四面体の三角法

四面体の三角法[ ^{1]は、一般的な}四面体の長さとさまざまな種類の角度の関係を説明します。

三角関数の量

古典的な三角関数の量

以下は、一般的な四面体に一般的に関連付けられる三角関数の量です。

• 6 つの辺の長さ- 四面体の 6 つの辺に関連付けられます。
• 12 個の面角- 四面体の 4 つの面それぞれに 3 個の面角があります。
• 6 つの二面角- 四面体の 6 つの辺に関連付けられます。四面体の任意の 2 つの面は辺で接続されているためです。
• 4 つの立体角- 四面体の各点に関連付けられています。

を一般四面体とし、 を3次元空間内の任意の点とします。 ${\displaystyle X={\overline {P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$

さらに、と を繋ぐ辺とし、を点 の反対側にある四面体の面とします。言い換えると、 ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$

• ${\displaystyle e_{ij}={\overline {P_{i}P_{j}}}}$
• ${\displaystyle F_{i}={\overline {P_{j}P_{k}P_{l}}}}$

ここで、および。 ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle i\neq j\neq k\neq l}$

次の量を定義します。

• ${\displaystyle d_{ij}}$ = 辺の長さ${\displaystyle e_{ij}}$
• ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ =面上の点における面角度${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle F_{j}}$
• ${\displaystyle \theta _{ij}}$ = エッジに隣接する2つの面間の二面角${\displaystyle e_{ij}}$
• ${\displaystyle \Omega _{i}}$ = 点における立体角${\displaystyle P_{i}}$

面積と体積

を面の面積とします。この面積は、ヘロンの公式によって計算できます（3辺の長さがすべてわかっている場合）。 ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle \Delta _{i}={\sqrt {\frac {(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}}}$

または、次の式で表されます（角度と 2 つの対応するエッジがわかっている場合）。

${\displaystyle \Delta _{i}={\frac {1}{2}}d_{jk}d_{jl}\sin \alpha _{j,i}}$

点から面までの高度を とする。四面体の体積は次の式で与えられる。これは次の関係を満たす。^[2]${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\Delta _{i}h_{i}}$$

${\displaystyle 288V^{2}={\begin{vmatrix}2Q_{12}&Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}\\Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&2Q_{13}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}\\Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}&2Q_{14}\end{vmatrix}}}$

辺の四分円（長さの二乗）は どこですか。${\displaystyle Q_{ij}=d_{ij}^{2}}$

三角法の基本的な説明

アフィン三角形

面 をとります。辺の長さは で、それぞれの対角は で与えられます。 ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle d_{jk},d_{jl},d_{kl}}$ ${\displaystyle \alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}}$

この三角形には、 平面三角形の三角法の通常の法則が当てはまります。

射影三角形

点 における射影三角形（球面三角形）を考えます。この射影三角形の頂点は、正四面体の他の3つの頂点と結ぶ3本の直線です。辺の長さは球面長で、それぞれの対角の球面角は で与えられます。 ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$

この射影三角形には、 球面三角法の通常の法則が当てはまります。

四面体における三角法の法則

交代正弦定理

四面体 を取り上げ、その点を頂点とします。交代正弦定理は次の恒等式によって与えられます。この恒等式の2辺は、面の時計回りと反時計回りの向きに対応していると考えることができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{i}}$ $${\displaystyle \sin(\alpha _{j,l})\sin(\alpha _{k,j})\sin(\alpha _{l,k})=\sin(\alpha _{j,k})\sin(\alpha _{k,l})\sin(\alpha _{l,j})}$$

あらゆる形状の四面体の空間

4 つの頂点のいずれかをOの役割に置くと、そのような恒等式が 4 つ生成されますが、そのうち独立しているのは最大で 3 つだけです。4 つの恒等式のうち 3 つの「時計回り」の辺を乗算し、その積が同じ 3 つの恒等式の「反時計回り」の辺の積に等しいと推定され、その後両辺から共通因数が消去されると、結果は 4 番目の恒等式になります。

三つの角が三角形の角であるためには、その和が180°（πラジアン）である必要があります。12の角が四面体の12の角となるためには、どのような条件が必要かつ十分でしょうか？四面体のどの辺の角の和も180°でなければならないことは明らかです。そのような三角形が4つあるため、角の和には4つの制約があり、自由度の数は12から8に減少します。正弦定理によって与えられる4つの関係は、さらに自由度の数を8から4ではなく5に減少させます。これは、4番目の制約が最初の3つの制約と独立していないためです。したがって、すべての四面体の形状の空間は5次元です。^[3]

正弦定理（正四面体）

参照:正弦定理

四面体の余弦定理

正四面体の余弦定理[ ^4]は、正四面体の各面の面積と、ある点の周りの二面角を関係づける。これは次の等式で表される。

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$

四面体の二面角の関係

一般の四面体を取り、その面を面 を持つ平面に投影します。 とします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{i},F_{j},F_{k}}$ ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle c_{ij}=\cos \theta _{ij}}$

