時間加重収益率

時間加重収益率（TWR ^{[1] [2]}、TWRR、TWOR、またはTTWROR（真の時間加重収益率））は、投資収益率を計算する方法の一つで、複数の期間にわたる収益を複利計算し、各期間をその期間の長さに応じて加重する。時間加重法は、外部フローを補正する方法が他の投資収益率計算方法と異なる。

外部フロー

時間加重収益率は、投資ポートフォリオの過去のパフォーマンスを測る指標であり、外部フローを補正します。外部フローとは、現金、証券、その他の金融商品の移動に起因する、ポートフォリオへの入出金の純移動を指します。これらのフローは、売買で発生するものとは異なり、同時発生し、同額で、かつ反対の価値の取引がないという特徴があります。さらに、これらはポートフォリオの投資によって生み出される利子、クーポン、配当などの収益から発生するものではありません。

外部フローを補正するため、分析対象となる期間全体は、外部フローが発生するたびに、期間内の各時点において連続するサブ期間に分割されます。通常、これらのサブ期間の長さは不等になります。外部フロー間のサブ期間におけるリターンは、すべてのサブ期間における成長係数を掛け合わせることで、幾何学的に（複利的に）連結されます。各サブ期間における成長係数は、そのサブ期間のリターンに1を加えた値になります。

外部フローの問題

外部フローの問題を説明するために、次の例を考えてみましょう。

例1

ある投資家が1年目の初めにポートフォリオに500ドル、2年目の初めにさらに1,000ドルを移管し、2年目の終わりにポートフォリオの合計価値が1,500ドルになったとします。2年間の純利益はゼロなので、直感的には2年間全体のリターンは0%になると予想されます（これは、金銭加重法の1つを適用した結果です）。2年目の初めの1,000ドルのキャッシュフローを無視すると、キャッシュフローを補正せずにリターンを計算する単純な方法は200%（1,000ドル÷500ドル）になります。直感的に言えば、200%という数字は誤りです。

しかし、さらに情報を加えると、異なる図が見えてきます。最初の投資が1年目に100%上昇したが、ポートフォリオが2年目に25%下落した場合、2年間の総合リターンは、100%の利益（500ドル）と25%の損失（500ドル）を複利で加算した結果になるはずです。時間加重リターンは、各年の成長率、つまりポートフォリオへの2回目の移管前と移管後の成長率を掛け合わせ、1を引いた結果をパーセンテージで表すことで求められます。

${\displaystyle (1+1.0)(1-0.25)-1=2.0\times 0.75-1=1.5-1=0.5=50\%}$ 。

時間加重収益率から、2 年間に純利益がなかったのは、2 年目の初めのキャッシュ流入のタイミングが悪かったためであることがわかります。

この例では、時間加重リターンは投資家にとって純利益がないため、リターンを過大評価しているように見えます。しかし、各年のパフォーマンスを均等化して複利計算することで、時間加重リターンは、2年目初めのキャッシュフローのタイミングの悪さとは関係なく、投資活動のパフォーマンスを認識します。もしすべての資金を1年目初めに投資していたとしたら、どの指標で見てもリターンは50%になっていた可能性が高いでしょう。1,500ドルは1年目末に100%増加して3,000ドルになり、その後2年目末には25%減少して2,250ドルとなり、結果として合計750ドル、つまり1,500ドルの50%の利益となります。この差は見方の問題です。

フロー調整

フローがない場合のポートフォリオのリターンは次のようになります。

${\displaystyle R={\frac {M_{2}-M_{1}}{M_{1}}}}$

ここで、 はポートフォリオの最終値、はポートフォリオの初期値、は期間中のポートフォリオの収益です。 ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle R}$

成長要因は次のとおりです。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}}}}$

分析対象期間中の外部フローは、パフォーマンス計算を複雑化させます。外部フローを考慮しない場合、パフォーマンス測定は歪んでしまいます。ポートフォリオへの流入は真のパフォーマンスを過大評価し、ポートフォリオからの流出は真のパフォーマンスを過小評価することになります。

期首のポートフォリオへの外部資金流入を補うため、ポートフォリオの初期値に を加算して調整します。リターンは次のようになります。 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle R={\frac {M_{2}-(M_{1}+C_{1})}{M_{1}+C_{1}}}}$

