伝達関数行列

制御システム理論や様々な工学分野において、伝達関数行列（かくりつぎょうか、あるいは単に伝達行列とも呼ばれる）は、単入力単出力（SISO）システムの伝達関数を多入力多出力（MIMO）システムに一般化したものである。^[1] この行列は、システムの出力と入力を関連付ける。これは、s平面で表現できるため、線形時不変（LTI）システムにおいて特に有用な構成である。

一部のシステム、特に受動部品のみで構成されるシステムでは、どの変数が入力でどの変数が出力であるかが曖昧になることがあります。電気工学では、入力か出力かに関わらず、すべての電圧変数を片側に、すべての電流変数を反対側にまとめるという手法が一般的です。これにより、伝達行列のすべての要素はインピーダンスの単位となります。インピーダンスの概念（およびインピーダンス行列）は、他のエネルギー分野、特に力学や音響学にも類推的に用いられています。

多くの制御システムは複数の異なるエネルギー領域にまたがっています。そのため、混合単位の要素を持つ伝達行列が必要となります。これは、領域間を接続するトランスデューサーを記述するためだけでなく、システム全体を記述するためにも必要です。この行列でシステム内のエネルギーの流れを適切にモデル化するには、これを可能にするために互換性のある変数を選択する必要があります。

一般的な

m出力n入力のMIMOシステムは、m × n行列で表される。行列の各要素は、出力と入力を関連付ける伝達関数の形をとる。例えば、3入力2出力のシステムの場合、次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}}$

ここで、u _nは入力、y _mは出力、g _mnは伝達関数です。これは行列演算子記法でより簡潔に記述すると、

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U} }$

ここで、Yは出力の列ベクトル、 Gは伝達関数の行列、Uは入力の列ベクトルです。

多くの場合、対象とするシステムは線形時不変（LTI）システムです。このような場合、伝達行列を変数のラプラス変換（連続時間変数の場合）またはZ変換（離散時間変数の場合）で表すと便利です。これは、例えば次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$

これは、変数と行列が時間ではなく、ラプラス変換から生じるs平面の複素周波数変数であるsについて表されていることを示しています。この記事の例はすべてこの形式であると仮定されていますが、簡潔にするために明示的には示されていません。離散時間システムの場合、sはz変換のzに置き換えられますが、これは以降の解析には影響しません。行列は、すべての要素が適切な有理関数である、つまり真有理行列である場合に特に便利です。この場合、状態空間表現を適用できます。^[2]

システム工学において、システム全体の伝達行列G ( s )は、制御対象システムを表すH ( s )と制御システムを表す C ( s )の2つの部分に分解されます。C ( s )は、G ( s )の入力とH ( s )の出力を入力として受け取ります。C ( s )の出力は、H ( s )の入力となります。^[3]

電気システム

電気システムでは、入力変数と出力変数の区別が曖昧になることがよくあります。状況や視点によっては、どちらにもなり得ます。このような場合、ポート（エネルギーが1つのシステムから別のシステムへ転送される場所）の概念は、入力と出力よりも有用です。各ポート（p）には、ポート間の電圧（Vp）とポートに流入する電流（_Ip ）という2つの変数を定義するのが一般_的です。例えば、2ポートネットワークの伝達行列は次のように定義できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

ここで、z _mnはインピーダンスパラメータ、またはzパラメータと呼ばれます。これらはインピーダンスの単位を持ち、ポート電流とポート電圧を関連付けるため、このように呼ばれます。zパラメータは、2ポートネットワークの伝達行列を定義する唯一の方法ではありません。電圧と電流を関連付ける基本行列は6つあり、それぞれ特定のシステムネットワークトポロジーに利点があります。^[4] しかし、これらのうち2つのみは、2ポートを超えて任意の数のポートに拡張できます。これら2つはzパラメータとその逆であるアドミタンスパラメータまたはyパラメータです。^[5]

分圧回路

ポート電圧と電流、および入力と出力の関係を理解するために、単純な分圧回路を考えてみましょう。入力電圧（ V ₁）を印加することで生じる出力電圧（ V ₂ ）のみを考えたい場合、伝達関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}}$

これは1×1伝達行列の自明なケースと考えることができる。この式は、ポート2から電流が流れ出ない場合には出力電圧を正しく予測するが、負荷が増加するにつれて不正確さを増していく。しかし、この回路を逆に使用し、ポート2に電圧を印加してポート1の電圧を計算しようとすると、ポート1に負荷がかかっていない場合でも、この式は全く間違った結果を与える。ポート1の電圧はポート2に印加された電圧よりも高くなると予測されるが、このような純抵抗回路ではあり得ない。回路の動作を正しく予測するには、ポートに出入りする電流も考慮する必要があり、これは伝達行列が行うことである。^[6] 分圧回路のインピーダンス行列は、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

これはあらゆる入出力条件下での挙動を完全に記述する。^[7]

