n体問題

物理学において、n体問題とは、重力相互作用する一群の天体の個々の運動を予測する問題です。この問題の解決は、太陽、月、惑星、そして目に見える恒星の運動を理解したいという願望から始まりました。

古典的な物理的な問題は次のように述べることができます。

有限個の粒子からなる系における各粒子は、他のすべての粒子からのニュートン力学の重力を受けるが、それ以外の力は受けない。系の初期状態が与えられた場合、粒子はどのように運動するだろうか？^{[ 1 ]}

二体問題は既に完全に解かれており、以下で議論する。三体以上の場合、この問題が完全に解けるのは特定の場合のみである。一般に、この問題はカオス的であり、数値的にしか解くことができない。

一般相対性理論におけるn体問題は、解決するのがかなり困難です。

歴史

惑星の軌道の3つの軌道位置（サー・アイザック・ニュートンが天文学者ジョン・フラムスティードから得た位置^{[ 2 ]）}を知っていたニュートンは、簡単な解析幾何学によって方程式を作成し、惑星の運動を予測することができました。つまり、位置、軌道直径、周期、軌道速度などの軌道特性を与えることができました。^{[ 3 ]}それをした後、彼と他の人たちは数年かけてすぐに、それらの運動方程式がいくつかの軌道を正確に、あるいはあまりうまく予測していないことを発見しました。^{[ 4 ]}ニュートンは、これはすべての惑星間の重力相互作用がすべての軌道に影響を及ぼしているためであると認識しました。

前述の発見は、n体問題の物理的な本質を直視しています。ニュートンが理解していたように、惑星の実際の軌道を確定するには、開始位置と速度、あるいは3つの軌道位置を与えるだけでは不十分です。重力相互作用力も考慮に入れる必要があります。こうして、 17世紀初頭にn体「問題」が認識され、浮上しました。これらの重力引力はニュートンの運動法則と万有引力の法則には合致するものの、多数の多重（n体）相互作用は歴史的に見て、正確な解を導き出すことを困難にしてきました。皮肉なことに、この合致は誤ったアプローチへとつながってしまいました。

ニュートンの時代以降、n体問題は歴史的に正しく述べられていなかった。なぜなら、重力相互作用力への言及が含まれていなかったからである。ニュートンは直接的には言及していないが、彼の著書『プリンキピア』の中で、重力相互作用力のためにn体問題は解けないと示唆している。[ ^{5 ]ニュートン}は『プリンキピア』第21段落で次のように述べている^{[ 6 ]}。

したがって、両方の天体には引力が存在します。太陽は木星と他の惑星を引きつけ、木星はその衛星を引きつけ、同様に衛星は互いに作用します。そして、一対の惑星が互いに及ぼす作用は互いに区別することができ、それぞれが他方を引きつける2つの作用と見なすことができますが、同じ2つの天体の間に作用する以上、それらは2つではなく、2つの末端間の単純な作用です。2つの天体は、その間にあるロープの収縮によって互いに引き寄せられます。作用の原因は2つ、すなわち2つの天体の配置です。作用は、2つの天体に対する作用であれば同様に2つです。しかし、2つの天体間の作用であれば、それは1つです。

ニュートンは運動の第三法則を通して、「この法則によれば、すべての物体は互いに引き合う」と結論づけました。この最後の記述は、重力相互作用の存在を示唆しており、鍵となります。

以下に示すように、この問題はJean Le Rond D'Alembertの非ニュートン第一原理と第二原理、および非線形n体問題アルゴリズムにも準拠しており、後者は相互作用する力を計算するための閉じた形式の解を可能にします。

n体問題の一般解を求める問題は、非常に重要かつ挑戦的な問題と考えられていました。実際、19世紀後半、スウェーデン国王オスカル2世は、イェスタ・ミッターク＝レフラーの助言のもと、この問題の解を発見した者に賞金を与えることになりました。その発表は非常に具体的なものでした。

ニュートンの法則に従って互いに引き合う任意の数の質点のシステムが与えられ、2 つの点が衝突することは決してないという仮定の下で、各点の座標を、既知の時間の関数であり、そのすべての値に対して級数が均一に収束する変数の級数として表現してみます。

