位相準同型

関数解析において、位相準同型（あるいは単に準同型（そうでない場合は））は、位相ベクトル空間（TVS）の圏における準同型の類似物である。この概念は関数解析において非常に重要であり、有名な開写像定理は、フレシェ空間間の連続線型写像が位相準同型となるための十分条件を与える。

定義

位相準同型写像、または単に準同型写像（混乱がなければ）とは、位相ベクトル空間（TVS）間の連続 線型写像 であり、の像に^[1]によって誘導される部分空間位相が与えられたとき、誘導写像は開写像となるようなものである 。この概念は関数解析において非常に重要であり、有名な開写像定理は、フレシェ空間間の連続線型写像が位相準同型であるため の十分条件を与える${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

TVS埋め込みあるいは位相単射^[2]は、入射的な位相準同型である。同様に、TVS埋め込みは線形写像であり、位相埋め込みでもある。

特徴づけ

がTVS間の線型写像であると仮定し、が以下の標準線型写像の合成に分解できる ことに注意する${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle X~{\overset {\pi}{\rightarrow}}~X/\operatorname {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow}}~\operatorname {Im} u~{\overset {\operatorname {In}}{\rightarrow}}~Y}$

ここでは標準商写像であり、は包含写像です。 ${\displaystyle \pi :X\to X/\operatorname {ker} u}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :\operatorname {Im} u\to Y}$

以下は同等です:

1. ${\displaystyle u}$ は位相準同型である
2. における原点の近傍基数はすべて^[1]における原点の近傍基数である。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\left({\mathcal {U}}\right)}$ ${\displaystyle Y}$
3. 誘導写像はTVSの同型写像である^[1]${\displaystyle u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u}$

さらに の値域が有限次元ハウスドルフ空間である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$ は位相準同型である
2. ${\displaystyle u}$ 連続的である^[1]
3. ${\displaystyle u}$ 原点において連続である^[1]
4. ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ^[1]で閉鎖されている${\displaystyle X}$

十分条件

定理^[1] —をLF空間からTVSへの射影連続線型写像とする。もLF空間である 場合、またはがフレシェ空間である場合、は位相準同型である ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$

定理^[3] —を2つのハウスドルフTVS間の連続線型作用素とする。がの稠密ベクトル部分空間であり、への制約が位相準同型であるならば、も位相準同型である。^[3]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert}_{M}:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

したがって、と がそれぞれとのハウスドルフ完備であり、 が位相準同型である場合、の一意の連続線型拡大は位相準同型です。 （ただし、が射影的であっても が入射的でない可能性はあります。） ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F:C\to D}$

開写像定理

開写像定理は、バナッハの準同型定理としても知られ、完全計量化可能なTVS間の連続線型作用素が位相準同型となるための十分条件を与えます

定理^[4] —を2つの完全計量化可能なTVS間の連続線型写像とする。 の値域が の稠密部分集合である場合、はにおいて貧弱（つまり、第1カテゴリ）であるか、そうでなければ は射影的な位相準同型である。特に、 が位相準同型であるためには、が の閉部分集合である必要がある。${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {私} 君、}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {私} u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {私} u}$ ${\displaystyle Y.}$

系^[4] —とをベクトル空間上のTVS位相とし、各位相が完全計量化可能なTVSとなるようにする。またはのいずれかの場合、${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \subseteq \tau}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \sigma}$ ${\displaystyle \sigma =\tau .}$

系^[4] —が完全な計量化可能なTVSであり、が2つの閉ベクトル部分空間である場合、がと（つまり、ベクトル空間のカテゴリにおける直和）の代数的直和であれば、は位相ベクトル空間のカテゴリにおける との直和である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

例

TVS上のすべての連続線型汎関数は位相準同型である。 ^[1]

を体上の -次元TVSとし、を非零とする。を で定義する。通常のユークリッド位相を持ち、をハウスドルフとする。TVS同型である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle L(s):=sx.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$

参照

• 準同型写像 – 同じ型の2つの代数構造間の構造保存写像
• オープンマッピング – オープン（またはクローズ）サブセットをオープン（またはクローズ）サブセットに送る関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• フレシェ空間の全射 – 全射性の特徴
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. Schaefer & Wolff 1999, pp. 74–78
2. Köthe 1969、91ページ。
3. Schaefer & Wolff 1999、116ページより。
4. Schaefer & Wolff 1999、78ページ。

参考文献

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