マイクロ波周波数においては、ポート電圧とポート電流に基づく伝達行列はどれも実用上使いにくい。電圧を直接測定することは困難であり、電流はほぼ不可能であり、測定技術で必要とされる開回路と短絡を正確に実現することはできない。導波管を用いた実装では、回路の電圧と電流は全く意味をなさない。代わりに、異なる変数を用いた伝達行列が用いられる。これらはポートに伝送される電力とポートから反射される電力であり、マイクロ波帯の分布定数回路で使用される伝送線路技術で容易に測定できる。こうしたパラメータの中で最もよく知られ、広く使用されているのは散乱パラメータ、すなわちSパラメータである。^[8]

機械システムおよびその他のシステム

この旋回橋を操作していた旧ジャネッラ橋の制御室にある歯車列。歯車列は2ポート式である。

インピーダンスの概念は、機械電気系のアナロジーを通して機械領域やその他の領域にも拡張できるため、インピーダンスパラメータやその他の2ポートネットワークパラメータも機械領域に拡張できます。そのために、力変数と流量変数は、それぞれ電圧と電流のアナロジーとなります。並進運動する機械システムでは、これらの変数はそれぞれ力と速度となります。^[9]

機械部品の挙動を伝達行列を用いて2ポートまたは多ポートとして表現することは有用です。なぜなら、電気回路と同様に、部品は逆方向に動作させることができ、その挙動は入力と出力の負荷に依存するからです。例えば、ギアトレインは多くの場合、ギア比、つまりSISO伝達関数によって単純に特徴付けられます。しかし、ギアボックスの出力軸を回転させて入力軸を回転させる場合は、MIMO解析が必要となります。この例では、力と流量の変数はそれぞれトルク Tと角速度 ωです。伝達行列はZパラメータで表すと、以下のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$

しかし、Zパラメータはギアトレインの特性評価に必ずしも最も便利なわけではありません。ギアトレインは電気変圧器のアナログであり、Hパラメータ（ハイブリッドパラメータ）は巻数比（ギア比のアナログ）を直接含むため、変圧器をより適切に記述します。^[10] Hパラメータ形式のギアボックス伝達行列は、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$

どこ

h ₂₁は出力に負荷がかかっていないときの歯車列の速度比であり、

h ₁₂は、入力軸が固定されたギアトレインの逆方向トルク比であり、理想的なギアボックスの前進速度比に等しい。

h ₁₁は出力軸に負荷がかかっていない場合の入力回転機械インピーダンスであり、理想的なギアボックスの場合はゼロであり、

h ₂₂は入力軸がクランプされた状態での出力回転機械アドミタンスです。

損失（摩擦、歪みなど）のない理想的なギアトレインの場合、これは次のように単純化されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$

ここでNはギア比である。^[11]

トランスデューサーとアクチュエーター

機械フィルターを開いて、両端の機械電気変換器を表示する

複数のエネルギー領域で構成されるシステムでは、異なる領域のポートを持つコンポーネントを処理できる転送マトリックスが必要です。ロボット工学やメカトロニクスでは、アクチュエータが必要です。これらは通常、たとえば電気領域の制御システムからの信号を機械領域の動きに変換するトランスデューサーで構成されます。制御システムには、動きを検出し、別のトランスデューサーを介してそれを電気領域に変換するセンサーも必要です。これにより、フィードバック ループを通じて動きが適切に制御されます。システム内の他のセンサーは、光、音声、熱、流体の流れ、化学などの他のエネルギー領域を電気信号に変換するトランスデューサーである場合があります。もう 1 つの用途は、電気領域と機械領域の間で双方向にトランスデューサーを必要とする 機械フィルターの分野です。

簡単な例として、電子制御装置によって駆動される電磁電気機械アクチュエータが挙げられます。このアクチュエータには、電気領域に入力ポート、機械領域に出力ポートを持つトランスデューサが必要です。これはSISO伝達関数で簡略化して表現することもできますが、既に述べたのと同様の理由から、2入力2出力のMIMO伝達行列を用いることでより正確な表現が可能になります。Zパラメータでは、これは以下の形になります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}}$

ここで、Fはアクチュエータに作用する力、vはアクチュエータの速度である。ここでのインピーダンスパラメータは複数の単位が混在している。z 11_は電気インピーダンス、z ₂₂は機械インピーダンス、そして他の2つは複数の単位が混在するトランスインピーダンスである。 ^[12]

音響システム

音響システムは流体力学のサブセットであり、両分野において主要な入出力変数は圧力（P）と体積流量（Q）です。ただし、固体部品を通過する音の場合は例外です。後者の場合は、力学特性、すなわち力と速度といった主要変数がより適切です。2ポート音響部品の例として、排気システムにおけるマフラーなどのフィルタが挙げられます。このフィルタの伝達行列表現は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}}$

ここで、T _{mn は}透過パラメータであり、ABCDパラメータとも呼ばれます。コンポーネントはZパラメータでも同様簡単に記述できますが、一方の出力ポートがもう一方の入力ポートにカスケード接続された2つのポートを持つシステムを扱う場合、透過パラメータは数学的に有利です。このような場合、全体の透過パラメータは、構成コンポーネントの透過パラメータ行列の行列積によって簡単に求められます。^[13]