問題が解決できなかった場合、古典力学への他の重要な貢献は賞に値するとみなされる。ポアンカレは元の問題を解決しなかったにもかかわらず、賞を授与された。（彼の貢献の最初のバージョンには重大な誤りさえ含まれていた。^{[ 7 ]}）。最終的に印刷されたバージョンには、カオス理論の発展につながる多くの重要なアイデアが含まれていた。当初提示された問題は、最終的にカール・フリティオフ・スンドマンによってn = 3の場合に解決され、 L. K. ババドザンジャンツ^{[ 8 ] [ 9 ]}と秋東王^{[ 10 ]}によってn > 3に一般化された。

一般的な定式化

n体問題とは、三次元空間の慣性系において、相互の重力の影響下で運動するn個の質点m i （i = 1, 2, ..., n）を考える問題である。各質点m iは_位置ベクトルq iを持つ_。ニュートンの_運動の第二法則によれば、質量と加速度m _iの積は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ d ² q _i/dt ²⁠は質量にかかる力の合計に等しい。ニュートンの万有引力の法則によれば、単一の質量m _jが質量m _iに及ぼす重力は^{[ 11 ]}で与えられる。 ここで、 Gは重力定数、 ‖ q _j − q _i ‖はq _iとq _jの間の距離の大きさ（ l ₂ノルムによって誘導される距離）である。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$$

すべての質量を合計すると、n体運動方程式が得られます。

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

ここでUは自己ポテンシャルエネルギー である

$${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$$

運動量をp _i = m _iと定義する⁠d q _i/dt⁠、 n体問題に対するハミルトンの運動方程式は^{[ 12 ]}となり、 ハミルトン関数は 、 Tは運動エネルギーである。$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$$ $${\displaystyle H=T+U}$$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$$

ハミルトン方程式によれば、n体問題は6 n 個の1 次微分方程式のシステムであり、6 n個の初期条件は3 n 個の初期位置座標と3 n 個の初期運動量値であることがわかります。

n体問題における対称性は、問題を単純化する運動の全体積分を生み出す。 ^{[ 13 ]} 問題の並進対称性により、質量の中心は 一定速度で動くことになり、C = L ₀ t + C ₀となる。ここで、L ₀は線速度、C ₀は初期位置である。運動定数L ₀とC ₀は、運動の 6 つの積分を表す。回転対称性により、全角運動量は一定となり、 × は外積である。全角運動量Aの 3 つの成分から、さらに 3 つの運動定数が得られる。運動の最後の一般定数は、エネルギー保存則Hによって与えられる。したがって、すべてのn体問題には 10 個の運動積分がある。 $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$$

TとUはそれぞれ2次と-1次の同次関数であるため、運動方程式はスケーリング不変性を持つ。q i ( t )が解であれば、 λ > 0の任意の_λに対してλ ^−2/3 q _i ( λt )も解となる。^{[ 14 ]}

n体系 の慣性モーメントはQ = ⁠で与えられ 、ビリアルはQ = ⁠で与えられる。$${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$$ 1/2⁠ ⁠dI/dtラグランジュ・ヤコビの公式によれば^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$$

動的平衡にあるシステムの場合、 ⟨ ⁠の長期時間平均はd ²私/dt ²⁠ ⟩はゼロです。すると平均して、総運動エネルギーは総位置エネルギーの半分となり、 ⟨ T ⟩ = ⁠1/2⁠ ⟨ U ⟩は、重力システムのビリアル定理の例である。 ^{[ 16 ]} Mが全質量で、 Rがシステムの特徴的なサイズ（例えば、システムの質量の半分を含む半径）である場合、システムが動的平衡に落ち着くための臨界時間は^{[ 17 ]である。}$${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }=\left({\frac {GM}{R^{3}}}\right)^{-1/2}.}$$

特殊なケース

二体問題

惑星間の相互作用力に関する議論は、歴史的には常に二体問題から始まってきました。この節の目的は、あらゆる惑星間の力を計算する際の真の複雑さについて説明することです。この節では、重力、重心、ケプラーの法則など、いくつかのテーマについても触れています。また、次の節（三体問題）についても、他のWikipediaのページで議論されています。ただし、ここではこれらのテーマをn体問題の観点から議論します。

二体問題（n = 2）は、1687年にアイザック・ニュートンによって幾何学的手法を用いて初めて解決されましたが、1710年にヨハン・ベルヌーイ（1667–1748）によって、主要な質点が固定されていると仮定することで古典理論によって完全な解が与えられました。^{[ 18 ]}ここで概要を説明します。^{[ 19 ]}次に、太陽と地球という2つの物体の運動を考えます。太陽は固定されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$$

