言葉では言い表せない枢機卿

数学の一分野である集合論において、Q記述不可能基数とは、ある言語Qにおいて公理化が困難な、ある種の大きな基数である。Qの言語の選択の違いに応じて、記述不可能基数には様々な種類が存在する。これらはHanfとScott (1961)によって導入された。

基数は、任意の命題、および を とする集合に対して、 となる基数 が存在するとき、-記述不可能と呼ばれます。^[1]レヴィの階層に従って、ここでは、最外部の量指定子が普遍的である、量指定子の m-1 交代を伴う式について考えます。-記述不可能な基数は、同様の方法で定義されますが、最外部の量指定子は存在量指定子です。構造 を定義する前に、1 つの新しい述語記号が集合論の言語に追加され、 と解釈されます。^[2]その考え方は、(A に対する) 追加の単項述語記号の利点があっても、量指定子の m-1 交代を伴う n+1 階論理のどの式でも、より小さな基数と を区別できない (下から見て) というものです。これは、同様の特性を持つより小さな基数が多数存在するはずであることを意味するため、 が大きいことを意味します。^[要出典]${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$ ${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in ,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{m}^{n}}$ ${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$

基数は、すべての正の整数mとnに対して記述不可能な場合、完全に記述不可能であると呼ばれる。^{[3] p. 59}${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$

が順序数である場合、で成り立つような任意の式と のすべての部分集合に対して、 で成り立つようなものが存在するとき、その基数は-記述不可能であるといいます。が無限である場合、 -記述不可能な順序数は完全に記述不可能であり、 が有限である場合、それらは -記述不可能な順序数と同じになります。 -記述不可能な は存在せず、-記述不可能であることは必ずしも任意の に対して -記述不可能を意味するわけではありませんが、のときに意味を成す、賢明な基数という別の概念があります。 で成り立つ場合、 で成り立つとが存在します。^[4]しかし、よりもはるかに大きい場合、基数が-記述不可能である可能性があります。^{[1]第9章、定理4.3}${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \phi (U)}$ ${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda })}$ ${\displaystyle V_{\lambda +\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Pi _{\omega }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \geq \kappa }$ ${\displaystyle \phi (U,\kappa )}$ ${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )}$ ${\displaystyle V_{\lambda +\beta }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \pi }$

歴史的注記

もともと、基数 κ は、任意の Q-式と関係に対して、が存在するようなが存在するとき、Q-記述不可能と呼ばれていました。^{[5] [6] [7]}この定義を用いると、が-記述不可能である場合、かつ が正則であり より大きい場合に限られます。^{[7] p.207}累積階層に基づく上記のバージョンを満たす基数は、強 Q-記述不可能と呼ばれていました。^[8]この性質は「順序数の -記述不可能性」とも呼ばれています。^{[9] p.32}${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\kappa ,<,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle Q}$

同等の条件

基数は、それが - 記述不可能である場合に限り、 - 記述不可能である。^{[3] p. 59 [10]}基数は、すべての正の整数に対して - 記述不可能である場合に限り、アクセス不可能であり、それはそれが- 記述不可能である場合と同値であり、それが- 記述不可能である場合と同値である。 ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$

${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ -記述不可能基数は弱コンパクト基数と同じである。^{[3] p. 59}

記述不可能条件は反射原理（ZFCで証明可能）を満たすことと同等であるが、2階自由変数を持つ高階式を許容することによって拡張されている。^[10]${\displaystyle V_{\kappa }}$

基数 に対して、が推移的である場合の基本埋め込み、つまり が小さい埋め込みであるとする。任意の自然数 に対して、が-記述不可能である場合と、すべての に対して となるような が存在する場合とで、かつ となるような小さい埋め込みが存在する場合とで、その場合のみ有効である。^{[11] 、系4.3}${\displaystyle \kappa <\theta }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H(\theta )}$ ${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$ ${\displaystyle 1\leq n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle \theta >\alpha }$ ${\displaystyle j:M\to H_{\theta }}$ ${\displaystyle H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})}$

V=Lならば、自然数n >0 に対して、非可算基数は Π¹
_n-記述不可能であるとき、それは(n+1)-定常である。^[12]

強制可能なクラス

順序数のクラスと-記述不可能な基数に対して、となる-式と が存在するが、 のない に対して が成り立つとき、 は( の何らかの式によって で)強制されるといわれます。^{[1] p.277}これは、記述不可能な基数の必要な特性を示すツールを提供します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta \notin X}$ ${\displaystyle (V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi }$

プロパティ

-記述不可能であるという性質は上で成り立ちます。つまり、 を満たす 文が存在する場合、それは が -記述不可能である場合に限ります。[ 13] の場合、-記述不可能で^あるという性質はであり、-記述不可能であるという性質は です。^[13]したがって、 の場合、-記述不可能または-記述不可能なすべての基数は、-記述不可能かつ-記述不可能であり、それより下のそのような基数の集合は定常です。-記述不可能基数の無矛盾性の強さは-記述不可能基数の無矛盾性の強さより下ですが、 の場合、最小の-記述不可能が存在し、それが最小の -記述不可能基数の上にあることはZFC と無矛盾です (これは-記述不可能基数とその上の -記述不可能基数との ZFC の無矛盾性から証明されています)。^[要出典]${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$

完全に記述不可能な基数は、構成可能宇宙^{[3] p.62--63}や他の標準的な内部モデルでも完全に記述不可能なままであり、-および-記述不可能性についても同様である。 ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$

自然数 に対して、基数が-記述不可能な場合、となる順序数が存在する。ここで は基本同値性を表す。^[14]これは双条件式である（ 「到達不可能性の2つのモデル理論的特徴付け」を参照）。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle n=0}$

測定可能な基数は記述不可能だが、最小の測定可能な基数は記述不可能ではない。^{[13] p. 61}しかし、選択を仮定すると、任意の測定可能な基数の下に完全に記述不可能な基数が多数存在する。 ${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{2}}$

に対して、ZFC+「-記述不可能な基数が存在する」はZFC+「-記述不可能な基数が存在し、その基数は」、すなわち「GCHは-記述不可能な基数で失敗する」と等価である。^[10]${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$

参考文献

• Hanf, WP; Scott, DS (1961)、「到達不可能な基数の分類」、アメリカ数学会誌、8 :445、ISSN  0002-9920
• 金森章弘（2003）．The Higher Infinite : 集合論における大規模基数をその始まりから(第 2 版)。スプリンガー。土井：10.1007/978-3-540-88867-3_2。ISBN 3-540-00384-3。

引用

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