タインの定理

数学において、タインの定理は、フランシスコ・タインの定理 (1988) によって導入された、実アーベル体に対するスティッケルバーガーの定理の類似物である。タインの方法は、マズール・ワイルズの定理(ワシントン 1997) の証明の短縮、テイト・シャファレヴィッチ群の一部が有限であることの証明、そしてミハイレスクの定理(シューフ 2008)の証明に用いられてきた。

処方

とをを割り切れない異なる奇素数とする。を上のガロア群、 をその単元群、 を円分単元部分群、 をその類群とする。が消滅する場合、 は も消滅する。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle G^{+}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (\zeta _{p}^{+})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Cl^{+}}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Z} [G^{+}]}$ ${\displaystyle E/CE^{q}}$ ${\displaystyle Cl^{+}/Cl^{+q}}$

参考文献

• Schoof、René (2008)、カタロニア語の予想、Universitext、ロンドン: Springer-Verlag London, Ltd.、ISBN 978-1-84800-184-8、MR  2459823特に、Thaine の定理を使用してMihăilescu の定理を証明する方法については第 14 章 (91 ～ 94 ページ) を参照してください。また、Thaine の定理の特殊なケースの証明については、第 16 章「Thaine の定理」(107 ～ 115 ページ) を参照してください。
• Thaine, Francisco (1988)、「実アーベル数体のイデアル類群について」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、128 (1): 1– 18、doi :10.2307/1971460、JSTOR  1971460、MR  0951505
• ワシントン、ローレンス C. (1997)、「円分体入門」、Graduate Texts in Mathematics、第83巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-94762-0、MR  1421575特に、Thayneの定理（15.2節）とそのMazur-Wilesの定理への応用については、第15章（332～372ページ）を参照してください。