完全にポジティブなマトリックス

数学において、全正行列とは、すべての小行列項が正である正方行列のことである。つまり、すべての正方部分行列の行列式は正の数である。^[1] 全正行列はすべての要素が正であるため、正行列でもある。また、すべての主小行列項が正である（および正の固有値）。したがって、対称全正行列は正定値でもある。全非負行列も同様に定義されるが、すべての小行列項が非負（正またはゼロ）でなければならない。一部の著者は、「全正」という言葉を、すべての全非負行列を含むものとして使用している。

意味

n × n行列 をとします。任意のp × p部分行列を考えます 。ここで、 ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$ ${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

Aが完全正行列となるのは、次の場合である: ^[2]

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

この方法で形成できる すべてのサブマトリックスに対して。${\displaystyle \mathbf {B} }$

歴史

歴史的に全肯定理論の発展につながった研究には以下のものがある：^[2]

• 完全に正である核と行列のスペクトル特性、
• グリーン関数が完全に正である常微分方程式は、機械振動理論（1930年代半ばにMGクラインと同僚によって）で登場する。
• 変動減少特性（1930年にIJシェーンベルクによって開始）
• ポリア周波数関数 (1940 年代後半から 1950 年代初頭にかけて IJ Schoenberg によって考案)。

例

定理。(Gantmacher, Krein, 1941) ^[3]が正の実数である場合、ヴァンダーモンド行列は完全に正である。 ${\displaystyle 0<x_{0}<\dots <x_{n}}$ $${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}}$$

より一般的には、を実数、を正の実数とすると、一般化ヴァンデルモンド行列は完全に正になります。 ${\displaystyle \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$ ${\displaystyle 0<x_{0}<\dots <x_{n}}$ ${\displaystyle V_{ij}=x_{i}^{\alpha _{j}}}$

証明（概略）。 の場合を証明すれば十分です。 ${\displaystyle \alpha _{0}=0,\dots ,\alpha _{n}=n}$

が有理正実数の場合は、前の場合と同じです。 とし、 とします。これは、行列がより大きなヴァンデルモンド行列の小行列であることを示しており、したがって、行列も全正です。 ${\displaystyle 0\leq \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$ ${\displaystyle p_{i}/q_{i}=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x'_{i}:=x_{i}^{1/q_{i}}}$

が正の実数の 場合は、有理近似の極限を取ることによって前の場合に簡略化されます。${\displaystyle 0\leq \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$

が実数の場合は、前の場合に帰着します。 、 とし、 と定義します。前の場合より、は完全に正となります。 の任意の小行列式は、正の要素を持つ対角行列と の小行列式の積であるため、その行列式も正となります。 ${\displaystyle \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}'=\alpha _{i}-\alpha _{0}}$ ${\displaystyle V_{ij}'=x_{i}^{\alpha _{j}'}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$

の場合については、(Fallat & Johnson 2011、p. 74)を参照してください。 ${\displaystyle \alpha _{0}=0,\dots ,\alpha _{n}=n}$

参照

• 複合マトリックス

参考文献

1. George M. Phillips (2003)、「Total Positivity」、Interpolation and approximation by Polynomials、Springer、p. 274、ISBN 9780387002156
2. 全正核と全正行列のスペクトル特性、アラン・ピンカス
3. (ファラット&ジョンソン 2011、p. 74)

さらに読む

• アラン・ピンカス（2009年）『Totally Positive Matrices』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521194082
• Fallat, Shaun M.; Johnson, Charles R. 編 (2011).完全非負行列. プリンストン応用数学シリーズ. プリンストン: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-12157-4。

外部リンク

• 完全正値核と行列のスペクトル特性、アラン・ピンカス
• 標準基底と全正行列のパラメータ化、アルカディ・ベレンスタイン
• テンソル積多重度、標準基底、そして全正多様体（2001）、A. ベレンスタイン、A. ゼレビンスキー