対応する成長係数は次のようになります。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}}$

期末の評価直前にポートフォリオに流入した資金を補うため、ポートフォリオの最終価値から を差し引いて調整します。リターンは次のようになります。 ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle R={\frac {(M_{2}-C_{2})-M_{1}}{M_{1}}}}$

対応する成長係数は次のようになります。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}}$

外部フローを補償する時間加重収益率

ポートフォリオは各外部フローの直後に評価されると仮定します。各サブ期間末のポートフォリオの価値は、直前に発生した外部フローに応じて調整されます。ポートフォリオへの外部フローは正、ポートフォリオからのフローは負とみなされます。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{1}-C_{1}}{M_{0}}}\times {\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}\times {\frac {M_{3}-C_{3}}{M_{2}}}\times \cdots \times {\frac {M_{n-1}-C_{n-1}}{M_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}-C_{n}}{M_{n-1}}}}$

どこ

${\displaystyle R}$ ポートフォリオの時間加重収益率である。

${\displaystyle M_{0}}$ ポートフォリオの初期価値、

${\displaystyle M_{t}}$ は、外部フローの直後のサブ期間末のポートフォリオ価値である。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$

${\displaystyle M_{n}}$ 最終的なポートフォリオの価値は

${\displaystyle C_{t}}$ は、サブ期間の終了直前に発生するポートフォリオへの純外部流入である。${\displaystyle t}$

そして

${\displaystyle n}$ サブ期間の数です。

全体期間の終了時に外部フローが発生している場合、サブ期間の数はフローの数と一致します。ただし、全体期間の終了時にフローが発生していない場合は、はゼロとなり、サブ期間の数はフローの数より1つ多くなります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n}$

ポートフォリオが各フローの直後ではなく直前に評価される場合、各フローは終了値ではなく各サブ期間内の開始値を調整するために使用する必要があり、その結果、異なる式が得られます。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{1}}{M_{0}+C_{0}}}\times {\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}\times {\frac {M_{3}}{M_{2}+C_{2}}}\times ...\times {\frac {M_{n-1}}{M_{n-2}+C_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}}{M_{n-1}+C_{n-1}}}}$

どこ

${\displaystyle R}$ ポートフォリオの時間加重収益率である。

${\displaystyle M_{0}}$ ポートフォリオの初期価値、

${\displaystyle M_{t}}$ は、外部フローの直前のサブ期間末のポートフォリオ価値である。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$

${\displaystyle M_{n}}$ 最終的なポートフォリオの価値は

${\displaystyle C_{t}}$ は、サブ期間の開始時に発生するポートフォリオへの純外部フローである。${\displaystyle {t+1}}$

そして

${\displaystyle n}$ サブ期間の数です。

説明

なぜ「時間加重」と呼ばれるのか

時間加重という用語は、連続（対数）収益率で最もよく説明されます。全体的な収益率は、各サブ期間における連続収益率の時間加重平均です。

流れがない場合、

${\displaystyle {\text{End value}}={\text{start value}}\times e^{r_{\mathrm {log} }t}}$

ここで、 は継続的な収益率であり、は時間の長さです。 ${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$ ${\displaystyle t}$

例2

10 年間にわたって、ポートフォリオは 3 年間は年率 5% の継続的な収益率で成長し、残りの 7 年間は年率 10% の継続的な収益率で成長します。

${\displaystyle {\text{End value}}={\text{start value}}\times e^{0.05\times 3}\times e^{0.10\times 7}}$

${\displaystyle ={\text{start value}}\times e^{\left(0.05\times {\frac {3}{10}}+0.10\times {\frac {7}{10}}\right)\times 10}}$

10 年間の継続的な時間加重収益率は、時間加重平均です。

${\displaystyle 5\%\times {\frac {3}{10}}+10\%\times {\frac {7}{10}}={\frac {5\%\times 3+10\%\times 7}{10}}=8.5\%}$

通常時間加重収益率

例3

5年間のうち2年間は年率10%、残りの3年間は年率-3%のリターンを得る投資の、5年間の年率換算通常収益率を計算する別の例を考えてみましょう。5年間の時間加重通常収益率は以下のようになります。

