神聖な比率：有理三角法から普遍幾何学へ
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| 著者 | ノーマン・J・ワイルドバーガー |
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| ジャンル | 数学 |
| 出版社 | ワイルドエッグ |
発行日 | 2005 |
『神の比例：有理三角法から普遍幾何学へ』は、数学者ノーマン・J・ワイルドバーガーが2005年に出版した著書で、ユークリッド幾何学と三角法に代わるアプローチとして有理三角法を提案しています。本書では、三角法の通常の基本量であるユークリッド距離と角度を、それぞれ距離の2乗と角度の正弦の2乗に置き換えることを提唱しています。これは論理的に標準的な展開と等価です（置き換えた量を標準的な量で表すことができ、その逆も可能であるため）。著者は、このアプローチには無理数を必要としないなどの利点があると主張しています。
この本は、ヴィルトバーガーが自身の出版社ワイルド・エッグを通じて「実質的に自費出版」[ 1 ]したものです。本書に収められた公式や定理は正しい数学として認められていますが、実用的あるいは教育的な優位性に関する主張は主にヴィルトバーガー自身によって推進されており、賛否両論の評価を受けています。
概要
神聖な比率の中心的な考え方は、距離をユークリッド距離の2乗（ワイルドバーガーはこれを四角形と呼ぶ）に置き換え、角度の尺度をその正弦の2乗（ワイルドバーガーはこれを2直線間の広がりと呼ぶ）に置き換えることである。神聖な比率は、線分または交差する2本の線分を決定する点の直交座標から、これらの概念の両方を直接定義する。このように定義される線分または交差する2本の線分は、これらの座標の有理関数であり、距離や角度の尺度を計算する際に必要な平方根や逆三角関数を必要とせずに直接計算することができる。[ 1 ]
有限主義者のヴィルドバーガーにとって、この置き換えは、実数の定義に用いられる極限や実無限という概念を回避できるという利点があるが、ヴィルドバーガーはこれらの概念は根拠がないと主張している。[ 2 ] [ 1 ]また、この置き換えによって、同様の概念を、四角形や広がりの同じ公式を用いて、有理数から有限体などの他の数体系に直接拡張することも可能になる。 [ 1 ]さらに、この方法では、2 つの線分によって形成される2 つの補角の曖昧さが回避される。なぜなら、両方の角度が同じ広がりを持つからである。この体系は、より直感的で、2 次元から 3 次元に容易に拡張できると主張されている。 [ 3 ]しかし、これらの利点と引き換えに、距離と角度の加法性が失われる。たとえば、線分を 2 つに分割する場合、その長さは 2 つの部分の長さの合計であるが、部分の四角形を組み合わせるのはより複雑で、平方根が必要となる。[ 1 ]
構成とトピック
『神聖なる比例』は4部に分かれている。第1部では、距離と角度の代わりに四分円と広がりを用いる方法の概要を示し、その利点を論じる。第2部では、第1部で述べた主張を形式化し、厳密に証明する。[ 1 ]直線を無限の点の集合として定義するのではなく、同次座標によって定義する。同次座標は、点と直線の出現頻度を検定する公式に用いることができる。正弦と同様に、余弦と正接も「交差」と「ねじれ」と呼ばれる有理数に置き換えられ、『神聖なる比例』では、これらの量を含む三角関数の恒等式の様々な類似例を展開している。 [ 3 ]ピタゴラスの定理、正弦定理、余弦定理の諸バージョンを含む。[ 4 ]
パートIIIでは、前の2部で開発したツールを使って三角形と円錐曲線の幾何学を展開します。 [ 1 ]三角形の面積を辺の長さから計算するヘロンの公式や、円の弦が円上の他の点に対してなす角が等しいという円周角定理などのよく知られた結果を、四分円と広がりの観点から再定式化し、任意の数体に一般化します。[ 3 ] [ 5 ]最後に、パートIVでは物理学と測量における実際的な応用を検討し、高次元ユークリッド空間と極座標への拡張を展開します。[ 1 ]
観客
『神々の比率』は読者に数学的な素養をあまり要求しないが、長々とした数式、有限体の頻繁な考察、そして（第1部以降）数学的な厳密さの強調は、一般の数学者にとっては障害となる可能性が高い。むしろ、本書は主に数学教師と研究者向けに書かれている。しかしながら、数学を学ぶ学生にも読める可能性があり、数学の授業の基礎として活用できる演習問題も含まれている。[ 1 ] [ 6 ]
批評家の反応
本書で評論家から最も好意的に受け止められたのは、距離幾何学と角幾何学の成果を有限体へと拡張した点である。評論家のローラ・ウィズウェルはこの研究に感銘を受け、正五角形を含む最小の有限体はであるという結果に魅了された。[ 1 ]マイケル・ヘンレは本書の第3部で、三角形と円錐断面幾何学の有限体への拡張を「非常に一般性の高いエレガントな理論」と呼んでいる。[ 4 ]ウィリアム・バーカーも本書のこの点を高く評価し、「特に斬新」であり、新たな研究方向を切り開く可能性があると述べている。[ 6 ]
