2の12乗根

オクターブ（12 半音）は、線形周波数スケール（Hz）で測定すると指数関数的に増加します。

オクターブは、対数スケール (セント) で測定すると等間隔になります。

2の12乗根（または同義）は代数的無理数であり、約1.0594631に等しい。これは西洋音楽理論において重要であり、半音（${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/12}}$ 遊ぶ^ⓘ）は、12平均律における音程の単位音楽の調律との関連で初めて提案されました。これにより、異なる音程（周波数比）を、平均律の半音という単一の音程の異なる数として測定・比較することが可能になります（例えば、短3度は半音3つ、長3度は半音4つ、完全5度は半音7つです）。 ^{[ a ]}半音自体は100セント（1セント =）。 ${\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}}$

数値

2桁から20桁までの有効数字の12乗根は1.059 463 094 359 295 2646 . ^{[ 2 ]} 連分数は[1: 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, ...] で始まります^{[ 3 ]}ので、単純な有理近似は⁠18/17⁠。

平均律半音階

音楽の音程は周波数の比率であり、平均律半音階はオクターブ（2:1の比率）を12の均等な部分に分割します。各音の周波数は、その下の音の2 ^1/12倍^{です。[ 4 ]}

この値を、周波数 440 Hz の中央Cの上のA ( A ₄と呼ばれる)から始まる半音階の音に連続的に適用すると、次のピッチのシーケンスが生成されます。

注記	A 440に関連する 標準間隔名	周波数（Hz）	乗数	係数（小数点以下6桁まで）	純正律比	差額（±セント）
あ	ユニゾン	440.00	2 ^0^⁄^12	1,000 000	1	0
A ＃ / B ♭	短2度/半音/半音	466.16	2 ^1^⁄^12	1.059 463	≈ 16 ⁄ 15	+11.73
B	長二度/全音/全音	493.88	2 ^2^⁄^12	1.122 462	≈ 9 ⁄ 8	−3.91
C	短3度	523.25	2 ^3^⁄^12	1.189 207	≈ 6 ⁄ 5	+15.64
C ＃ / D ♭	長三度	554.37	2 ^4^⁄^12	1.259 921	≈ 5 ⁄ 4	−13.69
D	完全4度	587.33	2 ^5^⁄^12	1.334 839	≈ 4 ⁄ 3	−1.96
D ＃ / E ♭	増四度／減五度／三全音	622.25	2 ^6^⁄^12	1.414 213	≈ 7 ⁄ 5	+17.49
E	完全五度	659.26	2 ^7^⁄^12	1.498 307	≈ 3 ⁄ 2	+1.96
F	短6度	698.46	2 ^8^⁄^12	1.587 401	≈ 8 ⁄ 5	+13.69
F ＃ / G ♭	長六度	739.99	2 ^9^⁄^12	1.681 792	≈ 5 ⁄ 3	−15.64
G	短七度	783.99	2 ^10^⁄^12	1.781 797	≈ 16 ⁄ 9	+3.91
G ＃ / A ♭	長七度	830.61	2 ^11^⁄^12	1.887 748	≈ 15 ⁄ 8	−11.73
あ	オクターブ	880.00	2 ^12^⁄^12	2,000 000	2	0

最後のA (A _{5 : 880 Hz) は、下の}A (A ₄ : 440 Hz)のちょうど 2 倍の周波数、つまり 1 オクターブ高くなります。

その他のチューニングスケール

他のチューニングスケールでは、若干異なる音程比を使用します。

• 純正またはピタゴラス完全五度は 3/2 であり、平均律完全五度と純正の完全五度の差はgrad 、つまりピタゴラスコンマ( )の 12 乗根です。${\textstyle {\sqrt[{12}]{531441/524288}}}$
• 平均律ボーレン＝ピアース音階は、 3 の 13 乗根 ( ) の音程を使用します。${\textstyle {\sqrt[{13}]{3}}}$
• シュトックハウゼンの「Studie II」 （1954）では、5×5 の部分に分割された複合長三度である25 の 5 乗根（ ）が使用されています。${\textstyle {\sqrt[{25}]{5}}}$
• デルタスケールは≈ に基づいています。${\textstyle {\sqrt[{50}]{3/2}}}$
• ガンマスケールは≈ に基づいています。${\textstyle {\sqrt[{20}]{3/2}}}$
• ベータスケールは≈ に基づいています。${\textstyle {\sqrt[{11}]{3/2}}}$
• アルファスケールは≈ に基づいています。${\textstyle {\sqrt[{9}]{3/2}}}$

