.34941)=−2.06261{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}}−10≤x,y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
卵保持機能[ 9 ] [ 10 ]卵保持機能f(x,y)=−(y+47)sin⁡|x2+(y+47)|−xsin⁡|x−(y+47)|{\displaystyle f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left|{\frac {x}{2}}+\left(y+47\right)\right|}}-x\sin {\sqrt {\left|x-\left(y+47\right)\right|}}}f(512,404.2319)=−959.6407{\displaystyle f(512,404.2319)=-959.6407}−512≤x,y≤512{\displaystyle -512\leq x,y\leq 512}
ホルダー表関数ホルダーテーブル機能f(x,y)=−|sin⁡xcos⁡yexp⁡(|1−x2+y2π|)|{\displaystyle f(x,y)=-\left|\sin x\cos y\exp \left(\left|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|}Min={f(8.05502,9.66459)=−19.2085f(−8.05502,9.66459)=−19.2085f(8.05502,−9.66459)=−19.2085f(−8.05502,−9.66459)=−19.2085{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}}−10≤x,y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
マコーミック関数マコーミック関数f(x,y)=sin⁡(x+y)+(x−y)2−1.5x+2.5y+1{\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(x-y\right)^{2}-1.5x+2.5y+1}f(−0.54719,−1.54719)=−1.9133{\displaystyle f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133}−1.5≤x≤4{\displaystyle -1.5\leq x\leq 4}、−3≤y≤4{\displaystyle -3\leq y\leq 4}
シャッファー関数N.2 シャッファー関数N.2f(x,y)=0.5+sin2⁡(x2−y2)−0.5[1+0.001(x2+y2)]2{\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}}f(0,0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}−100≤x,y≤100{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
シャッファー関数N.4 シャッファー関数N.4f(x,y)=0.5+cos2⁡[sin⁡(|x2−y2|)]−0.5[1+0.001(x2+y2)]2{\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left|x^{2}-y^{2}\right|\right)\right]-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}}Min={f(0,1.25313)=0.292579f(0,−1.25313)=0.292579f(1.25313,0)=0.292579f(−1.25313,0)=0.292579{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(0,1.25313\right)&=0.292579\\f\left(0,-1.25313\right)&=0.292579\\f\left(1.25313,0\right)&=0.292579\\f\left(-1.25313,0\right)&=0.292579\end{cases}}}−100≤x,y≤100{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
スティブリンスキー・タン関数スティブリンスキー・タン関数f(x)=∑i=1nxi4−16xi2+5xi2{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{i}}{2}}}−39.16617n<f(−2.903534,…,−2.903534⏟n times)<−39.16616n{\displaystyle -39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n}−5≤xi≤5{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}、.. 1≤i≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}
シェケル関数2次元で10個の極大値を持つシェケル関数f(x)=∑i=1m(ci+∑j=1n(xj−aji)2)−1{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{m}\;\left(c_{i}+\sum \limits _{j=1}^{n}(x_{j}-a_{ji})^{2}\right)^{-1}}−∞≤xi≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }、1≤i≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}

制約付き最適化のためのテスト関数

名前プロット式グローバル最小値検索ドメイン
円板に制約されたローゼンブロック関数[ 11 ]円板に制約されたローゼンブロック関数f(x,y)=(1−x)2+100(y−x2)2{\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}}、

対象となる：x2+y2≤2{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 2}

f(1.0,1.0)=0{\displaystyle f(1.0,1.0)=0}−1.5≤x≤1.5{\displaystyle -1.5\leq x\leq 1.5}、−1.5≤y≤1.5{\displaystyle -1.5\leq y\leq 1.5}
ミシュラのバード関数 - 制約付き[ 12 ] [ 13 ]バード関数（制約付き）f(x,y)=sin⁡(y)e[(1−cos⁡x)2]+cos⁡(x)e[(1−sin⁡y)2]+(x−y)2{\displaystyle f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1-\sin y)^{2}\right]}+(x-y)^{2}}、

対象となる：(x+5)2+(y+5)2<25{\displaystyle (x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25}

f(−3.1302468,−1.5821422)=−106.7645367{\displaystyle f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367}−10≤x≤0{\displaystyle -10\leq x\leq 0}、−6.5≤y≤0{\displaystyle -6.5\leq y\leq 0}
タウンゼント関数（修正版）[ 14 ]心臓制約多峰性機能f(x,y)=−[cos⁡((x−0.1)y)]2−xsin⁡(3x+y){\displaystyle f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)}、