質量m _2の質量m ₁に対する相対的な運動を記述する方程式は、これら2つの方程式の差から容易に得られ、共通項を消去すると次の式が得られます。 ここで $${\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$$

• r = r ₂ − r _1はm ₁に対するm ₂のベクトル位置です。
• αはオイラー加速度である⁠d ² r/dt ²⁠ ;
• η = G ( m ₁ + m ₂ )です。

方程式α + ⁠η/r ³⁠ r = 0は、ベルヌーイが1734年に解いた二体問題の基本微分方程式です。このアプローチでは、まず力を決定し、次に運動方程式を解く必要があることに注意してください。この微分方程式は、楕円型、放物型、または双曲型の解を持ちます。 ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

ニュートンの万有引力の法則を適用する際に、 m ₁（太陽）が空間に固定されていると考えるのは誤りであり、誤った結果につながります。重力相互作用する2つの孤立した物体の不動点はそれらの相互重心であり、この二体問題は、重心を基準としたヤコビ座標を用いるなどして正確に解くことができます。

クラレンス・クレミンショー博士は、太陽系の重心のおおよその位置を計算しました。これは主に木星と太陽の質量のみを組み合わせることで得られた結果です。サイエンス・プログラムは、博士の研究について次のように述べています。

太陽系の質量の98%は太陽に占められており、残りの大部分は火星より上の惑星が占めています。平均すると、太陽・木星系の質量の中心は、最も質量の大きい2つの天体だけを単独で考えた場合、太陽中心から462,000マイル、つまり太陽表面から約30,000マイル上空にあります。しかし、他の大きな惑星も太陽系の質量の中心に影響を与えます。例えば1951年には、木星が土星、天王星、海王星の反対側にあったため、系の質量の中心は太陽中心からそれほど遠くありませんでした。ロサンゼルスのグリフィス天文台のC・H・クレミンショー博士の計算によると、1950年代後半、これら4つの惑星がすべて太陽の同じ側にあったとき、系の質量の中心は太陽表面から330,000マイル以上離れていました。^{[ 23 ]}

実運動とケプラーの見かけの運動

太陽は銀河中心の周りを自転しながら揺れ、太陽系と地球を一緒に引きずっています。数学者ケプラーが3つの有名な方程式を導き出す際に行ったのは、ティコ・ブラーエのデータを用いて惑星の見かけの運動を曲線フィッティングしたのであって、太陽の周りの惑星の真の円運動を曲線フィッティングしたのではありません（図を参照）。ロバート・フックとニュートンはともに、ニュートンの万有引力の法則が楕円軌道に関連する力には当てはまらないことをよく知っていました。 ^{[ 6 ]}実際、ニュートンの万有引力の法則は水星の軌道、小惑星帯の重力の挙動、土星の環については説明していません。^{[ 24 ]}ニュートンは（『プリンキピア』第11節で）楕円軌道にかかる力を予測できなかった主な理由は、彼の数学モデルが現実世界にはほとんど存在しない状況、つまり不動の中心に引き寄せられる物体の運動に限定されていたためであると述べています。現在の物理学や天文学の教科書の中には、ニュートンの仮定の否定的な意味合いを強調せず、彼の数学モデルが事実上現実であると教えるものもある。上記の古典的な二体問題の解は数学的な理想化であると理解すべきである。ケプラーの惑星運動の第一法則も参照のこと。

三体問題

このセクションでは、単純化された仮定を行った後の、 歴史的に重要なn体問題の解決について説明します。

過去には、n ≥ 3のn体問題についてはあまり知られていなかった。^{[ 25 ]} n = 3の場合が最も研究されてきた。三体問題を理解するための初期の試みの多くは定量的なものであり、特殊な状況に対する明示的な解を見つけることを目的としていた。

