変換理論

数学において、変換理論とは、ある領域における関数を別の領域における別の関数に関連付ける変換の研究です。変換理論の本質は、ベクトル空間の基底を適切に選択することで、問題を単純化（あるいはスペクトル理論のように対角化）できることです。

よく知られており、広く応用されている変換の主な例としては、フーリエ変換などの積分変換^[1]、分数フーリエ変換、^[2] 、ラプラス変換、線形正準変換^[3]などがあります。これらの変換は、信号処理、光学、量子力学で使用されます。

スペクトル理論

スペクトル理論において、スペクトル定理は、 A がn × nの 自己随伴行列である場合、 Aの固有ベクトルの直交基底が存在することを述べています。これは、 Aが対角化可能であることを意味します。

さらに、各固有値は実数です。

変換

• ラプラス変換
• フーリエ変換
• 分数フーリエ変換
• 線形正準変換
• ウェーブレット変換
• ハンケル変換
• ジューコフスキー変換
• メリン変換
• Z変換

参考文献

• キーナー、ジェームズ・P. 2000. 『応用数学の原理：変換と近似』ケンブリッジ：ウェストビュー・プレス、ISBN 0-7382-0129-4

注記

1. KB Wolf、「科学と工学における積分変換」、ニューヨーク、プレナム プレス、1979 年。
2. Almeida, Luís B. (1994). 「分数フーリエ変換と時間周波数表現」. IEEE Trans. Signal Process. 42 (11): 3084–3091.
3. JJ Healy、MA Kutay、HM Ozaktas、JT Sheridan、「線形標準変換：理論とアプリケーション」、Springer、ニューヨーク、2016年。