対象となる: ここで: t = Atan2(x,y)x2+y2<[2cos⁡t−12cos⁡2t−14cos⁡3t−18cos⁡4t]2+[2sin⁡t]2{\displaystyle x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t-{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}}

f(2.0052938,1.1944509)=−2.0239884{\displaystyle f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884}−2.25≤x≤2.25{\displaystyle -2.25\leq x\leq 2.25}、−2.5≤y≤1.75{\displaystyle -2.5\leq y\leq 1.75}
キーンのバンプ関数[ 15 ]キーンのバンプ関数f(x)=−|[∑i=1mcos4⁡(xi)−2∏i=1mcos2⁡(xi)](∑i=1mixi2)0.5|{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=-\left|{\frac {\left[\sum _{i=1}^{m}\cos ^{4}(x_{i})-2\prod _{i=1}^{m}\cos ^{2}(x_{i})\right]}{{\left(\sum _{i=1}^{m}ix_{i}^{2}\right)}^{0.5}}}\right|}、

対象となる：、および 0.75−∏i=1mxi<0{\displaystyle 0.75-\prod _{i=1}^{m}x_{i}<0}∑i=1mxi−7.5m<0{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}-7.5m<0}

f((1.60025376,0.468675907))=−0.364979746{\displaystyle f((1.60025376,0.468675907))=-0.364979746}0<xi<10{\displaystyle 0<x_{i}<10}

多目的最適化のためのテスト関数

名前プロット機能制約検索ドメイン
ビン関数とコーン関数：[ 5 ]Binh関数とKorn関数Minimize={f1(x,y)=4x2+4y2f2(x,y)=(x−5)2+(y−5)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}}s.t.={g1(x,y)=(x−5)2+y2≤25g2(x,y)=(x−8)2+(y+3)2≥7.7{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+y^{2}\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}}0≤x≤5{\displaystyle 0\leq x\leq 5}、0≤y≤3{\displaystyle 0\leq y\leq 3}
チャンコンとハイムズ関数：[ 16 ]チャコンとハイムズ関数Minimize={f1(x,y)=2+(x−2)2+(y−1)2f2(x,y)=9x−(y−1)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=2+\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases}}}s.t.={g1(x,y)=x2+y2≤225g2(x,y)=x−3y+10≤0{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{2}\left(x,y\right)=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}}−20≤x,y≤20{\displaystyle -20\leq x,y\leq 20}
フォンセカ・フレミング関数：[ 17 ]フォンセカとフレミング関数Minimize={f1(x)=1−exp⁡[−∑i=1n(xi−1n)2]f2(x)=1−exp⁡[−∑i=1n(xi+1n)2]{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\\end{cases}}}−4≤xi≤4{\displaystyle -4\leq x_{i}\leq 4}、1≤i≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}
テスト関数4: [ 6 ]テスト機能4.[6]Minimize={f1(x,y)=x2−yf2(x,y)=−0.5x−y−1{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y\right)=-0.5x-y-1\\\end{cases}}}s.t.={g1(x,y)=6.5−x6−y≥0g2(x,y)=7.5−0.5x−y≥0g3(x,y)=30−5x−y≥0{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\\g_{2}\left(x,y\right)=7.5-0.5x-y\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)=30-5x-y\geq 0\\\end{cases}}}−7≤x,y≤4{\displaystyle -7\leq x,y\leq 4}
クルサウェ関数：[ 18 ]クルサウェ関数Minimize={f1(x)=∑i=12[−10exp⁡(−0.2xi2+xi+12)]f2(x)=∑i=13[|xi|0.8+5sin⁡(xi3)]{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left[-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left[\left|x_{i}\right|^{0.8}+5\sin \left(x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{cases}}}−5≤xi≤5{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}、。 1≤i≤3{\displaystyle 1\leq i\leq 3}
シャッファー関数N.1: [ 19 ]シャッファー関数N.1Minimize={f1(x)=x2f2(x)=(x−2)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}}−A≤x≤A{\displaystyle -A\leq x\leq A}からまでの値は、これまでうまく利用されてきました。の値が大きいほど、問題の難易度が高くなります。 A{\displaystyle A}10{\displaystyle 10}105{\displaystyle 10^{5}}A{\displaystyle A}
シャッファー関数N.2: シャッファー関数N.2Minimize={f1(x)={−x,if x≤1x−2,if 1<x≤34−x,if 3<x≤4x−4,if x>4f2(x)=(x−5)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases}}}−5≤x≤10{\displaystyle -5\leq x\leq 10}。
ポロニの2つの目的関数: ポロニの2つの目的関数Minimize={f1(x,y)=[1+(A1−B1(x,y))2+(A2−B2(x,y))2]f2(x,y)=(x+3)2+(y+1)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\left(x,y\right)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\right]\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}}

where={A1=0.5sin⁡(1)−2cos⁡(1)+sin⁡(2)−1.5cos⁡(2)A2=1.5sin⁡(1)−cos⁡(1)+2sin⁡(2)−0.5cos⁡(2)B1(x,y)=0.5sin⁡(x)−2cos⁡(x)+sin⁡(y)−1.5cos⁡(y)B2(x,y)=1.5sin⁡(x)−cos⁡(x)+2sin⁡(y)−0.5cos⁡(y){\displaystyle {\text{where}}={\begin{cases}A_{1}=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left(2\right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\right)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right)+\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}}

