真理値

論理学と数学において、真理値（論理値とも呼ばれる）は、命題と真理の関係を示す値であり、古典論理学では2つの値（真または偽）しか取り得ない。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}真理値は、コンピューティングだけでなく、さまざまな種類の論理でも使用される。

コンピューティング

一部のプログラミング言語では、ブールデータ型を想定するコンテキストで任意の式を評価できます。通常（プログラミング言語によって異なりますが）、数値ゼロ、空文字列、空リスト、nullなどの式は偽として扱われ、内容を持つ文字列（「abc」など）、その他の数値、オブジェクトは真として評価されます。これらのクラスの式は、偽、真理と呼ばれることもあります。例えば、Lispでは、空リストのnilは偽として扱われ、それ以外の値は真として扱われます。C では、数値 0 または 0.0 は偽として扱われ、それ以外の値は真として扱われます。

JavaScriptでは、空文字列（""）、null、undefined、NaN、+0、^[³^]−0は、厳密に型チェックされたブール値と強制型変換されたブール値を区別するために、偽（その補語は真理）と呼ばれることがあります（ JavaScript構文#型変換も参照）。^[⁴^] Pythonとは対照的に、空のコンテナ（配列、マップ、セット）は真理と見なされます。PHPなどの言語でもこのアプローチが採用されています。 false

古典論理

	⊤	· ∧ ·
	真実	接続詞
¬	↕	↕
	⊥	· ∨ ·
	間違い	分離
否定は真と偽を入れ替え、論理積と論理和を入れ替えます。

古典論理では、その意図された意味論では、真理値は真 $（ 1$ または真 $⊤$ で示される）と偽または偽 $（ 0$ または偽 $⊥$ で示される）である。つまり、古典論理は2 値論理である。この 2 つの値の集合は、ブール領域とも呼ばれる。論理接続詞の対応する意味論は真理値関数であり、その値は真理値表の形式で表現される。論理的な二条件式は等式二項関係になり、否定は真と偽を入れ替える一対一表現になる。連言と選言は否定に関して双対であり、ド・モルガンの法則によって表現される。

\neg(p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q

\neg(p \lor q) \Leftrightarrow \neg p \land \neg q

命題変数はブール領域では変数になります。命題変数に値を割り当てることを評価といいます。

直観主義と構成的論理

古典論理では真理値はブール代数を形成するのに対し、直観論理、そしてより一般的には構成数学では、真理値はハイティング代数を形成する。このような真理値は、局所性、時間性、計算内容など、妥当性の様々な側面を表現することができる。

たとえば、位相空間の開集合を直観主義的な真理値として使用することがあります。この場合、式の真理値は、式が成り立つかどうかではなく、式がどこで成り立つかを表します。

実現可能性において、真理値はプログラムの集合であり、式の妥当性を示す計算上の証拠として理解できます。例えば、「すべての数に対して、それよりも大きな素数が存在する」という命題の真理値は、入力として数 $nを受け取り、$ $n$ よりも大きな素数を出力するすべてのプログラムの集合です。

圏論において、真理値は部分対象分類子の要素として現れる。特に、トポスにおいては、高階論理のあらゆる論理式に部分対象分類子の真理値を割り当てることができる。

ヘイティング代数は多くの要素を持つことがあるが、これは真でも偽でもない真理値が存在するという意味ではない。なぜなら直観主義論理は $\neg(p \neq⊤\landp \neq \neg⊥) （「$ $p$ が真でも偽でもないということはあり得ない」）を証明するからである。^{[ 5 ]}

直観主義型理論では、カリー・ハワード対応は命題と型の同値性を示し、それによれば妥当性は型の居住と同等である。

直観主義的真理値のその他の概念については、Brouwer–Heyting–Kolmogorov 解釈と直観主義論理 § 意味論を参照してください。

多値ロジック

多値論理（ファジー論理や関連性論理など）では、2つ以上の真理値が許容され、何らかの内部構造を持つ場合もあります。例えば、単位区間 $[0, 1]においては、そのような構造は$ 全順序であり、これは様々な真理度の存在として表現されます。

代数的意味論

すべての論理体系が、論理接続詞が真理関数として解釈できるという意味で真理値評価的であるわけではない。例えば、直観主義論理は、その意味論であるブラウワー＝ハイティング＝コルモゴロフ解釈が、論理式の必然的真理性を直接的に規定するのではなく、証明可能性条件によって規定されるため、完全な真理値の集合を欠いている。

しかし、非真理値論理であっても、代数的意味論のように、論理式に値を関連付けることができます。直観主義論理の代数的意味論は、古典的な命題計算のブール代数的意味論と比較すると、ハイティング代数によって与えられます。

参照

参考文献

^ヤロスラフ・シュラムコ、ハインリッヒ・ワンシング「真理値」。エドワード・N・ザルタ編『スタンフォード哲学百科事典』。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。
^ 「真理値」 . Lexico UK English Dictionary .オックスフォード大学出版局. nd
^ 「ECMAScript言語仕様」（PDF） p. 43。2015年4月12日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2011年3月12日閲覧。
^ 「JavaScriptスタイルの要素」 Douglas Crockford. 2011年3月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年3月5日閲覧。
^直観主義論理には第三の真理値がないことの証明、グリヴェンコ 1928

外部リンク

ヤロスラフ・シュラムコ、ハインリッヒ・ワンシング著「真理値」。エドワード・N・ザルタ編『スタンフォード哲学百科事典』。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。

[1] ヤロスラフ・シュラムコ、ハインリッヒ・ワンシング「真理値」。エドワード・N・ザルタ編『スタンフォード哲学百科事典』。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。

[2] 「真理値」 . Lexico UK English Dictionary .オックスフォード大学出版局. nd

[3] 「ECMAScript言語仕様」（PDF） p. 43。2015年4月12日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2011年3月12日閲覧。

[4] 「JavaScriptスタイルの要素」 Douglas Crockford. 2011年3月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年3月5日閲覧。

[5] 直観主義論理には第三の真理値がないことの証明、グリヴェンコ 1928

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