• 1687 年、アイザック ニュートンは『プリンキピア』の中で、相互の重力作用を受ける 3 つの物体の運動問題の研究の第一歩を発表しましたが、彼の努力は言葉による説明と幾何学的なスケッチに終わりました。特に第 1 巻の命題 66 とその系を参照してください (ニュートン、1687 年および 1999 年 (翻訳)、またティセランド、1894 年も参照)。
• 1767年、オイラーは、任意の質量を持つ3つの物体が固定された直線に沿って比例的に移動する共線運動を発見しました。オイラーの三体問題は、2つの物体が空間的に固定されている特殊なケースです（これは、 2つの質量の大きい物体が円軌道を描き、朔望座標系のみに固定されている円制限三体問題と混同しないでください）。
• 1772年、ラグランジュは任意の質量の3物体に対して、2種類の周期解を発見した。1つは回転する直線上に物体が位置するクラス、もう1つは回転する正三角形の頂点に位置するクラスである。どちらの場合も、物体の軌道は円錐曲線となる。これらの解は、ある定数k > 0に対してq̈ = kqとなる中心配置の研究につながった。
• シャルル・ウジェーヌ・ドローネーは、地球・月・太陽系の主要な研究に着手し、1860年と1867年に、このテーマに関するそれぞれ900ページに及ぶ2巻の著書を出版した。この研究は、他の多くの成果の中でも、すでにカオスを示唆しており、摂動論におけるいわゆる「小さな分母」の問題を明確に示している。
• 1917年、フォレスト・レイ・モールトンは、今では古典となった『天体力学入門』（参考文献参照）を出版し、その中で制限三体問題の解の図を示しました（下図参照）。^{[ 26 ]}余談ですが、制限三体問題の解については、メイロヴィッチの著書の413～414ページを参照してください。^{[ 27 ]}

重力下での3つの粒子の運動。カオス的な挙動を示す。

モールトンの解法は、より質量の大きい天体 (太陽など) が宇宙で静止し、より質量の小さい天体 (木星など) がその周りを公転し、質量の小さい天体の前後にほぼ 60° 間隔を保って平衡点 (ラグランジュ点) が配置されていると考えると、視覚化がより簡単 (そして間違いなく簡単に解決できる) になる (ただし、実際にはどちらの天体も完全には静止しておらず、どちらもシステム全体の質量の中心、つまり重心の周りを公転している)。主天体の質量比が十分に小さい場合、これらの三角形の平衡点は安定しており、(ほぼ) 質量のない粒子が、より大きな主天体 (太陽) の周りを公転するとき、これらの点の周りを公転する。円形問題の 5 つの平衡点は、ラグランジュ点として知られている。下の図を参照。

制限三体問題

上記の制限三体問題数学モデルの図 (Moulton による)では、ラグランジュ点 L ₄と L _5はトロヤ群小惑星が存在した場所です(ラグランジュ点 を参照)。m 1_は太陽で、m ₂は木星です。L ₂は小惑星帯内の点です。このモデルでは、太陽-木星図全体がその重心の周りを回転していることを認識する必要があります。制限三体問題の解は、トロヤ群小惑星が最初に見られるようになる前に、それを予測していました。h円と閉じたループは、太陽と木星から発せられる電磁気流を反映しています。Richard H. Batin の予想 (参考文献を参照) に反して、2 つのh ₁は重力シンクであり、重力がゼロである と にあるため、トロヤ群小惑星がそこに閉じ込められていると考えられています。小惑星の総質量は不明です。

制限三体問題では、天体のうちの1つの質量が無視できると仮定します。無視できる天体が、より質量の小さい天体の衛星である場合の議論については、ヒル球面を参照してください。連星系については、ロッシュローブを参照してください。三体問題の具体的な解は、反復経路の明確な兆候を示さないカオス的な運動をもたらします。

制限問題（円と楕円の両方）は、多くの著名な数学者や物理学者によって広く研究され、特に19世紀末のポアンカレによって研究されました。ポアンカレによる制限三体問題に関する研究は、決定論的カオス理論の基礎となりました。制限問題には、5つの平衡点が存在します。そのうち3つは（回転座標系において）質量と共線的であり、不安定です。残りの2つは、2つの物体がそれぞれ第1頂点と第2頂点である正三角形の両方の第3頂点上にあります。

四体問題

円形制限三体問題にヒントを得て、小さな天体は他の三つの質量の大きい天体に比べて質量が小さいとみなすことで、四体問題を大幅に簡略化できます。これらの天体は、今度は円軌道を記述するように近似されます。これは、双円制限四体問題（双円モデルとも呼ばれる）として知られており、1960年にスー・シュー・ホアンによって書かれたNASAレポートにまで遡ることができます。^{[ 28 ]}この定式化は、主に太陽の重力を加えた地球-月系での宇宙船の軌道をモデル化するために、天体力学で非常に関連しています。双円制限四体問題の以前の定式化は、地球-月-太陽以外のシステムをモデル化するときに問題になる可能性があるため、ネグリとプラド^{[ 29 ]}によって定式化され、適用範囲が拡大され、単純さを失うことなく精度が向上しました。