ピッチ調整

モノコード（線形）の1オクターブの12四重奏

半音円は音符間の等間隔を表します（対数）

半音の周波数比はほぼ106% ( ) なので、録音の再生速度を6% 増減すると、ピッチは約1半音、つまり「半音」上下にシフトします。高級なリール式磁気テープレコーダーは、通常最大±6%のピッチ調整が可能で、これは主に、再生または録音のピッチを、わずかに異なるチューニングを持つ他の音楽ソース（あるいは、適切な速度で再生されていない機器で録音された音源）に合わせるために使用されます。現代のレコーディングスタジオでは、デジタルピッチシフトを利用して同様の結果を実現しており、セント単位から半音単位までの範囲で調整可能です。リール式調整は録音された音のテンポにも影響を与えますが、デジタルシフトは影響を与えません。 ${\textstyle 100{\sqrt[{12}]{2}}\approx 105.946}$

歴史

歴史的にこの数は、1580年にシモン・ステヴィンによって音楽の調律との関連で初めて提案されました（草稿作成、書き直しは1610年）。^{[ 5 ]} 1581年にイタリアの音楽家ヴィンチェンツォ・ガリレイが、おそらくヨーロッパ人として初めて12音平均律を提案しました。^{[ 1 ]} 2の12乗根は、1584年に中国の数学者で音楽家の朱在玉がそろばんを使って小数点以下24桁まで正確に計算し、^{[ 1 ]} 1605年頃にフランドルの数学者シモン・ステヴィン、^{[ 1 ]} 1636年にフランスの数学者マラン・メルセンヌ、1691年にドイツの音楽家アンドレアス・ヴェルクマイスターによって計算されました。^{[ 6 ]}

参照

• フレット
• 純正律 § 実用上の困難
• 音楽と数学
• ピアノのキー周波数
• 科学的ピッチ記法
• 十二音技法
• 平均律クラヴィーア曲集

注記

1. 「平均律における最小の音程は比 であるので、比rは比p (= 1オクターブで 2/1) をn等分する。」 ^{[ 1 ]}${\displaystyle r^{n}=p}$ ${\displaystyle r={\sqrt[{n}]{p}}}$

参考文献

1. ジョセフ、ジョージ・ゲヴェルゲーゼ (2010). 『孔雀の紋章：数学の非ヨーロッパ起源』 p.294-5. 第3版. プリンストン. ISBN 9781400836369。
2. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A010774 (2の12乗根の10進展開)」 .整数数列オンライン百科事典. OEIS財団.
3. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A103922 (2の12乗根 2^(1/12) の連分数展開)」 .オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
4. 「平均律｜定義と事実｜ブリタニカ」 www.britannica.com 2024年6月3日閲覧。
5. クリステンセン、トーマス（2002）、ケンブリッジ西洋音楽理論の歴史、ケンブリッジ大学出版局、p.  205、ISBN 978-0521686983
6. グッドリッチ、L. キャリントン (2013).『中国人民小史』 [^{ページなし]} . クーリエ. ISBN 9780486169231. 引用：Chu Tsai-yü (1584).共鳴管の研究に関する新たな考察.

さらに読む

• バーバー, JM (1933). 「16世紀における中国におけるπの近似値」アメリカ数学月刊誌. 40 (2): 69– 73. doi : 10.2307/2300937 . JSTOR  2300937 .
• エリス、アレクサンダー、ヘルムホルツ、ヘルマン(1954). 『音の感覚について』 ドーバー出版. ISBN 0-486-60753-4。
• パーチ、ハリー（1974年）『音楽の起源』ダ・カーポ・プレス、ISBN 0-306-80106-X。