トランスクリティカル分岐

数学の一分野である分岐理論において、超臨界分岐は局所分岐の特別な種類であり、実部がゼロを通過する 固有値を持つ平衡によって特徴付けられることを意味します。

トランスクリティカル分岐の通常の形式。r の範囲は -5 から 5 です。

トランスクリティカル分岐とは、パラメータのあらゆる値に対して固定点が存在し、それが破壊されることのない分岐である。しかし、そのような固定点は、パラメータが変化すると、別の固定点と安定性を交換する。 ^[1] つまり、分岐の前後には、不安定な固定点と安定な固定点がそれぞれ1つずつ存在する。しかし、それらが衝突すると、それらの安定性は交換される。つまり、不安定な固定点は安定になり、安定な固定点は不安定になる。

トランスクリティカル分岐の 通常の形は

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{2}.}$

この方程式はロジスティック方程式に似ていますが、この場合、 と は正または負の値を許容します（ロジスティック方程式ではと は非負である必要があります）。2つの固定点は と です 。パラメータが負の場合、 の固定点は安定し、 の固定点は不安定です。しかし の場合、 の点は不安定で、 の点は安定です。そのため、 で分岐が発生します。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle r=0}$

（現実世界での）典型的な例としては、消費量がリソース（の量）に比例する消費者-生産者問題が挙げられます。

例えば：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)-px,}$

どこ

• ${\displaystyle rx(1-x)}$ 資源成長のロジスティック方程式であり、
• ${\displaystyle px}$ は消費量であり、リソースに比例します。${\displaystyle x}$

参考文献

1. ストロガッツ、スティーブン (2001).非線形ダイナミクスとカオス：物理学、生物学、化学、工学への応用. ボルダー: ウェストビュー・プレス. ISBN 0-7382-0453-6。