トヴェルグの定理

正七角形の頂点を、交差する凸包を持つ3つの部分集合に分割するトヴェルグ分割

離散幾何学において、1966年にヘルゲ・トヴェルグによって初めて提唱されたトヴェルグの定理[ 1 ]は、ユークリッド空間内の十分な数の点が交差する凸包を持つ部分集合に分割できることを示している。具体的には、任意の正の整数と任意の集合 に対して、d、r{\displaystyle d,r}

（d＋1）（r−1）＋1 {\displaystyle (d+1)(r-1)+1\}

次元ユークリッド空間の点について、与えられた点を、その凸包がすべて共通点を持つ部分集合に分割する定理が存在する。言い換えれば、すべての部分集合の凸包に属するような点（必ずしも与え​​られた点のいずれかである必要はない）が存在する。この定理から得られる分割は、トゥヴェルグ分割と呼ばれる。 d{\displaystyle d}r{\displaystyle r}×{\displaystyle x}×{\displaystyle x}

この特殊なケースは以前ラドンによって証明されており、ラドンの定理として知られています。 r＝2{\displaystyle r=2}

例

実数直線上の任意の点は、交差する凸包を持つ部分集合に分割できると述べられています。実際、点が であれば、 を に分割することはこの条件を満たします（そして一意です）。 d＝1{\displaystyle d=1}2r−1{\displaystyle 2r-1}r{\displaystyle r}×1<×2<。。。<×2r−1{\displaystyle x_{1}x_{2}...<x_{2r-1}＝A×...<x_{2r-1}、×2r−...<x_{2r-1}i{...<x_{2r-1}＝1、。。。、r}

トゥヴェルグの定理は、次元ユークリッド空間内の任意の点は、交差する凸包を持つ2つの部分集合に分割できることを述べています。これはラドンの定理として知られています。この場合、一般的な位置にある点については、分割は一意です。 r＝2{\displaystyle r=2}d＋2{\displaystyle A_{i}=\{x_{i},x_{2r-i}\}}d{\displaystyle d}

と は、平面上の任意の7点が、交差する凸包を持つ3つの部分集合に分割できることを述べています。図は、7点が正七角形の頂点である場合の例を示しています。例が示すように、同じ点集合には複数の異なるトヴェルグ分割が存在する可能性があり、これらの7点は、互いの回転によって異なる7つの異なる方法で分割できます。 r＝{\displaystyle i=1,...,r}{\displaystyle d+2}d＝23

位相的トヴェルグ定理

トヴェルグの定理の同等の定式化は次のとおりです

を正の整数とし、 とする。 が-次元単体からへの任意のアフィン関数である場合、の像が交差する、 の互いに素な面が2つ存在する。つまり、および となるようなの面が存在する。d、r{\displaystyle d,r}{\displaystyle r=3}{\displaystyle d=2}（d＋1）（r−1）N:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}{\displaystyle r=3}f{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}Δd{\displaystyle \Delta ^{N}}r{\displaystyle r}{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}R1、。。。、Rr{\displaystyle \mathbb {R}^{d}}{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}F...<x_{2r-1}、{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}∀jr∈[R...<x_{2r-1}]R{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}＝：∩:=（R1）]∅]:=（Rr）{\displaystyle \forall i,j\in [r]:F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }：⋯

これらは同値です。なぜなら、単体上の任意のアフィン関数はその頂点の像により一意に決まるからです。正式には、を から へのアフィン関数とします。を の頂点、を でのそれらの像とします。元の定式化により、 は、例えばが重なり合う凸包を持つ、互いに素な部分集合に分割できます。はアフィンなので、 の凸包は、すべての について、頂点が張る面の像です。これらの面は、2 つが互いに素であり、 でのそれらの像は、再定式化により主張されるように、交差します。位相的な Tverberg の定理(1976 年に Bárány が Tverberg に宛てた手紙[ 2 ]で初めて仮説を立てた) は、この定式化を一般化します。これにより、 を任意の連続関数 (必ずしもアフィンである必要はありません) とすることができます。ただし、が素数 のべき乗である場合にのみ成り立ちます。:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}Δd{\displaystyle \Delta ^{N}}≠1、≠2、{\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }、≠{\displaystyle r=3}＋1v{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}×1、×2、{\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }、×{\displaystyle r=3}＋1…:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}×1、×2、{\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }、×{\displaystyle r=3}＋1…r{\displaystyle r}（A×...<x_{2r-1}[...<x_{2r-1}∀x_{2}{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}i）{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}∀jr∈{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots,v_{N+1}}:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}A×...<x_{2r-1}[...<x_{2r-1}∀x_{2}{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}i{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots,x_{N+1}}A≠...<x_{2r-1}[...<x_{2r-1}∀x_{2}{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}i{\displaystyle (\{x_{i}:i\in A_{j}\})_{j\in [r]}}{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}∀jr∈{\displaystyle \{x_{i}:i\in A_{j}\}}:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}r{\displaystyle r}