惑星の問題

惑星問題は、質量の 1 つが他のすべてよりもはるかに大きい場合のn体問題です。惑星問題の典型的な例は、太陽 -木星-土星系で、太陽の質量が木星や土星の質量の約 1000 倍である。^{[ 14 ]}この問題のおおよその解決方法は、惑星間の相互作用を摂動として扱い、n − 1組の恒星 - 惑星ケプラー問題に分解することです。摂動近似は、システム内に軌道共鳴がない限り、つまり摂動を受けていないケプラー周波数の比がどれも有理数でない限り、うまく機能します。共鳴は展開図の小さな分母として現れます。

共鳴と小さな分母の存在は、惑星問題における安定性という重要な問題につながった。恒星の周りをほぼ円軌道で回る惑星は、時間の経過とともに安定した軌道、あるいは制限された軌道を維持するのだろうか？^{[ 14 ] [ 30 ]} 1963年、ウラジミール・アーノルドはKAM理論を用いて、惑星問題のある種の安定性を証明した。平面に限定された惑星問題の場合、準周期軌道の正の測度が存在するということである。 ^{[ 30 ]} KAM理論では、カオス的な惑星軌道は準周期KAMトーラスによって制限される。アーノルドの結果は、2004年にフェジョスとヘルマンによってより一般的な定理に拡張された。^{[ 31 ]}

中央構成

中心配置 q 1 ₍ 0), …, q _N (0)は、すべての粒子が速度ゼロで放出された場合に、すべてが質量中心Cに向かって崩壊するような初期配置である。^{[ 30 ]}このような動きはホモセティックと呼ばれる。中心配置は、すべての質量がケプラーの軌道（楕円、円、放物線、または双曲）に沿って動き、すべての軌道が同じ離心率eを持つというホモグラフィックな動きも生み出す可能性がある。楕円軌道の場合、e = 1 はホモセティックな動きに対応し、e = 0は、構成が剛体であるかのように、構成が初期構成の等長移動を維持する相対的な平衡運動を与える。 ^{[ 32 ]}中心配置は、システムの最初の積分を固定することによって作成された 不変多様体の位相を理解する上で重要な役割を果たしてきた。

n体振り付け

すべての質量が衝突することなく同一曲線上を移動する解は振り付けと呼ばれる。^{[ 33 ]} n = 3の振り付けは1772年にラグランジュによって発見され、回転座標系において正三角形の頂点に3つの物体が位置する。n = 3の8の字の振り付けは1993年にC.ムーアによって数値的に発見され^{[ 34 ]}、2000年にA.チェンシナーとR.モンゴメリーによって一般化され証明された。^{[ 35 ]}それ以来、 n ≥ 3の多くの振り付けが発見されている。

分析アプローチ

問題のあらゆる解決において、等長変換や時間シフトを適用するだけでなく、時間の逆転（摩擦の場合とは異なり）を適用することでも解決が得られます。

n体問題（n ≥ 3 ）に関する物理学の文献では、「 n体問題を（上記のアプローチを用いて）解くことは不可能」と言及されることがあります。しかし、解の「不可能性」について議論する際には注意が必要です。これは第一積分の方法のみを指しているからです（アーベルとガロアの定理と比較してください。アーベルとガロアの定理は、根のみを含む公式を用いて 5次以上の代数方程式を解くことは不可能であるというものです）。

べき級数解

古典的なn体問題を解く方法の 1 つは、「テイラー級数によるn体問題」です。

まず微分方程式系を定義することから始めます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$$

x _i ( t ₀ )および⁠​d x _i ( t ₀ )/dt⁠が初期条件として与えられ、 ⁠ごとにd ² x _i ( t )/dt ²⁠は知られています。差別化⁠d ² x _i ( t )/dt ²⁠結果は⁠d ³ x _i ( t )/dt ³⁠ t ₀ではこれも既知であり、テイラー級数は反復的に構築されます。

一般化されたサンドマン大域解

Sundmanの結果をn > 3（またはn = 3かつc = 0 ）の場合に一般化するには、2つの障害に直面する必要があります。

1. シーゲルによって示されたように、2 つ以上の物体が関与する衝突は解析的に正規化することができないため、サンドマンの正規化は一般化できません。
2. この場合、特異点の構造はより複雑になり、他のタイプの特異点が発生する可能性があります (以下を参照)。

