ねじれたK理論

数学において、ツイストK理論（局所係数を持つK理論[1]とも呼ばれる）は、代数的位相幾何学、抽象代数、作用素理論にまたがる1950年代の数学的理論であるK理論のバリエーションである。

より具体的には、ツイストHを伴うツイストK理論は、K理論の特殊な変種であり、ツイストは整数3次元コホモロジー類によって与えられる。K理論が許容する様々なツイストの中で、このツイストは2つの理由から特別である。第一に、幾何学的定式化が可能である。これは2段階に分けて提示された。最初の段階は1970年にピーター・ドノヴァンとマックス・カルービによって（Publ. Math. de l' IHÉS ）、2番目の段階は1988年にジョナサン・ローゼンバーグによって「バンドル理論の観点から見た連続トレース代数」で提示された。

物理学においては、 Dブレーン、ラモンド・ラモンド場の強度、そして場合によってはスピノルさえも、II型弦理論に分類されると推測されている。弦理論におけるツイストK理論の詳細については、「K理論（物理学）」を参照のこと。

K理論のより広い文脈では、それぞれの分野において多数の同型定式化が存在し、多くの場合、様々な分野における定義を関連付ける同型性が証明されている。また、K理論には多数の変形があり、例えば抽象代数においては、任意の整コホモロジー類によって変形することができる。

意味

ローゼンバーグのツイストK理論の幾何学的定式化を動機付けるために、アティヤ・イェーニヒの定理から始める。

F r e d ( H ) , {\displaystyle Fred({\mathcal {H}}),}

ヒルベルト空間上のフレドホルム作用素は、通常の非ねじれK理論の分類空間である。これは、その空間のK理論が写像の ホモトピー類から構成されることを意味する。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} M {\displaystyle M}

[ M → F r e d ( H ) ] {\displaystyle [M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]}

からまで M {\displaystyle M} F r e d ( H ) . {\displaystyle Fred({\mathcal {H}}).}

同じことをもう少し複雑に表現すると、次のようになります。上の の自明なバンドル、つまり と の直積を考えます。すると、 のK理論は、このバンドルの切断のホモトピー類から構成されます。 F r e d ( H ) {\displaystyle Fred({\mathcal {H}})} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} F r e d ( H ) {\displaystyle Fred({\mathcal {H}})} M {\displaystyle M}

これをさらに複雑にするために、些細な例を導入する。

P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}

上の束、ここで はヒルベルト空間上の射影ユニタリ作用素の群である。すると写像群は P {\displaystyle P} M {\displaystyle M} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

[ P → F r e d ( H ) ] P U ( H ) {\displaystyle [P\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}}

からへの作用の下で同変な写像は、写像の元の群と同等である。 P {\displaystyle P} F r e d ( H ) {\displaystyle Fred({\mathcal {H}})} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}

[ M → F r e d ( H ) ] . {\displaystyle [M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})].}

通常のK理論のこのより複雑な構成は、ツイストの場合にも自然に一般化される。これを理解するには、上のバンドルがの第三整コホモロジー群の元によって分類されることに注意する。これは、 が位相的に代表的アイレンベルグ・マクレーン空間であるという事実の帰結である。 P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} M {\displaystyle M} H {\displaystyle H} M {\displaystyle M} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}

K ( Z , 3 ) {\displaystyle K(\mathbf {Z} ,3)} 。

一般化は簡単です。ローゼンバーグは次のように定義しています。

K H ( M ) {\displaystyle K_{H}(M)} 、

3クラス によってねじれた のねじれK理論は、上の自明バンドルの切断のホモトピー類の空間であり、上の3クラス のファイバーバンドルに関して共変である。つまり、 M {\displaystyle M} H {\displaystyle H} F r e d ( H ) {\displaystyle Fred({\mathcal {H}})} M {\displaystyle M} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} P H {\displaystyle P_{H}} M {\displaystyle M} H {\displaystyle H}

K H ( M ) = [ P H → F r e d ( H ) ] P U ( H ) . {\displaystyle K_{H}(M)=[P_{H}\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}.}

同様に、これはクラス のバンドルに関連付けられたバンドルのセクションのホモ​​トピー クラスの空間です。 F r e d ( H ) {\displaystyle Fred({\mathcal {H}})} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} H {\displaystyle H}

K理論との関係

が自明な類であるとき、ツイストK理論は単にツイストされていないK理論であり、環である。しかし、が非自明な類であるとき、この理論はもはや環ではない。加法は存在するが、乗法に関して閉じていない。 H {\displaystyle H} H {\displaystyle H}

しかし、あらゆる可能なねじれを持つ のツイストK理論の直和は環となる。特に、ねじれを持つK理論の元とねじれを持つK理論の元との積は、 によってねじれたK理論の元となる。この元は、フレドホルム作用素の随伴関数を用いて上記の定義から直接構築でき、それらから特定の2 x 2行列を構築することができる（参考文献1を参照。より自然で一般的なZ/2次バージョンも示されている）。特に、ねじれK理論は古典的なK理論上の加群である。 M {\displaystyle M} H {\displaystyle H} H ′ {\displaystyle H'} H + H ′ {\displaystyle H+H'}