すると、面の面積は投影面積の合計で次のように表されます。 を四面体の4つの面のそれぞれに代入すると、次の同次線形方程式系が得られます。この同次系は、次の場合に正確に解を持ちます。この行列式を展開すると、四面体の二面角の関係^[1]は次のようになります。${\displaystyle F_{l}}$ $${\displaystyle \Delta _{l}=\Delta _{i}c_{jk}+\Delta _{j}c_{ik}+\Delta _{k}c_{ij}}$$ ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta _{1}+\Delta _{2}c_{34}+\Delta _{3}c_{24}+\Delta _{4}c_{23}=0\\\Delta _{1}c_{34}-\Delta _{2}+\Delta _{3}c_{14}+\Delta _{4}c_{13}=0\\\Delta _{1}c_{24}+\Delta _{2}c_{14}-\Delta _{3}+\Delta _{4}c_{12}=0\\\Delta _{1}c_{23}+\Delta _{2}c_{13}+\Delta _{3}c_{12}-\Delta _{4}=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&c_{34}&c_{24}&c_{23}\\c_{34}&-1&c_{14}&c_{13}\\c_{24}&c_{14}&-1&c_{12}\\c_{23}&c_{13}&c_{12}&-1\end{vmatrix}}=0}$$ $${\displaystyle 1-\sum _{1\leq i<j\leq 4}c_{ij}^{2}+\sum _{j=2 \atop k\neq l\neq j}^{4}c_{1j}^{2}c_{kl}^{2}=2\left(\sum _{i=1 \atop j\neq k\neq l\neq i}^{4}c_{ij}c_{ik}c_{il}+\sum _{2\leq j<k\leq 4 \atop l\neq j,k}c_{1j}c_{1k}c_{jl}c_{kl}\right)}$$

四面体の辺間の歪んだ距離

一般四面体をとり、を辺上の点とし、を線分が と の両方に垂直となるような辺上の点とします。を線分の長さとします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle P_{kl}}$ ${\displaystyle e_{kl}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle e_{kl}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$

見つけるには：^[1]${\displaystyle R_{ij}}$

まず、を通り に平行な直線を描き、 を通りに平行な直線を描きます。これらの2本の直線の交点を とします。点と を結びます。作図により、は平行四辺形となり、したがってと は合同な三角形となります。したがって、四面体と の体積は等しくなります。 ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle e_{il}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle e_{kl}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{k}P_{i}}}}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{l}P_{i}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y={\overline {OP_{i}P_{j}P_{k}}}}$

結果として、その量は点から四面体の表面までの高さに等しくなります。これは線分の移動によって示されます。 ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$

体積公式によれば、四面体は次の関係式を満たします。ここでは三角形 の面積です。線分の長さは に等しいので（平行四辺形も同様です）、ここで です。したがって、前述の関係式は次のようになります。を得るには、2つの球面三角形を考えます。 ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle 3V=R_{ij}\times \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$$ ${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{i}}}}$ ${\displaystyle d_{kl}}$ ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ $${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})={\frac {1}{2}}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$ ${\displaystyle \lambda =\angle OP_{i}P_{j}}$ $${\displaystyle 6V=R_{ij}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$ ${\displaystyle \sin \lambda }$

1. 四面体の点における球面三角形をとると、辺と対角はそれぞれ となる。球面余弦定理により、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$ $${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}=\cos \alpha _{i,j}\cos \alpha _{i,l}+\sin \alpha _{i,j}\sin \alpha _{i,l}\cos \theta _{ik}}$$
2. 四面体の点における球面三角形をとる。辺は で与えられ、唯一知られている対角は の角で、 で与えられる。球面余弦定理より：${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \pi -\theta _{ik}}$ $${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}\cos \alpha _{k,j}-\sin \alpha _{i,l}\sin \alpha _{k,j}\cos \theta _{ik}}$$

2 つの式を組み合わせると、次の結果が得られます。$${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}\sin \alpha _{k,j}+\cos \lambda \sin \alpha _{i,j}=\cos \alpha _{i,l}\left(\cos \alpha _{i,j}\sin \alpha _{k,j}+\sin \alpha _{i,j}\cos \alpha _{k,j}\right)=\cos \alpha _{i,l}\sin \alpha _{l,j}}$$

主題の作成:したがって、余弦定理といくつかの基本的な三角法を使用すると:したがって:そのため:およびは、辺の長さの順列によって得られます。 ${\displaystyle \cos \lambda }$ $${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}{\frac {\sin \alpha _{l,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}-\cos \alpha _{i,k}{\frac {\sin \alpha _{k,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}}$$ $${\displaystyle \cos \lambda ={\frac {d_{ij}^{2}+d_{ik}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{ik}}}{\frac {d_{ik}}{d_{kl}}}-{\frac {d_{ij}^{2}+d_{il}^{2}-d_{jl}^{2}}{2d_{ij}d_{il}}}{\frac {d_{il}}{d_{kl}}}={\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$$ $${\displaystyle \sin \lambda ={\sqrt {1-\left({\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$$ $${\displaystyle R_{ij}={\frac {12V}{\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}}}$$ ${\displaystyle R_{ik}}$ ${\displaystyle R_{il}}$

分母は、一般的な凸四辺形の面積を求める Bretschneider-von Staudt の式を再定式化したものであることに注意してください。

参考文献

1. リチャードソン, G. (1902-03-01). 「四面体の三角法」.数学雑誌. 2 (32): 149– 158. doi :10.2307/3603090. JSTOR  3603090.
2. 初等数学100大問題. ニューヨーク: ドーバー出版. 1965年6月1日. ISBN 9780486613482。
3. ラサット、アンドレ；ファウラー、パトリック・W. (2004). 「最もキラルな四面体」は存在するか？.化学：ヨーロッパジャーナル. 10 (24): 6575– 6580. doi :10.1002/chem.200400869. PMID  15558830.
4. Lee, Jung Rye (1997年6月). 「四面体における余弦の法則」. J. Korea Soc. Math. Educ. Ser. B: Pure Appl. Math . 4 (1): 1– 6. ISSN  1226-0657.