互換性のある変数

水道管内のバルブを制御する空気圧式ラック＆ピニオンアクチュエータ。このアクチュエータは、空気圧領域から機械領域への変換を行う2ポートデバイスです。バルブ本体と合わせて、空気圧制御ポートと、バルブの流体流入・流出ポートからなる3ポートシステムを構成します。

異なるエネルギー領域の混合変数を扱う場合、どの変数を類似変数とみなすかを検討する必要があります。その選択は、分析の目的によって異なります。システム全体のエネルギーフローを正しくモデル化したい場合、あるエネルギー領域において積が電力となる変数（電力共役変数）のペアは、他の領域の電力共役変数にマッピングする必要があります。電力共役変数は一意ではないため、システム全体で同じ変数マッピングを使用するように注意する必要があります。^[14]

一般的なマッピング（本稿のいくつかの例で使用されている）は、各ドメインの努力変数（動作を開始させる変数）とフロー変数（動作の特性となる変数）をまとめてマッピングするものである。努力変数とフロー変数の各ペアは、互いに電力共役である。このシステムは、各ドメインにおける努力変数とフロー変数の比が電気インピーダンスに類似していることから、インピーダンスアナロジーとして知られている。^[15]

同じ変数を用いた、他に2つのべき共役系が用いられています。モビリティアナロジーは、機械的な力を電圧ではなく電流にマッピングします。このアナロジーは、機械フィルタ設計者に広く用いられており、オーディオエレクトロニクスでも頻繁に用いられています。このマッピングは、ドメイン間でネットワークトポロジーを維持できるという利点がありますが、インピーダンスのマッピングは維持されません。トレントアナロジーは、べき共役変数を、システムの要素を横切って作用するか、要素を通して作用するかに応じて、変数を横切る変数と変数を通す変数に分類します。これは、流体の流れドメイン（音響ドメインを含む）の場合を除けば、モビリティアナロジーとほぼ同じです。ここでは、圧力は電流（モビリティアナロジーの場合）ではなく、電圧（インピーダンスアナロジーの場合）にアナロジー化されています。ただし、力は物体を通して作用するため、機械ドメインにおける力は電流にアナロジー化されます。 ^[16]

一般的に用いられるアナロジーの中には、電力共役対を用いないものもあります。センサーの場合、エネルギーフローを正しくモデル化することはそれほど重要ではありません。センサーはシステムにごく微量のエネルギーしか取り込まないことが多いからです。計測しやすい変数、特にセンサーが感知している変数を選択する方が、より有効です。例えば、熱抵抗のアナロジーでは、熱抵抗は電気抵抗に類似していると考えられ、温度差と熱出力はそれぞれ電圧と電流にマッピングされます。温度差の電力共役は熱出力ではなく、エントロピー流量であり、これは直接計測できません。同様のアナロジーが磁気領域にも存在します。これは磁気抵抗を電気抵抗にマッピングし、その結果、互換性のある変数に必要な磁束変化率ではなく、磁束が電流にマッピングされます。^[17]

歴史

線形代数方程式の行列表現は古くから知られていました。 1907年、ポアンカレは初めて、電気変数（電圧と電流）と機械変数（力と速度）を関連付けるこのような一対の方程式として変換器を記述しました。1921年、ウェーゲルは初めて、これらの方程式を電気インピーダンスだけでなく機械インピーダンスの観点からも表現しました。^[18]

MIMO制御システムを表現するために伝達行列を初めて用いたのは、1950年にボクセンボムとフッドであったが、これは彼らが国家航空諮問委員会（National Advisory Committee for Aeronautics ）のために研究していたガスタービンエンジンという特定のケースに限られていた。^[19] クルックシャンクは1955年に、より確固たる基盤を提供したが、完全な一般性はなかった。カバナは1956年に初めて完全に一般的な扱い方を提示し、システムと制御の間の行列関係を確立し、制御下にあるシステムの所定の挙動を実現できる制御システムの実現可能性の基準を示した。^[20]

参照

• 転送マトリックス法（光学）

参考文献

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2. • レヴァイン、481ページ
   • 陳、1037～1038ページ
3. カバナ、350ページ
4. • チェン、54～55ページ
   • アイアー、240ページ
   • バクシとバクシ、p. 420
5. Choma、197ページ
6. ヤン＆リー、37～38ページ
7. 別斎、4～5ページ
8. • グエン、271ページ
   • 別斎、1ページ
9. ブッシュ・ヴィシュニアック、19～20ページ
10. オルセン、239～240ページ
11. • ブッシュ・ヴィシュニアック、20ページ
    • ケーニッヒ＆ブラックウェル、170ページ
12. ピアース、200ページ
13. ムンジャル、81ページ
14. ブッシュ・ヴィシュニアック、18ページ
15. ブッシュ・ヴィシュニアック、20ページ
16. ブッシュ・ヴィシュニアック、19～20ページ
17. ブッシュ・ヴィシュニアック、18、20ページ
18. ピアース、200ページ
19. • カヴァナ、350ページ
    • ボッケンハム＆フッド、581ページ
20. カヴァナ、349～350ページ

参考文献

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