−π≤x,y≤π{\displaystyle -\pi \leq x,y\leq \pi }
ツィッツラー・デブ・ティーレ関数N.1: [ 20 ]ツィッツラー・デブ・ティーレ関数 N.1Minimize={f1(x)=x1f2(x)=g(x)h(f1(x),g(x))g(x)=1+929∑i=230xih(f1(x),g(x))=1−f1(x)g(x){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{cases}}}0≤xi≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}、。 1≤i≤30{\displaystyle 1\leq i\leq 30}
ツィッツラー・デブ・ティーレ関数N.2: [ 20 ]ツィッツラー・デブ・ティーレ関数 N.2Minimize={f1(x)=x1f2(x)=g(x)h(f1(x),g(x))g(x)=1+929∑i=230xih(f1(x),g(x))=1−(f1(x)g(x))2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}0≤xi≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}、。 1≤i≤30{\displaystyle 1\leq i\leq 30}
ツィッツラー・デブ・ティーレ関数N.3: [ 20 ]ツィッツラー・デブ・ティーレ関数 N.3Minimize={f1(x)=x1f2(x)=g(x)h(f1(x),g(x))g(x)=1+929∑i=230xih(f1(x),g(x))=1−f1(x)g(x)−(f1(x)g(x))sin⁡(10πf1(x)){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}}0≤xi≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}、。 1≤i≤30{\displaystyle 1\leq i\leq 30}
ツィッツラー・デブ・ティーレ関数N.4: [ 20 ]ツィッツラー・デブ・ティーレ関数 N.4Minimize={f1(x)=x1f2(x)=g(x)h(f1(x),g(x))g(x)=91+∑i=210(xi2−10cos⁡(4πxi))h(f1(x),g(x))=1−f1(x)g(x){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}}0≤x1≤1{\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 1}、、​−5≤xi≤5{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}2≤i≤10{\displaystyle 2\leq i\leq 10}
ツィッツラー・デブ・ティーレ関数 N. 6: [ 20 ]ツィッツラー・デブ・ティーレ関数 N.6Minimize={f1(x)=1−exp⁡(−4x1)sin6⁡(6πx1)f2(x)=g(x)h(f1(x),g(x))g(x)=1+9[∑i=210xi9]0.25h(f1(x),g(x))=1−(f1(x)g(x))2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left(-4x_{1}\right)\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}0≤xi≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}、。 1≤i≤10{\displaystyle 1\leq i\leq 10}
オシチカとクンドゥの機能：[ 21 ]オシチカとクンドゥ関数Minimize={f1(x)=−25(x1−2)2−(x2−2)2−(x3−1)2−(x4−4)2−(x5−1)2f2(x)=∑i=16xi2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}}s.t.={g1(x)=x1+x2−2≥0g2(x)=6−x1−x2≥0g3(x)=2−x2+x1≥0g4(x)=2−x1+3x2≥0g5(x)=4−(x3−3)2−x4≥0g6(x)=(x5−3)2+x6−4≥0{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}+x_{2}-2\geq 0\\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{cases}}}0≤x1,x2,x6≤10{\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10}、、。 ​1≤x3,x5≤5{\displaystyle 1\leq x_{3},x_{5}\leq 5}0≤x4≤6{\displaystyle 0\leq x_{4}\leq 6}
CTP1関数（2変数）: [ 4 ] [ 22 ]CTP1関数（2変数）[4]Minimize={f1(x,y)=xf2(x,y)=(1+y)exp⁡(−x1+y){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}}s.t.={g1(x,y)=f2(x,y)0.858exp⁡(−0.541f1(x,y))≥1g2(x,y)=f2(x,y)0.728exp⁡(−0.295f1(x,y))≥1{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{2}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases}}}0≤x,y≤1{\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}。
Constr-Ex問題: [ 4 ]Constr-Ex問題[4]Minimize={f1(x,y)=xf2(x,y)=1+yx{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}}s.t.={g1(x,y)=y+9x≥6g2(x,y)=−y+9x≥1{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=y+9x\geq 6\\g_{2}\left(x,y\right)=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}}0.1≤x≤1{\displaystyle 0.1\leq x\leq 1}、0≤y≤5{\displaystyle 0\leq y\leq 5}
ヴィエネ関数: ヴィエネ関数Minimize={f1(x,y)=0.5(x2+y2)+sin⁡(x2+y2)f2(x,y)=(3x−2y+4)28+(x−y+1)227+15f3(x,y)=1x2+y2+1−1.1exp⁡(−(x2+y2)){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {\left(3x-2y+4\right)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\\\end{cases}}}−3≤x,y≤3{\displaystyle -3\leq x,y\leq 3}。

参考文献

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