作用素環において、テプリッツ代数はヒルベルト空間l 2 ( N )上の片側シフトによって生成されるC*-代数である。[1] l 2 ( N )をハーディ空間H 2とすると、テプリッツ代数は次のような形式の元から構成される。
ここで、T fは連続記号を持つテプリッツ演算子であり、 Kはコンパクト演算子です。
連続記号を持つテプリッツ作用素は、コンパクト作用素を法として可換である。したがって、テプリッツ代数は、円周上の連続関数に対するコンパクト作用素によるC*-代数拡張と見ることができる。この拡張はテプリッツ拡張と呼ばれる。
アトキンソンの定理によれば、テプリッツ代数T f + Kの元がフレドホルム作用素となるのは、 T fの記号fが可逆である場合に限ります。この場合、T f + Kのフレドホルム指数は、円周の基本群におけるfの同値類であるfの巻数と正確に一致します。これはアティヤ・シンガー指数定理の特別な場合です。
ウォルド分解は、ヒルベルト空間に作用する真等長写像を特徴付ける。これとテプリッツ作用素の性質を合わせると、テプリッツ代数は真等長写像によって生成される普遍C*-代数であると結論付けられる。これがコバーンの定理である。
参考文献
- ^ ウィリアム・アーヴェソン（2001年11月9日）「スペクトル理論短期講座」、数学大学院テキスト第209巻、シュプリンガー、ISBN 0387953000