${\displaystyle (1+0.10)(1+0.10)(1-0.03)(1-0.03)(1-0.03)-1}$

${\displaystyle =1.1^{2}\times 0.97^{3}-1}$

${\displaystyle =0.104334\ldots }$

${\displaystyle =10.4334\ldots \%}$

年率換算後の収益率は次のようになります。

${\displaystyle (1.1^{2}\times 0.97^{3})^{1/(2+3)}-1}$

${\displaystyle =1.0200\ldots -1}$

${\displaystyle =2.00\ldots \%{\text{ p.a.}}}$

収益率が 10% であった期間は 2 年であり、これは 1.1 の係数の 2 乗で表されます。

${\displaystyle 1.1^{2}}$

同様に、収益率は3年間で-3%となり、これは0.97の係数の3乗に現れます。この結果を5年間全体で年率換算すると、以下のようになります。

ポートフォリオパフォーマンス測定

投資マネージャーは、自らがコントロールできる投資活動に基づいて評価されます。資金流入のタイミングをコントロールできない場合、資金流入のタイミングを補正し、ポートフォリオに真の時間加重収益率法を適用することは、ポートフォリオ全体における投資マネージャーのパフォーマンスを測るより優れた指標となります。

ポートフォリオ内の要素の内部フローとパフォーマンス

内部フローとは、ポートフォリオ内の保有銘柄の売買などの取引を指します。これらの取引では、購入に使用された現金と売却による現金収入が同じポートフォリオ内に含まれるため、外部フローは発生しません。ポートフォリオ内の株式の配当金は、当該株式と同じポートフォリオに留保されるため、ポートフォリオ内の株式から現金口座へのフローとなります。これはポートフォリオにとっては内部フローですが、株式と現金口座を個別に、互いに切り離して考えると、両方にとって外部フローとなります。

時間加重法は、内部フローの規模とタイミングに起因する影響（つまり、ポートフォリオ全体のパフォーマンスに影響を与える範囲）のみを総合的に捉えます。これは、時間加重法がフローの影響を相殺するのと同じ理由によるものです。したがって、時間加重法は、ポートフォリオ全体のパフォーマンスを捉えるほど効果的には、ポートフォリオの一部のパフォーマンス、例えば個々の銘柄レベルの意思決定に起因するパフォーマンスを捉えることができません。

特定の証券の時間加重リターンは、当初の購入から最終的な売却まで、中間売買の有無、その時期、規模、および市場状況に関わらず、同じです。それは常に株価の動向（配当などを含む）と一致します。時間加重リターンのこの特徴が望ましい目的でない限り、時間加重法は、個々の金融商品レベルでの投資パフォーマンスの帰属に関する他の方法論よりも有益性が低いと言えます。個々の証券レベルでのパフォーマンスの帰属が意味を持つためには、多くの場合、リターンが株価のリターンと異なることが不可欠です。個々の証券のリターンが株価のリターンと一致する場合、取引タイミングの影響はゼロになります。

時間加重法のこの機能を説明する以下の例 4 を参照してください。

例4

ある投資家が1株10ドルで株式を10株購入したとします。その後、同じ会社の株式を市場価格1株12ドル（取引コストは考慮しない）でさらに5株追加購入します。そして、保有していた15株すべてを1株11ドルで売却します。

2回目の購入は、1回目と比べてタイミングが悪かったように思われます。ポートフォリオの現金残高とは別に、株式の時間加重（保有期間）リターンから見て、このタイミングの悪さは明らかでしょうか？

これらの特定の株式保有期間の加重リターンを、株式購入に使用した現金とは切り離して計算するには、株式購入を外部流入として扱います。すると、最初の10株のみが存在する場合の、2回目の購入前の第1サブ期間の成長係数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {10\times 12}{10\times 10}}={\frac {120}{100}}=1.2}$

2 回目の購入後の 2 番目のサブ期間の成長率は、合計 15 株の場合、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {15\times 11}{15\times 12}}={\frac {165}{180}}=0.91666\ldots }$

したがって、全体の期間成長係数は次のようになります。

${\displaystyle {\text{Product of sub-period growth factors}}={\text{first sub-period growth factor}}\times {\text{second sub-period growth factor}}}$