最後に、Sundmanの結果は、 1990年代にQiudong Wangによってn > 3体の場合に一般化されました^{[ 36 ]} 。特異点の構造はより複雑であるため、Wangは特異点の問題を完全に除外しなければなりませんでした。彼のアプローチの中心点は、方程式を適切な方法で新しい系に変換し、この新しい系の解の存在区間が[0,∞)となるようにすることです。

n体問題の特異点

n体問題には 2 種類の特異点があります。

• 2つ以上の物体の衝突ですが、q ( t ) (物体の位置) は有限のままです。(この数学的な意味での「衝突」とは、2つの点状の物体が空間内で同一の位置にあることを意味します。)
• 衝突は発生しないが、q ( t )が有限ではない特異点。このシナリオでは、物体は有限時間内に無限遠に発散するが、同時に距離ゼロに近づく（仮想的な衝突は「無限遠で」発生する）。

後者はパンルヴェ予想（衝突なし特異点）と呼ばれています。パンルヴェはn > 3の場合にその存在を予想しました（パンルヴェ予想を参照）。n = 5の場合のこの挙動の例はXia ^{[ 37 ]}によって構築され、 n = 4の場合はGerverによってヒューリスティックモデルが構築されました^{[ 38 ]} 。Donald G. Saariは、4体以下の物体の場合、特異点を生じる初期データセットの測度が0であることを示しました^{[ 39 ] 。}

シミュレーション

古典的な（つまり非相対論的な）二体問題やn > 2の選択された構成に対しては解析的な解が存在するが、一般にn体問題は数値的手法を用いて解くかシミュレートする必要がある。^{[ 17 ]}

遺体が少ない

少数の物体の場合、n体問題は直接法（粒子間法とも呼ばれる）を使って解くことができます。これらの方法は、運動の微分方程式を数値的に積分します。この問題の数値積分は、いくつかの理由から難しい場合があります。まず、重力ポテンシャルは特異であり、2 つの粒子間の距離が 0 に近づくにつれて無限大になります。重力ポテンシャルを「緩和」して、短距離での特異性を解消することができます。^{[ 17 ]} 次に、一般にn > 2の場合、n体問題はカオス的であり、^{[ 40 ]}つまり、積分における小さな誤差でも時間の経過とともに指数関数的に大きくなる可能性があります。3 番目に、シミュレーションはモデル時間の長い期間（数百万年など）にわたって実行される場合があり、積分時間が長くなるにつれて数値誤差が蓄積されます。 $${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}}$$

数値積分における誤差を低減する手法は数多く存在する。^{[ 17 ]}局所座標系は、太陽系シミュレーションにおける地球-月座標系など、いくつかの問題において、大きく異なるスケールを扱うために用いられる。変分法と摂動論は、近似的な解析的軌道を与えることができ、数値積分はそれに基づいて補正することができる。シンプレクティック積分器を用いることで、シミュレーションがハミルトン方程式に高精度に従うことが保証され、特にエネルギーが保存されることが保証される。

多くの遺体

数値積分を用いた直接法では、⁠1/2⁠全ての粒子対のポテンシャルエネルギーを評価するにはn^ ^2回の計算が必要であり、したがって計算時間はO ( n^ ² )と。多数の粒子を用いたシミュレーションでは、 O ( n^ ² )という係数によって大規模な計算は特に時間がかかる。 ^{[ 17 ]}

直接法に比べて時間の複雑さを軽減する近似法がいくつか開発されている。^{[ 17 ]}

• Barnes-Hutシミュレーションなどのツリーコード法は、遠方の粒子の寄与を高精度に計算する必要がない場合に用いられる空間階層的な手法です。遠方の粒子群のポテンシャルは、多重極展開またはその他のポテンシャル近似を用いて計算されます。これにより、計算量をO ( n log n )まで削減できます。
• 高速多重極法は、遠方粒子からの多重極展開された力が互いに近い粒子間では類似しているという事実を利用し、遠方場力の局所展開を用いて計算量を削減する。この更なる近似により、計算量はO ( n )にまで低減されると主張されている。 ^{[ 17 ]}
• 粒子メッシュ法は、シミュレーション空間を3次元グリッドに分割し、粒子の質量密度を補間します。次に、ポテンシャルの計算は、グリッド上でポアソン方程式を解くこととなります。この計算は、高速フーリエ変換を用いるとO(nlogn )時間、マルチグリッド法を用いるとO ( n )時間で実行できます。この手法は、短距離力に対する誤差が大きくなるという欠点はあるものの、高速な解を得ることができます。粒子数の多い領域では、適応メッシュ細分化を用いることで精度を向上させることができます。
• P ³ M法とPM-tree法は、遠方の粒子には粒子メッシュ近似を用い、近距離の粒子（数グリッド間隔以内）にはより高精度な手法を用いるハイブリッド法です。P ^{3 M法は}粒子-粒子、粒子-メッシュの略で、近距離ではソフトポテンシャルを用いた直接法を用います。PM-tree法では、近距離ではツリーコードを用います。粒子メッシュ法と同様に、アダプティブメッシュは計算効率を向上させることができます。
• 平均場法は、質量密度を表す時間依存ボルツマン方程式と、ポテンシャルを表す自己無撞着なポアソン方程式を結合させることで粒子系を近似する。これは、大規模系に適した平滑化粒子流体力学近似の一種である。

