オイラー・トリコミ方程式

数学において、オイラー・トリコミ方程式は遷音速流の研究に有用な線型 偏微分方程式である。数学者レオンハルト・オイラーとフランチェスコ・ジャコモ・トリコミにちなんで名付けられた。

あなた × × + × あなた y y ＝ 0。 {\displaystyle u_{xx}+xu_{yy}=0.\,}

これは、半平面x  > 0では楕円形、 x  = 0では放物線状、半平面 x  < 0では双曲形である。その特性は以下の通りである。

× d × 2 + d y 2 ＝ 0 、 {\displaystyle x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,}

積分値を持つ

y ± 2 3 × 3 / 2 ＝ C 、 {\displaystyle y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,}

ここで、Cは積分定数である。したがって、この特性曲線は、直線x = 0 上に尖点を持ち、曲線がy軸の右側に位置する、 2つの半三次放物線の族から構成される。

特定の解決策

オイラー・トリコミ方程式の特殊解の一般的な表現は次の通りです。

あなた け 、 p 、 q ＝ ∑ 私 ＝ 0 け （ − 1 ） 私 × メートル 私 y n 私 c 私 {\displaystyle u_{k,p,q}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\frac {x^{m_{i}}y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,}

どこ

け ∈ 北 {\displaystyle k\in \mathbb {N} }
p 、 q ∈ { 0 、 1 } {\displaystyle p,q\in \{0,1\}}
メートル 私 ＝ 3 私 + p {\displaystyle m_{i}=3i+p}
n 私 ＝ 2 （ け − 私 ） + q {\displaystyle n_{i}=2(ki)+q}
c 私 ＝ メートル 私 ! ! ! ⋅ （ メートル 私 − 1 ） ! ! ! ⋅ n 私 ! ! ⋅ （ n 私 − 1 ） ! ! {\displaystyle c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!}


これらを線形に組み合わせると、次のようなさらなるソリューションを形成できます。

k = 0の場合:

あなた ＝ あ + B × + C y + D × y {\displaystyle u=A+Bx+Cy+Dxy\,}

k = 1の場合:

あなた ＝ あ （ 1 2 y 2 − 1 6 × 3 ） + B （ 1 2 × y 2 − 1 12 × 4 ） + C （ 1 6 y 3 − 1 6 × 3 y ） + D （ 1 6 × y 3 − 1 12 × 4 y ） {\displaystyle u=A({\tfrac {1}{2}}y^{2}-{\tfrac {1}{6}}x^{3})+B({\tfrac {1}{2}}xy^{2}-{\tfrac {1}{12}}x^{4})+C({\tfrac {1}{6}}y^{3}-{\tfrac {1}{6}}x^{3}y)+D({\tfrac {1}{6}}xy^{3}-{\tfrac {1}{12}}x^{4}y)\,}

等


オイラー・トリコミ方程式はチャプリギン方程式の極限形です。

参照

参考文献

  • AD Polyanin、「エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック」、Chapman & Hall/CRC Press、2002 年。
  • EqWorld: 数学方程式の世界におけるトリコミ方程式と一般化トリコミ方程式。
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