積分の時間発展

微分積分学では、多くの応用において、体積積分または表面積積分の変化率を計算する必要があります。これらの積分域と被積分関数は、特定のパラメータの関数です。物理学の応用では、そのパラメータはしばしば時間tです。

導入

十分に滑らかな積分関数を持つ1次元積分の変化率は、微積分の基本定理の次の拡張によって支配されます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)}$

移動面の計算[ ^1]は、ユークリッド領域上の体積積分、曲面の微分幾何学上の面積分（移動する輪郭境界を持つ曲面上の積分を含む）に対する類似の公式を提供します。

体積積分

t を時間的パラメータとし、滑らかな曲面境界Sを持つ時間依存領域Ω を考える。FをΩ の内部に定義された時間依存不変場とする。すると、積分の変化率は ${\displaystyle \int _{\Omega }F\,d\Omega }$

以下の法律によって規制される：^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS}$

ここで、Cは界面の速度である。界面の速度Cは、運動面の微積分学における基本概念である。上式において、C は外法線 を基準として表される必要がある。この法則は、微積分学の基本定理の一般化とみなすことができる。

面積分

関連する法則は表面積の変化率を規定する。

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

法律では

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS}$

ここで、-導関数は、もともとジャック・アダマールによって提唱された、運動面の解析における基本演算子です。は平均曲率テンソルのトレースです。この法則では、法線の選択がCとに一貫している限り、C は外部法線に関する式である必要はありません。上記の式の最初の項はFの変化率を表し、2番目の項は面積の拡大または縮小を補正します。平均曲率が面積の変化率を表すという事実は、上記の式を に適用することで得られます。なぜなら、は面積だからです。 ${\displaystyle {\delta}/{\delta}t}$ ${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}}$ ${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}}$ ${\displaystyle F\equiv 1}$ ${\displaystyle \int _{S}\,dS}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS}$

上記の式は、平均曲率が適切に面積の形状勾配と呼ぶことができることを示しています。 ${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}}$

${\displaystyle C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }}$

は一般的な平均曲率流であり、面積に対する最急降下を表します。半径Rの球面では、 外法線に対して 、 半径Rの円では、となることに注意してください。${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}=-2/R}$ ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R}$

移動する等高線境界を持つ面積分

移動等高線における面積分法の法則の図解。面積の変化は、曲率による拡大と併合による拡大という2つの要因によって生じます。${\displaystyle CB_{\alpha }^{\alpha }dt}$ ${\displaystyle cdt}$

Sが運動する表面であり、その輪郭線 γ が運動していると仮定する。S に対する輪郭線 γ の速度がcであるとする。このとき、時間依存積分の変化率は次の式で 表される。

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma }$

最後の項は、右の図が示すように、併合による面積の変化を表します。

参考文献

1. Grinfeld, P. (2010). 「流体膜のハミルトン力学方程式」. 応用数学研究. doi :10.1111/j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.