強い重力

ブラックホールの事象の地平線付近のような強い重力場を持つ天体物理学的システムでは、n体シミュレーションにおいて一般相対論を考慮する必要がある。このようなシミュレーションは数値相対論の領域である。アインシュタイン場の方程式を数値的にシミュレートすることは極めて困難であり^{[ 17 ]}、可能であればアインシュタイン・インフェルト・ホフマン方程式などのパラメータ化されたポストニュートン形式（PPN）が用いられる。一般相対論における二体問題は、一方の質量が他方の質量よりもはるかに大きいと仮定されるケプラー問題においてのみ解析的に解ける。^{[ 41 ]}

その他のn体問題

n体問題に関する研究のほとんどは重力問題に関するものでした。しかし、n体数学とシミュレーション技術が有用であることが証明されている他の系も存在します。

構造生物学におけるタンパク質や細胞集合体のシミュレーションのような大規模な静電気問題では、クーロンポテンシャルは重力ポテンシャルと同じ形をとりますが、電荷が正または負の値をとるため、引力だけでなく斥力も生じます。^{[ 42 ]}高速クーロンソルバーは、高速多重極法シミュレータの静電的対応物です。これらは、シミュレーション領域に周期境界条件を課して使用されることが多く、エワルド和法を用いて計算を高速化します。^{[ 43 ]}

統計学と機械学習では、いくつかのモデルは重力ポテンシャルの損失関数に似た形式、すなわちすべての物体のペアにわたるカーネル関数の合計であり、カーネル関数はパラメータ空間における物体間の距離に依存する。 ^{[ 44 ]}この形式に当てはまる問題の例としては、多様体学習における全近傍法、カーネル密度推定、カーネルマシンなどがある。O(n2)の時間計算量をO(n)に削減する代替最適化手法、例えば^双対木アルゴリズムなどが開発されており、重力n体問題にも適用可能である。

渦法と呼ばれる計算流体力学の手法では、流体領域の渦度を粒子上に離散化し、粒子中心の速度で移流させる。流体の速度と渦度はポアソン方程式で関係付けられるため、速度は重力や静電気と同じ方法、つまり渦度を含むすべての粒子のn体和として解くことができる。この和にはビオ・サバールの法則を使用し、渦度が電流の代わりとなる。^{[ 45 ]}粒子を含んだ乱流多相流のコンテキストでは、すべての粒子によって生成される全体的な擾乱場を決定することはn体問題である。流れの中で移動する粒子が流れのコルモゴロフスケールよりもはるかに小さい場合、それらの線形ストークス擾乱場を重ね合わせることができ、n個の粒子の位置での擾乱速度の3つの成分に対する3n方程式のシステムを生成する。^{[ 46 ] [ 47 ]}

参照

• 天体力学
• 重力二体問題
• ヤコビ積分
• 月理論
• 自然単位
• 太陽系の数値モデル
• 太陽系の安定性
• 少数体系
• N 体シミュレーションは、N 体システム内の物体の軌道を数値的に求める手法です。