を正の整数とし、を素数のべき乗とする。 とする。 が-次元単体からへの連続関数である場合、の像が交差する、互いに素な面が2つ存在する。つまり、と となるようなの面が存在する。d{\displaystyle d}r{\displaystyle r}{\displaystyle r=3}{\displaystyle d=2}（d＋1）（r−1）N:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}{\displaystyle r=3}f{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}Δd{\displaystyle \Delta ^{N}}r{\displaystyle r}{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}:={\displaystyle N:=(d+1)(r-1)}R1、。。。、Rr{\displaystyle \mathbb {R}^{d}}{\displaystyle f}{\displaystyle r=3}{\displaystyle N}F...<x_{2r-1}、{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}∀jr∈[R...<x_{2r-1}]R{\displaystyle F_{1},...,F_{r}}＝：∩:=（R1）]∅]:=（Rr）{\displaystyle \forall i,j\in [r]:F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }：⋯

証明と反証

位相的トヴェルグ定理は、バラニー、シュロスマン、シュチュクによって素数に対して証明されました。[ 3 ]マトウシェク[ 4 ]は、 削除された結合を用いた証明を提示していますr{\displaystyle r}

この定理は素数冪に対してオザイディン[ 5 ]によって証明され、その後ヴォロビコフ[ 6 ]とサルカリア[ 7 ]によって証明された。r{\displaystyle r}

位相的トゥヴェルグ定理の主張が任意の（すなわち素数でない）べき乗に対しても成り立つかどうかは、長年の未解決問題であった。しかし、2015年にフリック[ 8 ]は、オザイディンの研究、マビラールとワグナーによる「- 倍ホイットニートリック」[ 9 ] 、そしてブラゴイェヴィッチ、ツィーグラー、フリックによる「制約法」[ 10 ]を統合すると、反例が導かれることを指摘した。 r{\displaystyle r}r{\displaystyle r}

参照

参考文献

  1. ^ Tverberg, H. (1966)、「ラドンの定理の一般化」(PDF)、ロンドン数学会誌、41 : 123–128、doi : 10.1112/jlms/s1-41.1.123
  2. ^ Blagojević, PVM; Ziegler, GM (2017)、「Borsuk–Ulam定理を超えて：位相的Tverberg物語」、Loebl, M.; Nešetřil, J.; Thomas, R.（編）、『離散数学の旅』、Springer、Cham、pp.  273– 341、doi：10.1007/978-3-319-44479-6_11、ISBN 978-3-319-44478-9
  3. ^ Bárány, I.; Shlosman, SB; Szűcs, A. (1981年2月)、「Tverbergの定理の位相的一般化について」、ロンドン数学会誌、s2-23 (1): 158– 164、doi : 10.1112/jlms/s2-23.1.158
  4. ^ Matoušek, Jiří (2007), Borsuk-Ulam Theorem の使用: 組合せ論と幾何学における位相的手法の講義(第2版), Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00362-5アンダース・ビョルナーとギュンター・M・ツィーグラーとの共同執筆 、第4.3節、162-163ページ
  5. ^ Özaydin, M. (1987)、「対称群の同変マップ」（プレプリント）、ウィスコンシン大学マディソン校、hdl : 1793/63829
  6. ^ Volovikov, A. Yu. (1996年3月)、「トヴェルグ定理の位相的一般化について」、数学ノート、59 (3): 324–326、doi : 10.1007/BF02308547、ISSN 1573-8876、S2CID 122078369  
  7. ^ Sarkaria, KS (2000年11月)、「Tverberg分割とBorsuk–Ulam定理」、Pacific Journal of Mathematics、196 (1): 231– 241、doi : 10.2140/pjm.2000.196.231、ISSN 0030-8730 
  8. ^ Frick, F. (2015)、「位相的トヴェルグ予想に対する反例」、arXiv : 1502.00947 [ math.CO ]
  9. ^ Mabillard, I.; Wagner, U. (2014)、「Tverberg点の除去、I. Whitneyトリックの類似点」、第30回計算幾何学シンポジウム論文集、pp.  171– 180、doi : 10.1145/2582112.2582134、ISBN 978-1-4503-2594-3
  10. ^ Blagojević, PVM; Frick, F.; Ziegler, GM (2014)、「Tverberg plus 制約」、ロンドン数学会報、46 (5): 953–967、arXiv : 1401.0690、doi : 10.1112/blms/bdu049

さらに詳しい情報

  • ヘル、ステファン（2006）、「トヴェルグ型定理と分数ヘリー性」（博士論文）、ベルリン工科大学、doi：10.14279/depositonce-1464
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