${\displaystyle ={\frac {120}{100}}\times {\frac {165}{180}}}$

${\displaystyle ={\frac {120\times 165}{100\times 180}}}$

${\displaystyle ={\frac {19,800}{18,000}}}$

${\displaystyle =1.1}$

時間加重保有期間リターンは次のようになります。

${\displaystyle {\text{Growth factor}}-1=0.1=10\%}$

これは株価の変化を使用して計算された単純なリターンと同じです。

${\displaystyle ={\frac {{\text{End value}}-{\text{start value}}}{\text{start value}}}={\frac {11-10}{10}}}$

2 回目の購入のタイミングが悪かったとしても、時間加重法を使用して計算した株式投資のパフォーマンスには影響はなく、たとえば、純粋な買い持ち戦略 (つまり、最初にすべての株式を購入し、期間の終わりまで保有する) と比較した場合のパフォーマンスには影響がありません。

他の返品方法との比較

投資収益を計算する際に、外部フローを補正する他の方法も存在します。こうした方法は「金額加重」または「ドル加重」と呼ばれます。外部フローのタイミングが悪い場合、時間加重リターンは他の投資収益計算方法よりも高くなります（上記の例4を参照）。

内部収益率

これらの方法の一つが内部収益率です。真の時間加重収益率法と同様に、内部収益率も複利の原理に基づいています。すべての外部フローの正味現在価値と最終価値を初期投資額と等しくするのは割引率です。しかし、内部収益率の推定値を求める方程式を解くには、通常、反復的な数値計算が必要であり、複数の結果が返される場合もあります。

内部収益率は、プライベート エクイティ投資のパフォーマンスを測定するためによく使用されます。これは、リミテッド パートナー (最終投資家) よりもプリンシパル パートナー (投資マネージャー) の方がキャッシュフローのタイミングをより細かく制御できるためです。

シンプルなディーツ法

シンプル・ディーツ法^[3]は、内部収益率法の複利原理とは対照的に、単純な利子率原理を適用し、さらに、フローが期間の中間点で発生する（あるいは、期間全体にわたって均等に分配される）と仮定する。しかし、このような仮定が成立しない場合にはシンプル・ディーツ法は不適切であり、そのような場合には他の手法とは異なる結果をもたらす。

ポートフォリオを構成する2つ以上の異なる資産の同一期間における単純ディーツ・リターンを加重平均することで、単純ディーツ・ポートフォリオ・リターンを算出できます。加重は、開始値に純流入額の半分を加えた値です。

例5

上記の例4で購入した株式にシンプルディーツ法を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\text{Simple Dietz return}}={\frac {\text{gain or loss}}{{\text{start value}}+{\frac {1}{2}}\times {\text{net inflow}}}}}$

${\displaystyle {\text{Gain or loss}}={\text{end value}}-{\text{start value}}-{\text{net inflow}}}$

${\displaystyle =165-100-60}$

${\displaystyle =5}$

それで

${\displaystyle {\text{Simple Dietz return}}={\frac {5}{100+{\frac {1}{2}}\times 60}}}$

${\displaystyle ={\frac {5}{130}}}$

${\displaystyle =3.86\%{\text{ (2 d. p.)}}}$

これは 10% の時間加重収益率よりも著しく低いです。

修正ディーツ法

修正ディーツ法は、単純ディーツ法と同様に、単純な利子率の原則を適用する別の方法です。ポートフォリオの初期価値と価値の増加（フローを差し引いたもの）を比較するのではなく、一定期間における価値の増加（フローを差し引いたもの）を平均資本と比較します。平均資本は、各外部フローのタイミングを考慮します。修正ディーツ法と内部収益率法の違いは、修正ディーツ法が単純な利子率の原則に基づくのに対し、内部収益率法は複利の原則を適用する点です。そのため、収益率が低い場合、短期的には両法は同様の結果をもたらします。より長い期間で、ポートフォリオの規模に比べてフローが大きく、収益率が低くない場合、その差はさらに大きくなります。

単純ディーツ法と同様に、ポートフォリオを構成する2つ以上の異なる資産の同一期間における修正ディーツ・リターンを加重平均することで、修正ディーツ・ポートフォリオ・リターンを算出できます。この場合、各資産のリターンに適用されるウェイトは、当該資産の平均資本です。

