KMS状態

ワルシャワ大学の新技術センター前の記念碑に描かれた久保・マーティン・シュウィンガー条件

量子力学システムの統計力学と量子場の理論では、熱平衡状態にあるシステムの特性は、KMS 条件を満たす状態であるKubo–Martin–Schwinger ( KMS )状態と呼ばれる数学的対象によって記述できます。

久保良五は1957年にこの条件を導入し、^[1]ポール・C・マーティン [de]とジュリアン・シュウィンガーは1959年にこの条件を使って熱力学的 グリーン関数 を定義し、^[2]ルドルフ・ハーグ、マリヌス・ウィンニンク、ニコ・フーゲンホルツは1967年にこの条件を使って平衡状態を定義し、それをKMS条件と呼んだ。^[3]

概要

最も単純なケースは有限次元ヒルベルト空間であり、相転移や自発的対称性の破れといった複雑な現象は発生しない。熱状態の密度行列は次のように与えられる 。

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}}$

ここでHはハミルトニアン 演算子、Nは粒子数演算子（より一般的に言え ば電荷演算子）であり、

${\displaystyle Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}$

は分配関数です。NはHと可換、つまり粒子数が保存されると仮定します。

ハイゼンベルク描像では、密度行列は時間とともに変化しないが、演算子は時間に依存する。特に、演算子Aをτだけ未来へ平行移動させると、演算子

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{iH\tau }A\mathrm {e} ^{-iH\tau }}$ 。

時間移動と内部対称性の「回転」を組み合わせると、より一般的な

${\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{i\left(H-\mu N\right)\tau }A\mathrm {e} ^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}$

少し代数的に計算してみると、期待値は

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }}$

任意の2つの作用素AとB、そして任意の実数τに対して（結局のところ有限次元ヒルベルト空間を扱っている）。密度行列は任意の関数（H − μ N）と可換であり、トレースは巡回的であるという事実を利用した。

前に示唆したように、無限次元ヒルベルト空間では、相転移、自発的対称性の破れ、トレースクラスではない演算子、発散するパーティション関数など の多くの問題に遭遇します。

zの複素関数は複素ストリップ内で収束するが、 H − μ Nのスペクトルが下から有界であり、その密度が指数関数的に増加しない（ハーゲドン温度を参照）といった特定の技術的仮定を置いた場合、 は複素ストリップ内で収束する。もし関数が収束するならば、それらは定義されているストリップ内で、その導関数として 解析的である必要がある。${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$ ${\displaystyle -\beta <\Im {z}<0}$ ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$ ${\displaystyle 0<\Im {z}<\beta }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle }$

そして

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle }$

存在する。

しかし、KMS状態は、以下の条件を満たす状態であると 定義することができます。

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

および は、その定義域ストリップ内では zの解析関数です。${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle }$ およびは、問題となっている解析関数の 境界分布値です。${\displaystyle \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

これにより、大きな体積と大きな粒子数における適切な熱力学的極限が得られる。相転移または自発的対称性の破れがある場合、KMS状態は一意ではない。

KMS 状態の密度行列は、富田-竹崎理論を介して、時間変換 (または時間変換と非ゼロ化学ポテンシャルの内部対称変換)を含むユニタリー変換に関連しています。

参照

• ギブス州

参考文献

1. 久保 良治(1957)、「不可逆過程の統計力学的理論 I. 一般理論と磁気・伝導問題への簡単な応用」、日本物理学会誌、12 (6): 570– 586、Bibcode :1957JPSJ...12..570K、doi :10.1143/JPSJ.12.570
2. Martin, Paul C.; Schwinger, Julian (1959)、「多粒子系理論 I」、Physical Review、115 (6): 1342– 1373、Bibcode :1959PhRv..115.1342M、doi :10.1103/PhysRev.115.1342
3. ハーグ, ルドルフ; ウィンニンク, M.;フーゲンホルツ, NM (1967)、「量子統計力学における平衡状態について」、Communications in Mathematical Physics、5 (3): 215– 236、Bibcode :1967CMaPh...5..215H、CiteSeerX 10.1.1.460.6413、doi :10.1007/BF01646342、ISSN  0010-3616、MR  0219283、S2CID  120899390