ウィズウェルは、本研究で出典を明示せずに提示されている詳細な結果のうち、実際に新規なものがどれだけあるのかという疑問を提起している。[ 1 ]この点に関して、マイケル・ヘンレは、ユークリッド距離の二乗の使用は「他の分野でもしばしば便利であることが分かっている」と指摘している。[ 4 ]例えば、距離幾何学、最小二乗統計、凸最適化などで用いられている。ジェームズ・フランクリンは、線形代数を用いて従来モデル化された3次元以上の空間において、神聖比例による広がりの使用は、三角関数の代わりに内積を用いる標準的な手法とそれほど変わらないと指摘している。 [ 5 ]
ヘンレが指摘したヴィルトバーガー法の利点は、単純な代数だけを用いるため、証明が理解しやすく、コンピュータで検証しやすいことである。しかし、ヘンレは、この本が主張する全体的な理論の単純さは、四分円と広がりを距離、角度、正弦といった対応する古典的な概念ではなく、古典的な三角法のより幅広いツールと比較しているという誤った比較に基づいていると示唆している。また、関数電卓を持つ学生にとっては、平方根や三角関数を避ける式は問題ではないと指摘し、[ 4 ]バーカーは、新しい式には個別の計算ステップが多く含まれることが多いと付け加えている。[ 6 ]複数の査読者が、学生に三角法を教えるのに必要な時間の短縮は非常にありがたいと感じていたが、[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]ポール・キャンベルは、これらの方法が実際に学習を加速させるかどうかについては懐疑的である。[ 7 ]ジェリー・レバーシャは偏見を持たず、「ワイルドバーガーが出版すると約束している生徒向けの教科書や、学生をモルモットにした実験を見るのは興味深いだろう」と書いている。[ 3 ]しかし、これらの教科書や実験はまだ出版されていない。
ウィズウェルは、従来の幾何学にはこれらの方法が回避できる根本的な欠陥があるという主張には納得していない。[ 1 ]ウィズウェルに同意しながらも、バーカーは、無限に対するヴィルトバーガーの哲学的疑念を共有する数学者が他にもいるかもしれないと指摘し、この研究は彼らにとって大きな関心事となるはずだとしている。[ 6 ]
複数の査読者が提起した最後の問題は、慣性である。仮にこれらの方法がより優れていると仮定したとしても、彼らは、これらの方法が、これらの方法で幾何学と三角法を再学習するという個人の多大な努力、そして古典的な幾何学と三角法の代わりにこれらの方法を用いるよう学校のカリキュラムを改訂するという制度的な努力に見合うほど優れているのかどうかを問うている。ヘンレ、バーカー、そしてレバーシャは、本書がこの点を立証していないと結論付けている[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]。しかし、サンドラ・アーリングハウスは、本書を、彼女の数理地理学のような「伝統的な制度的硬直性に比較的投資が少なかった」分野にとって、そのような代替の可能性を示す機会と捉えている[ 8 ] 。
参照
- パールズ配置、有理座標では表せないユークリッド平面上の点と線の有限集合
参考文献
- ^ a b c d e f g h i j k lウィズウェル、ローラ（2007年6月）、「神的比例のレビュー」、エディンバラ数学協会紀要、50（2）：509-510、doi：10.1017/S0013091507215020、ProQuest 228292466
- ^ゲフター、アマンダ（2013）「心を揺さぶる数学：なぜ無限は消え去らなければならないのか」、ニューサイエンティスト、219（2930）：32-35、Bibcode：2013NewSc.219...32G、doi：10.1016/s0262-4079（13）62043-6
- ^ a b c d e fレバーシャ、ジェリー（2008年3月）、「神の比率のレビュー」、数学ガゼット、92（523）：184– 186、doi：10.1017/S0025557200182944、JSTOR 27821758、S2CID 125430473
- ^ a b c d eヘンレ、マイケル（2007年12月）「神的比例のレビュー」アメリカ数学月刊誌、114（10）：933–937、JSTOR 27642383
- ^ a b cフランクリン、ジェームズ（2006年6月）、 「神の比率のレビュー」（PDF）、数学インテリジェンサー、28（3）：73– 74、doi：10.1007/bf02986892、S2CID 121754449
- ^ a b c d eバーカー、ウィリアム（2008年7月） 「 Divine Proportionsのレビュー」、MAAレビュー、アメリカ数学会
- ^ a b Campbell, Paul J. (2007年2月)、「 Divine Proportionsのレビュー」、Mathematics Magazine、80 (1): 84– 85、doi : 10.1080/0025570X.2007.11953460、JSTOR 27643001、S2CID 218543379
- ^アーリングハウス、サンドラ・L.（2006年6月）、 「神の比率のレビュー」、ソルスティス：地理数学の電子ジャーナル、17（1）、HDL：2027.42 / 60314