計算

物理学者は通常、アティヤ・ヒルツェブルッフのスペクトル列 を用いてツイストK理論を計算したいと考える。[2]その考え方は、ツイストされた を計算するかツイストされたを計算するかに応じて、偶数または奇数の積分コホモロジーのすべてから始め、次に一連の微分演算子に関してコホモロジーをとるというものである。例えば、最初の演算子 は、弦理論ではヌヴー・シュワルツの3次元形式に対応する3クラスと、3番目のスティーンロッド平方の和である。[3]したがって、 K 0 {\displaystyle K_{0}} K 0 {\displaystyle K^{0}} d 3 {\displaystyle d_{3}} H {\displaystyle H}

d 3 p , q = S q 3 + H {\displaystyle d_{3}^{p,q}=Sq^{3}+H}

次の演算子 の基本形は未だ見つかっていないが、いくつかの予想形が存在する。高次の演算子は、臨界超弦理論における関心の次元である10次元多様体の -理論には寄与しない。マイケル・アティヤとグレアム・シーガルは、有理数体上では、すべての微分がのマッセイ積に帰着することを示した。[4] d 5 {\displaystyle d_{5}} K {\displaystyle K} M {\displaystyle M}

完全な微分級数に関してコホモロジーをとった後、集合としてねじれた -理論が得られますが、完全な群構造を得るには一般に拡張問題を解く必要があります。 K {\displaystyle K}

例: 三球

三次元球面 は、 と を除いて自明なコホモロジーを持ち、これらは両方とも整数 と同型である。したがって、偶数コホモロジーと奇数コホモロジーは両方とも整数 と同型である。三次元球面は 3 次元であり、これは 5 より小さいため、3 番目のスティーンロッド平方はそのコホモロジー上で自明であり、したがって最初の非自明な微分は である。後の微分はコホモロジー類の次数を 3 より大きく増加させるため、これも自明である。したがって、ねじれた-理論は、 3 次元の でカップ状にすることでクラスに作用する演算子のコホモロジーである。 S 3 {\displaystyle S^{3}} H 0 ( S 3 ) {\displaystyle H^{0}(S^{3})} H 3 ( S 3 ) {\displaystyle H^{3}(S^{3})} d 3 = H {\displaystyle d_{3}=H} K {\displaystyle K} d 3 {\displaystyle d_{3}} H {\displaystyle H}

が自明類、零であると仮定する。するとも自明となる。したがって、その定義域全体が核となり、その像には何も存在しない。したがって、偶コホモロジーにおけるの核は であり、これは整数からなる完全な偶コホモロジーである。同様に、は の像で割った奇コホモロジー、つまり自明群で割ったものから構成される。こうして、元の奇コホモロジーが残り、これも整数となる。結論として、自明なねじれを持つ三次元球面のと はどちらも整数と同型である。予想通り、これはねじれのない -理論と一致する。 H {\displaystyle H} d 3 {\displaystyle d_{3}} K H 0 ( S 3 ) {\displaystyle K_{H}^{0}(S^{3})} d 3 {\displaystyle d_{3}} K H 1 ( S 3 ) {\displaystyle K_{H}^{1}(S^{3})} d 3 {\displaystyle d_{3}} K 0 {\displaystyle K^{0}} K 1 {\displaystyle K^{1}} K {\displaystyle K}

ここで、 が自明でない場合を考えてみましょう。は、整数 と同型な第3整数コホモロジーの元として定義されます。したがって、は数 に対応し、これを と呼びます。はの元を取り、の元を生成します。は仮定によりゼロではないため、 の核の唯一の元はゼロ元であり、したがって です。 の像は、の倍数である整数のすべての元で構成されます。したがって、の像で割った奇コホモロジー は、位数 の巡回群、です。結論として H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} n {\displaystyle n} d 3 {\displaystyle d_{3}} m {\displaystyle m} H 0 {\displaystyle H^{0}} n m {\displaystyle nm} H 3 {\displaystyle H^{3}} n {\displaystyle n} d 3 {\displaystyle d_{3}} K H = n 0 ( S 3 ) = 0 {\displaystyle K_{H=n}^{0}(S^{3})=0} d 3 {\displaystyle d_{3}} n {\displaystyle n} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } d 3 {\displaystyle d_{3}} n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } n {\displaystyle n} Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n}

K H = n 1 ( S 3 ) = Z / n {\displaystyle K_{H=n}^{1}(S^{3})=\mathbb {Z} /n}

弦理論では、この結果は、-フラックスの単位を持つ 3 次元球面上のD ブレーンの分類を再現します。これは、レベル の超対称WZW モデルの対称境界条件のセットに対応します。 n {\displaystyle n} H {\displaystyle H} S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} n − 2 {\displaystyle n-2}

この計算はSU(3)の群多様体にも拡張できる。[5] この場合、におけるスティーンロッド平方項、演算子、および拡張問題は非自明である。 d 3 {\displaystyle d_{3}} d 5 {\displaystyle d_{5}}

参照

注記

  1. ^ ピーター・ドナバン;マックス・カルビ（1970年）。 「局所係数を使用した段階的ブラウアー群と $K$ 理論」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。38 : 5-25 .
  2. ^ ツイスト K 理論の場合のこのような計算のガイドは、Emanuel Diaconescu、Gregory Moore、Edward Witten (DMW) による E8 Gauge Theory, and a Derivation of K-Theory from M-Theory に記載されています。
  3. ^ (DMW) は物理学者向けにスティーンロッド方陣の短期集中講座も提供しています。
  4. ^ ツイスト K 理論とコホモロジー。
  5. ^ Juan Maldacena、Gregory Moore、Nathan Seiberg著『D-Brane Instantons and K-Theory Charges』より。

参考文献

  • Strings 2002、マイケル・アティヤ講演、「ねじれたK理論と物理学」
  • ヴェルリンデ代数はねじれた同変K理論である（PDF）
  • リーマン・ロッホ公式とツイストK理論における指数公式（PDF）
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Twisted_K-theory&oldid=1280958026"