アレクサンダー・グロタンディークによる論文「ホモロジー代数の諸点について」 [ 1]は、現在ではしばしば「東北論文」 [2]と呼ばれ、 1957年に東北数学雑誌に掲載されました。この論文は、代数位相幾何学の純粋に代数的な側面であるホモロジー代数の分野に革命をもたらしました。[3]この論文により、環上の加群と位相空間上のアーベル群の層を区別する必要がなくなりました。[4]
背景
この論文の内容は、グロタンディークが1955年から1956年にかけてカンザス大学に在籍していた期間に遡る。そこでの研究により、彼はアーベル圏の概念を導入することで、ホモロジー代数を公理的な基盤の上に構築することができた。[5] [6]
ホモロジー代数の教科書的扱いである、アンリ・カルタンとサミュエル・アイレンベルクにちなんで「カルタン-アイレンベルク」と名付けられた教科書が1956年に出版された。グロタンディークの研究は、この教科書とは大部分が独立していた。彼のアーベル圏の概念は、少なくとも部分的には他者によって予見されていた。[7] デイヴィッド・ブックスバウムは、アイレンベルクの指導下で執筆した博士論文の中で、アーベル圏の概念に近い「完全圏」という概念（直和が同一であればよい）を導入し、「十分な単射」という概念を定式化した。 [8]東北大学の論文には、グロタンディーク圏（アーベル圏の特定の型、名前は後から付けられた）には十分な単射が存在することを証明する議論が含まれている。著者は、その証明が標準的な型であることを示した。[9]この方法によってアーベル群の層のカテゴリが入射的分解を許容することを示すことで、グロタンディークはカルタン-アイレンベルクの理論を超えて、コホモロジー理論の一般性の存在を証明した。[10]
その後の展開
1964年のガブリエル・ポペスク定理以降、すべてのグロタンディーク圏は加群圏の商圏であることが知られるようになった。[11]
東北大学の論文では、導来関手の合成に関連するグロタンディークのスペクトル列も導入された。[12]ホモロジー代数の基礎をさらに再考する中で、グロタンディークはジャン＝ルイ・ヴェルディエと共に導来圏の概念を導入し、発展させた。[13] 1958年の国際数学者会議でグロタンディークが発表した当初の動機は、現在「グロタンディーク双対性」と呼ばれているコヒーレント双対性に関する結果を定式化することであった。[14]
注記
- ^ Grothendieck, A. (1957)、「Sur quelques Points d'algèbre homologique」、東北数学ジャーナル、(2)、9 (2): 119–221、doi : 10.2748/tmj/1178244839、MR 0102537. 英語翻訳。
- ^ シュラガー、ニール、ラウアー、ジョシュ（2000年）、科学とその時代：1950年から現在。『科学とその時代：科学的発見の社会的意義の理解』第7巻、ゲイル・グループ、251ページ、ISBN 9780787639396。
- ^ スヨン・チャン (2011). 数学者の系譜. World Scientific. p. 115. ISBN 978-981-4282-29-1。
- ^ ジャン＝ポール・ピア（2000年1月1日）『数学の発展 1950-2000』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、p. 715、ISBN 978-3-7643-6280-5。
- ^ [[ピエール・カルティエ (数学者)|]];リュック・イリュージー;ニコラス・M・カッツ;ジェラール・ローモン;ユーリ・I・マニン（2006年12月22日）。 Grothendieck Festschrift、第 1 巻: アレクサンダー グロタンディークの 60 歳の誕生日を記念して書かれた記事のコレクション。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。 p. vii. ISBN 978-0-8176-4566-3。
- ^ ピョートル・プラガッチ (2005 年 4 月 6 日)。代数多様体のコホモロジー研究のトピックス: インパンガ講義ノート。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。 p. xiv ～ xv。ISBN 978-3-7643-7214-9。
- ^ 「nLabの東北」2014年12月2日閲覧。
- ^ IM James (1999年8月24日). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 815. ISBN 978-0-08-053407-7。
- ^ アムノン・ニーマン（2001年1月）『三角形のカテゴリー』プリンストン大学出版局、19頁。ISBN 0-691-08686-9。
- ^ ジャンドメニコ・シーカ (2006 年 1 月 1 日)。圏論とは何ですか? Polimetrica sas pp. 236–7 . ISBN 978-88-7699-031-1。
- ^ 「グロタンディーク圏 - 数学百科事典」2014年12月2日閲覧。
- ^ チャールズ・A・ワイベル（1995年10月27日）『ホモロジー代数入門』ケンブリッジ大学出版局、150ページ。ISBN 978-0-521-55987-4。
- ^ Ravi Vakil (2005). スノーバード代数幾何学講義：AMS-IMS-SIAM合同夏季代数幾何学研究会議議事録：若手研究者による発表、2004年7月4日～8日. アメリカ数学会. pp. 44– 5. ISBN 978-0-8218-5720-5。
- ^ アムノン・ニーマン、「導来カテゴリーとグロタンディーク双対性」、7ページ
外部リンク
- Grothendieck, A. ( 1957)、「Sur quelques point d'algebre homologique」、東北数学ジャーナル、(2)、9 : 119–221. 英語翻訳。
- グロタンディークの東北論文と組合せ位相幾何学
