トーラス作用

代数幾何学において、代数多様体へのトーラス作用は、代数トーラスの多様体への群作用である。トーラスTの作用を備えた多様体はT多様体と呼ばれる。微分幾何学では、実トーラスまたは複素トーラスの多様体（またはオービフォールド） への作用を考える

トーラスが作用して稠密な軌道が存在する正規代数多様体は、トーリック多様体と呼ばれます(たとえば、正規の軌道閉包はトーリック多様体です)。

トーラスの線形作用

トーラスの線型作用は、必要に応じて基底体を拡張した後、同時に対角化することができます。トーラスT が有限次元ベクトル空間Vに作用している場合、直和分解が存在します。

${\displaystyle V=\bigoplus _{\chi }V_{\chi }}$

ここで

• ${\displaystyle \chi :T\to \mathbb {G} _{m}}$ は群準同型、つまりTの指標です
• ${\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|t\cdot v=\chi (t)v\}}$ 、T不変部分空間は重みの重み部分空間と呼ばれます。${\displaystyle \χ}$

分解が存在するのは、線型作用が線型表現を決定し（また線型表現によって決定され）、そして基底体を拡張して、 対角化可能な線型変換の交換から構成されるためです。${\displaystyle \π:T\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \π (T)}$

V が有限次元を持たない場合、そのような分解の存在は難しいが、分解が可能な簡単な例の一つは、V が有限次元表現の和集合である場合である（は有理数と呼ばれる。以下の例を参照）。あるいは、関数解析を用いる。例えば、 はヒルベルト空間直和を用いる。 ${\displaystyle \pi}$

例：無限体k上の多項式環を とする。これに代数自己同型として作用するものとする。${\displaystyle S=k[x_{0},\dots,x_{n}]}$ ${\displaystyle T=\mathbb {G} _{m}^{r}}$ ${\displaystyle t=(t_{1},\dots,t_{r})\in T}$

${\displaystyle t\cdot x_{i}=\chi_{i}(t)x_{i}}$

ここで

${\displaystyle \chi _{i}(t)=t_{1}^{\alpha _{i,1}}\dots t_{r}^{\alpha _{i,r}},}$ ${\displaystyle \alpha_{i,j}}$ = 整数

すると、それぞれはT重みベクトルとなり、単項式は重みのT重みベクトルとなります。したがって、 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{0}^{m_{0}}\dots x_{r}^{m_{r}}}$ ${\displaystyle \sum m_{i}\chi _{i}}$

${\displaystyle S=\bigoplus_{m_{0},\dotsm_{n}\geq 0}S_{m_{0}\chi_{0}+\dots+m_{n}\chi_{n}}.}}$

すべてのiに対して の場合、これは多項式環を同次成分に分解する通常の方法であること に注意してください。${\displaystyle \chi _{i}(t)=t}$

ビアリニツキ・ビルラ分解

ビアリニツキ・ビルラ分解とは、滑らかな射影代数T 多様体はT安定な細胞分解を許容するということである

これは代数モース理論とも呼ばれる。^[1]

参照

• 角弘の定理
• GKM多様体
• 同変コホモロジー
• 単項式イデアル

参考文献

1. 「Konrad Voelkel » Białynicki-Birula and Motivic Decompositions «」

• アルトマン、クラウス。イルテン、ネイサン・オーウェン。ピーターセン、ラース。スース、ヘンドリック。ヴォルメルト、ロバート (2012-08-15)。T 品種の幾何学。arXiv : 1102.5760。土井：10.4171/114。ISBN 978-3-03719-114-9。
• A. ビアリニッキ＝ビルラ、「代数群の作用に関するいくつかの定理」、Annals of Mathematics、第2集、第98巻、第3号（1973年11月）、480～497ページ
• M. Brion、C. Procesi、Action d'un tore dans une variété projective、作用素代数、ユニタリー表現、および不変理論 (Paris 1989)、Prog.数学で。 92 (1990)、509–539。