トーラス座標

トーラス座標の図解。トーラス座標は、2次元双極座標系を、その2つの焦点を分ける軸を中心に回転させることによって得られる。焦点は、垂直なz軸から1の距離に位置する。赤い球面の平面より上にある部分はσ = 30°等値面、青いトーラスはτ = 0.5等値面、黄色の半平面はφ = 60°等値面である。緑の半平面はx - z平面を示しており、ここからφが測定される。黒い点は、赤、青、黄色の等値面の交点、つまり直交座標系（0.996, -1.725, 1.911）に位置する。${\displaystyle xy}$

トーラス座標は、二次元双極座標系を、その二つの焦点を隔てる軸を中心に回転させることによって得られる三次元直交座標系です。したがって、双極座標系における二つの焦点とは、トーラス座標系の平面において半径 のリングを形成します。 - 軸が回転軸です。この焦点リングは基準円とも呼ばれます。 ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle z}$

意味

トーラス座標の最も一般的な定義は ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,\phi )}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

（と共に）。点の座標は角度に等しく、座標は焦点リングの反対側まで の距離と距離の比の自然対数に等しい。${\displaystyle \mathrm {符号} (\sigma )=\mathrm {符号} (z}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

座標範囲は、、および${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$ ${\displaystyle \tau \geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi .}$

座標面

この二次元双極座標系を垂直軸を中心に回転させると、上図のような三次元トーラス座標系が得られます。垂直軸上の円は赤い球面、水平軸上の円は青いトーラスになります。

定数面は異なる半径の球面に対応する ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(za\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

すべて焦点リングを通過するが同心円ではない。定数面は、半径の異なる交差しないトーラスである。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

焦点リングを囲む球面。定常球面の中心は-軸に沿って位置し、定常トーラスの中心は平面内に位置する。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle xy}$

逆変換

座標は、直交座標（x , y , z）から以下のように計算できます。方位角は次の式で与えられます。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

点Pの 円筒半径は次のように与えられる。${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

そして、平面上の焦点までの距離は次のように与えられる。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

点Pの座標 σ と τ の幾何学的解釈。方位角一定平面で観測すると、トーラス座標は双極座標と等価である。角度 は、この平面上の2つの焦点とPによって形成される角度であり、は焦点までの距離の比の対数である。対応する定数円と定数円は、それぞれ赤と青で示され、直角（マゼンタの枠）で交わり、直交している。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau}$

座標は焦点距離の 自然対数に等しい${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

一方、焦点までの光線間の角度に等しく、これは余弦定理から決定できる。${\displaystyle |\sigma |}$

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.}$

あるいは、記号を含めて明示的に、

${\displaystyle \sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

どこ。 ${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$

円筒座標とトーラス座標間の変換は複素数表記で次のように表すことができます。

${\displaystyle z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},}$

${\displaystyle \tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.}$

スケール係数

トーラス座標のスケール係数とは次のようになる。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

一方、方位角スケール係数は

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

したがって、微小体積要素は

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

微分演算子

ラプラシアンは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

ベクトル場の場合、ベクトルラプラシアンは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

やなどの他の微分演算子は、直交座標の一般的な公式にスケール係数を代入することによって、座標で表現できます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

トロイダル高調波

標準的な分離

3変数ラプラス方程式

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

トーラス座標における 変数分離によって解が与えられる。

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

すると分離可能な方程式が得られる。変数分離によって得られる特異解は次のようになる。

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

ここで、各関数は次の線形結合です。

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

ここで、PとQはそれぞれ第一種および第二種のルジャンドル随伴関数です。これらのルジャンドル関数は、しばしばトロイダル高調波と呼ばれます。

トロイダル高調波には多くの興味深い性質があります。例えば、変数置換を行うと、次数がゼロになる（慣例的に、ゼロになる次数は書かない）場合、${\displaystyle z=\cosh \tau >1}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

そして

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

ここで、およびはそれぞれ第一種および第二種の完全楕円積分である。残りのトーラス調和関数は、例えば、ルジャンドル准関数の漸化式を用いて、完全楕円積分を用いて得ることができる。 ${\displaystyle \,\!K}$ ${\displaystyle \,\!E}$

トーラス座標の典型的な応用は、偏微分方程式を解くことです。例えば、トーラス座標では変数分離が可能なラプラス方程式や、変数分離が不可能なヘルムホルツ方程式などが挙げられます。典型的な例としては、導体トーラス、あるいは縮退した電流環の 電位と電場が挙げられます（Hulme 1982）。

代替的な分離

あるいは、別の代替手段が用いられることもある（Andrews 2006）

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

どこ

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

再び分離可能な方程式が得られます。変数分離によって得られる特異解は次のようになります。

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

ここで、各関数は次の線形結合です。

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.}$

T関数ではトロイダル調和関数が再び用いられますが  、引数ではなく が用いられ、添え字とが入れ替わっていることに注意してください。この方法は、荷電環、無限半平面、または2つの平行平面など、境界条件が球面角 に依存しない状況で有用です。引数が双曲余弦のトロイダル調和関数と引数が双曲余弦のトロイダル調和関数の関係式については、ホイップルの公式 を参照してください。 ${\displaystyle \coth \tau }$ ${\displaystyle \cosh \tau }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \theta }$

参考文献

• バイアリー、W E. (1893)フーリエ級数と球面調和関数、円筒調和関数、楕円調和関数に関する初等的論文、数理物理学の問題への応用ギン＆カンパニー pp. 264–266
• Arfken G (1970).物理学者のための数学的手法（第2版）. オーランド, フロリダ州: Academic Press. pp.  112– 115.
• アンドリュース、マーク (2006). 「ラプラス方程式のトロイダル座標系における代替分離と静電気学への応用」. Journal of Electrostatics . 64 (10): 664– 672. CiteSeerX  10.1.1.205.5658 . doi : 10.1016/j.elstat.2005.11.005 .
• Hulme, A. (1982). 「電流リングの磁気スカラーポテンシャルに関するノート」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 92 (1): 183– 191. Bibcode : 1982MPCPS..92..183H . doi : 10.1017/S0305004100059831 .

参考文献

• モースPM、フェシュバッハH (1953).理論物理学の方法 第1部. ニューヨーク: マグロウヒル. p. 666.
• Korn GA, Korn TM (1961). 『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック』 ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 182. LCCN  59014456 .
• Margenau H, Murphy GM (1956). 『物理と化学の数学』 ニューヨーク: D. van Nostrand. pp.  190–192 . LCCN  55010911 .
• Moon PH, Spencer DE (1988). 「トーラス座標 ( η , θ , ψ )」.場の理論ハンドブック（座標系、微分方程式、およびその解を含む）（第2版、第3版改訂版）. ニューヨーク: Springer Verlag. pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6。

外部リンク

• MathWorldによるトーラス座標の説明