転置行列

転置行列（Tr行列）は正方行列、、であり、その要素は与えられたn次元ベクトルの要素から以下のように得られる：、ここで は「ビット単位の排他的論理和」（XOR）演算を表す。転置行列の行と列はベクトルXの要素の順列から成り、行列の2つの行または列ごとに n /2回の転置が存在する。${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$ ${\displaystyle m\in N}$ ${\displaystyle X=(x_{i})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\end{smallmatrix}}}$ ${\displaystyle Tr_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}}$ ${\displaystyle \oplus}$

例

下の図は、任意のベクトルから作成された8次の転置行列を示しています。${\displaystyle Tr(X)}$ ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle Tr(X)=\left[{\begin{array}{cccc|ccccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\\hline x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\end{array}}\right]}$$

プロパティ

• ${\displaystyle Tr}$ 行列は対称行列です。
• ${\displaystyle Tr}$ 行列は非対称行列です。つまり、北東から南西への対角線に対しても対称です。
• 行列の各行と各列は、重複のない指定されたベクトルの n 要素すべてで構成されます。${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle X}$
• 2行の行列は、対角要素の値が同じ4つの要素から構成されます。例えば、行列の同じ列qから任意に選択された2つの要素が と である場合、行列は4つの要素から構成され、これらの要素は式とを満たします。「Tr特性」と呼ばれるこの性質は、行列に特有のものです。${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle Tr_{p,q}}$ ${\displaystyle Tr_{u,q}}$ ${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$ ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}$ ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}$ ${\displaystyle Tr}$

Tr行列の要素の4つ

右の図は、行列内のいくつかの 4 つの要素を示しています。 ${\displaystyle Tr}$

互いに直交する行を持つ転置行列（Trs行列）

行列の4の法則により、4、のそれぞれにおいて符号を奇数個の要素に変更することにより、互いに直交する行と列を持つ行列（行列）を作成することができます。[5]では、Tr行列とn次元アダマール行列のアダマール積（ と表記）を使用して行列を作成するアルゴリズムが提案されています。この行列の行（最初の行を除く）は、シルベスター・アダマール行列の行に対して の順序で並べ替えられており、結果のTrs行列の行は互いに直交しています。 ${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$ ${\displaystyle p,q,u,v\in [1,n]}$ ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle R=[1,r_{2},\dots ,r_{n}]^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in [2,n]}$

$${\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}$$ $${\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}$$

どこ：

• 「 」はアダマール積演算を表す${\displaystyle \circ }$
• ${\displaystyle I_{n}}$ はn次元単位行列です。
• ${\displaystyle H(R)}$ はn次元アダマール行列であり、その行はシルベスター・アダマール[4]行列と指定された順序で入れ替えられ、結果の行列の行は互いに直交する。${\displaystyle R=[1,r_{2},\dots ,r_{n}]^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in [2,n]}$ ${\displaystyle Trs}$
• ${\displaystyle X}$ 行列の要素が導出されるベクトルです。${\displaystyle Tr}$

アダマール行列の行の順序Rは、サイズ2、4、8の行列について実験的に得られました。アダマール行列の行の順序R（シルベスター・アダマール行列に対する）はベクトルに依存しないことに注意することが重要です。[5]において、 が単位ベクトル（つまり）である場合、 （上記のように得られた）行列は反射行列であることが証明されています。 ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \parallel X\parallel =1}$ ${\displaystyle Trs}$

Trs行列を取得する例

ベクトルの順序4の互いに直交する行（行列）を持つ転置行列は次のように得られます。 ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\end{pmatrix}}^{T}}$

$${\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}$$ ここで、はベクトル から得られる行列であり、「 」はアダマール積の演算を表し、はアダマール行列であり、行は指定された順序で入れ替えられ、結果として得られる行列の行は互いに直交する。上図からわかるように、結果として得られる行列の最初の行には、転置や符号の変更が行われていないベクトルの要素が含まれる。行列の行が互いに直交することを考慮すると、 ${\displaystyle Tr(X)}$ ${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle H(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Trs}$ $${\displaystyle Trs(X).X=\left\|X\right\|^{2}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$$

これは、行列がベクトルを座標軸の方向に回転させることを意味する。${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{1}}$

[5]では、サイズn = 2、4、または8のベクトルの行列を作成するMatlab関数のコード例として示されています。8より大きいサイズの行列を作成できるかどうかは未解決の疑問です。 ${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle Trs}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Trs}$

参照

• 対称行列
• 非対称行列
• 直交行列

参考文献

1. ハーヴィル、DA（1997）。統計学者の視点から見た行列代数ソフトカバー。
2. ホーン、ロジャー A.; ジョンソン、チャールズ R. (2013)、『マトリックス分析』（第 2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54823-6
3. ミルスキー、レオニード（1990）『線形代数入門』、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-486-66434-7
4. Baumert, LD; Hall, Marshall (1965). 「ウィリアムソン型のアダマール行列」 . Math. Comp . 19 (91): 442– 447. doi : 10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2 . MR  0179093 .
5. ジェレゾフ、OI（2021）。対称行列の特殊なケースの決定とその応用数学とコンピュータサイエンスの最新トピックス 第6巻、29～45ページ。ISBN 978-93-91473-89-1。

外部リンク

• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html