例6

例 4 および 5 で説明したシナリオを再度参照すると、2 回目の購入が全体の期間のちょうど中間に発生した場合、修正 Dietz 法では単純な Dietz 法と同じ結果が得られます。

2回目の購入が全体の期間の半分より前の場合、利益は5ドルで変わりませんが、平均資本は開始値に純流入額の半分を加えた金額よりも大きくなるため、修正ディーツ法のリターンの分母は単純ディーツ法のリターンよりも大きくなります。この場合、修正ディーツ法のリターンは単純ディーツ法のリターンよりも低くなります。

2回目の購入が全体の期間の半分より後の場合、利益は5ドルで変わりませんが、平均資本は開始値に純流入額の半分を加えた金額よりも少なくなるため、修正ディーツ法のリターンの分母は単純ディーツ法のリターンよりも小さくなります。この場合、修正ディーツ法のリターンは単純ディーツ法のリターンよりも大きくなります。

2回目の株式購入が期間中のどの段階で行われたとしても、平均資本は100を超えるため、修正ディーツ法によるリターンは5%未満となります。これは、時間加重リターンの10%よりも依然として著しく低い値です。

リンクされた返品方法

「真の時間加重リターン」の計算は、投資期間中のポートフォリオ評価の入手可能性に依存します。各フロー発生時に評価が入手できない場合、時間加重リターンは、評価が入手可能な期間の末日時点の期間を用いて、連続する期間のリターンを幾何級数的に連結することによってのみ推定できます。このような近似的な時間加重リターン算出方法は、真の時間加重リターンを過大評価または過小評価する傾向があります。

リンク内部収益率（LIROR）は、真の時間加重収益率を概算するために時々使用される別の方法です。これは、真の時間加重収益率法と内部収益率（IRR）法を組み合わせたものです。内部収益率は一定の期間にわたって推定され、その結果は幾何的にリンクされます。たとえば、連続する年の内部収益率が4%、9%、5%、11%の場合、LIRORは1.04 x 1.09 x 1.05 x 1.11 – 1 = 32.12%になります。一定の期間が数年でない場合は、まず各期間のIRRの非年次保有期間バージョン、または各期間のIRRを計算し、次にそれぞれを期間の保有期間収益率に変換し、最後にこれらの保有期間収益率をリンクしてLIRORを算出します。

フローがない場合のメソッドを返す

外部フローがない場合、これらすべての方法（時間加重収益率、内部収益率、修正ディーツ法など）は同じ結果をもたらします。フローを処理するさまざまな方法のみが、それぞれの方法の違いとなります。

対数リターン

連続収益法、すなわち対数収益法は、フローを補償するための競合的な方法ではありません。これは単に成長係数の 自然対数です 。${\displaystyle ln\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)}$

手数料

手数料控除後のリターンを測定するには、ポートフォリオの価値から手数料額を差し引く必要があります。手数料控除後のリターンを計算するには、手数料を外部フローとして扱い、相殺し、発生した手数料によるマイナスの影響を評価から除外します。

年間収益率

リターンと収益率は互換的に扱われる場合もありますが、時間加重法などの方法で計算されるリターンは、保有期間が1年である場合を除き、1ドルあたり（または他の通貨単位あたり）の保有期間リターンであり、1年あたり（または他の時間単位）のリターンではありません。年次化、つまり年間収益率への換算は別のプロセスです。収益率に関する記事を参照してください。

参照

• 内部収益率
• 修正ディーツ法
• 収益率
• ポートフォリオの収益率
• シンプルなディーツ法

参考文献

1. 年金基金の投資パフォーマンスの測定、銀行管理研究所、1968年12月
2. 投資パフォーマンス測定、ウィリアム・G・ベイン、ウッドヘッド・パブリッシング、第1版（1996年3月13日） ISBN 978-1855731950
3. ディーツ、ピーター・O.年金基金：投資パフォーマンスの測定フリープレス、1966年。

さらに読む

• カール・ベーコン著『実践的ポートフォリオ・パフォーマンス測定とアトリビューション』ウェスト・サセックス：ワイリー、2003年、ISBN 0-470-85679-3
• ブルース・J・ファイベル著『投資パフォーマンス測定』ニューヨーク：ワイリー、2003年、ISBN 0-471-26849-6