注記

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4. ルドルフ・クルトは著書（参考文献参照）の中で、惑星の摂動について広範囲に論じています。余談ですが、これらの数学的に定義されていない惑星の摂動（ふらつき）は、今日でも定義されていないまま存在しており、惑星の軌道は通常毎年更新する必要があります。英国とアメリカ合衆国の航海暦事務局が共同で作成している天文暦およびアメリカ航海暦・航海暦を参照してください。
5. 『プリンキピア』第3巻『世界体系』372ページの最終段落を参照。ニュートンは自身の数学モデルが物理的現実を反映していないことを重々承知していた。ここで参照している版は『西洋世界の偉大な書』第34巻からのもので、アンドリュー・モットが翻訳し、フロリアン・カジョリが改訂した。この同じ段落はスティーヴン・ホーキング著『巨人の肩の上で』2002年版の1160ページに掲載されており、ダニエル・アディーの1848年版からの複写である。コーエンはまた、新版『ニュートンのプリンキピア入門』（1970年）と『アイザック・ニュートンのプリンキピア、異本付き』（1972年）を翻訳している。カジョリはまた『科学史』も執筆しており、オンラインで閲覧できる。
6. I. バーナード・コーエンのScientific American の記事を参照。
7. ポアンカレの最初の提出における重大な誤りの詳細については、ディアクの記事を参照してください。
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20. 古典的なアプローチでは、2つの物体の共通質量中心（すなわち重心）が静止しているとみなされる場合、各物体は系の重心に焦点を持つ円錐曲線に沿って運動します。双曲線の場合は、その焦点の側に分岐があります。2つの円錐曲線は同一平面上にあります。円錐曲線の種類（円、楕円、放物線、双曲線）は、2つの物体の運動エネルギーと、物体が離れているときの位置エネルギーの合計を求めることで決定されます。（この位置エネルギーは常に負の値です。物体の軸周りの回転エネルギーはここでは考慮されません。）
    • エネルギーの合計が負の場合、両方とも楕円を描きます。
    • 両方のエネルギーの合計がゼロの場合、両者は放物線を描きます。物体間の距離が無限大に近づくにつれて、相対速度はゼロに近づきます。
    • 両方のエネルギーの合計が正の場合、両者は双曲線を描きます。物体間の距離が無限大に近づくにつれて、相対速度はある正の数に近づきます。
21. このアプローチについては、リンゼイ著『物理力学』第3章「平面内の曲線運動」、特に3～9段落「惑星の運動」（83～96ページ）を参照。リンゼイのプレゼンテーションは、太陽が固定されていると仮定した場合の固定二体問題におけるこれらのコメントを非常によく説明している。
22. 注：放物線軌道のエネルギーがゼロであるという事実は、物体が無限に離れると重力による位置エネルギーがゼロになるという仮定から生じます。無限に離れた状態における位置エネルギーには任意の値を割り当てることができます。慣例により、その状態は位置エネルギーがゼロであると仮定されます。
23. サイエンスプログラムの 『宇宙の性質』によると、クラレンス・クレミンショー（1902-1985）は1938年から1958年までグリフィス天文台の副所長を務め、1958年から1969年まで所長を務めた。クレミンショーの著書には次のようなものがある。
    • クレミンショー、C. H.：「天体の速度」、1953 年 4 月、方程式、ケプラー、軌道、彗星、土星、火星、速度。
    • クレミンショー、C. H.：「木星と土星の接近する合」、1960 年 7 月、土星、木星、観察、合。
    • クレミンショー、C. H.:「太陽系のスケール」、1959 年 7 月、太陽系、スケール、木星、太陽、大きさ、光。
24. Brush, Stephen G. 編 (1983). Maxwell on Saturn's Rings . MIT Press. Bibcode : 1983mosr.book.....B .
25. LeimanisとMinorskyの歴史的コメントを参照。
26. 解析的およびグラフィカルな解法については、モールトンの制限三体問題を参照してください。
27. メイロヴィッチの著書、第 11 章「天体力学の問題」、第 12 章「宇宙船の力学の問題」、および付録 A「二項関係」を参照。
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外部リンク

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• 三体問題に関するより詳しい情報
• 古典的な多体系における規則的なケプラー運動
• 制限三体問題におけるカオスを示すアプレット 2009年10月17日アーカイブWayback Machine
• さまざまな3体運動を示すアプレット
• n体方程式の積分について 2016年10月30日アーカイブ- Wayback Machine
• 太陽系をシミュレートするJavaアプレット
• 等質量3体問題の安定解をシミュレートするJavaアプレット
• 重力相互作用下での粒子集合の3D運動をシミュレートするJavaアプレット
• 太陽系のJavaScriptシミュレーション
• ラグランジュ点- オイラーとラグランジュの原著論文へのリンクと翻訳、そして議論
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• 高速スタックレス粒子ツリートラバーサルを備えた並列 GPU N 体シミュレーションプログラム