ツイスター理論

理論物理学において、ツイスター理論は1967年にロジャー・ペンローズによって量子重力への道筋として提唱され[ 1 ] 、理論物理学および数理物理学において広く研究される分野へと発展しました。ペンローズの考えは、ツイスター空間こそが時空そのものが出現する物理学の基本的な舞台となるべきであるというものでした。この考えは、微分幾何学、積分幾何学、非線形微分方程式、表現論、そして物理学においては一般相対性理論、場の量子論、散乱振幅理論に応用される強力な数学的ツールを生み出しました。

ツイスター理論は、1950年代後半から1960年代にかけてアインシュタインの一般相対性理論が急速に発展する中で生まれ、その時代から多くの影響を受けています。特にロジャー・ペンローズは、いわゆるロビンソン合同式の構築を通して、アイヴァー・ロビンソンがツイスター理論の発展に初期の重要な影響を与えたと評価しています。[ 3 ]

概要

射影ツイスター空間は 、最も単純な3 次元コンパクト代数多様体である射影 3 次元空間です。これは、スピンを持つ質量のない粒子の空間として物理的に解釈されます。これは、シグネチャ(2, 2)のエルミート形式と正則体積形式を持つ、 4 次元複素ベクトル空間である非射影ツイスター空間の射影化です。これは、ミンコフスキー空間の共形群SO(4,2)/Z 2のカイラル(ワイル)スピノルの空間として最も自然に理解できます。これは、共形群のスピン群SU(2,2)の基本表現です。この定義は任意の次元に拡張できますが、4 次元を超える次元では、射影ツイスター空間は共形群の射影純粋スピノルの空間として定義されます[ 4 ] [ 5 ] 。 [ 6 ] [ 7 ]PT{\displaystyle \mathbb {PT} }CP3{\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}T{\displaystyle \mathbb {T} }

ツイスター理論は、その本来の形式では、ミンコフスキー空間上の物理場を、ペンローズ変換を介してツイスター空間上の複素解析的対象で符号化する。これは、任意のスピンの質量のない場に対して特に自然である。まず、これらは、ツイスター空間の領域上の自由正則関数による線状積分公式で得られる。質量のない場の方程式の解を生み出す正則ツイスター関数は、の領域上の解析的コホモロジー類のチェフ表現としてより深く理解することができる。これらの対応は、ペンローズ非線形重力子構成[ 8 ]における自己双対重力や、いわゆるウォード構成[ 9 ]における自己双対ヤン–ミルズ場など、特定の非線形場に拡張されている。前者はの領域の基礎となる複素構造の変形を生じ、後者は の領域上の特定の正則ベクトル束の変形を生じる。これらの構成は、とりわけ積分可能系の理論を含む、幅広い応用がある。[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]PT{\displaystyle \mathbb {PT} }PT{\displaystyle \mathbb {PT} }PT{\displaystyle \mathbb {PT} }

自己双対性条件は、物理理論の完全な非線形性を組み込むための大きな制限であるが、ヤン・ミルズ・ヒッグス単極子とインスタントンには十分である（ADHM 構成を参照）。[ 13 ]この制限を克服する初期の試みは、アイゼンバーグ、ヤスキン、グリーンによるアンビットツイスターの導入[ 14 ]と、エドワード・ウィッテンによるその超空間拡張であるスーパーアンビットツイスターの導入であった。[ 15 ]アンビットツイスター空間は複素化された光線または質量のない粒子の空間であり、元のツイスター記述の複素化または余接束と見なすことができる。アンビットツイスター対応を適切に定義された形式的近傍に拡張することにより、アイゼンバーグ、ヤスキン、グリーン[ 14 ]は、そのような拡張されたヌルラインに沿った曲率が消失することと、完全なヤン・ミルズ場の方程式との間の同値性を示した。[ 14 ]ウィッテン[ 15 ]は、フェルミオン場とスカラー場を含む超ヤン＝ミルズ理論の枠組み内でのさらなる拡張により、N  = 1 または 2 の超対称性の場合には拘束方程式が生じ、 N = 3 (または 4) の場合には、超ヌル線 (超アンビットツイスター) に沿った超曲率の消失条件から、フェルミオン場の方程式を含む 完全な場の方程式が得られることを示した。これはその後、ヌル曲率拘束方程式と超対称ヤン＝ミルズ場の方程式の間に1-1同値性を与えることが示された。 [ 16 ] [ 17 ]次元削減により、10 次元のN  = 1 超ヤン＝ミルズ理論に対する類似の超アンビットツイスター対応からも同様に演繹される。 [ 18 ] [ 19 ]

自己双対セクターを越えた相互作用に対するツイスト公式は、ウィッテンのツイスター弦理論においても現れた[ 20 ]。これはリーマン面からツイスター空間への正則写像の量子理論である。この理論は、ヤン＝ミルズ理論のツリーレベルS行列に対する驚くほどコンパクトなRSV（ロイバン、スプラドリン、ヴォロビッチ）公式を生み出した[ 21 ]。しかし、その重力自由度は、その適用範囲を制限するコンフォーマル超重力の一種を生み出した。コンフォーマル重力はゴーストを含む非物理的な理論であるが、ツイスター弦理論によって計算されるループ振幅において、その相互作用はヤン＝ミルズ理論の相互作用と組み合わされる[ 22 ] 。

欠点はあるものの、ツイスター弦理論は散乱振幅の研究に急速な発展をもたらした。その一つがいわゆるMHV形式[ 23 ]で、これはゆるく切断された弦に基づいているが、ツイスター空間における完全なヤン＝ミルズ理論に対するツイスター作用の観点からより基本的な基盤が与えられた。[ 24 ]もうひとつの重要な発展はBCFW再帰の導入である。[ 25 ]これはツイスター空間において自然な定式化が可能であり[ 26 ] [ 27 ] 、これによってグラスマン積分公式[ 28 ] [ 29 ]と多面体[ 30 ]の観点から散乱振幅の注目すべき定式化がもたらされた。これらのアイデアは最近では正グラスマン多様体[ 31 ]とアンプリチューヘドロンへと発展している。

ツイスター弦理論は、最初に RSV ヤン＝ミルズ振幅公式を一般化することによって拡張され、次に基礎となる弦理論を見つけることによって拡張されました。重力への拡張は Cachazo と Skinner によって与えられ、[ 32 ]最大超重力のためのツイスター弦理論としてDavid Skinner によって定式化されました。[ 33 ]その後、Cachazo、He、Yuan によってヤン＝ミルズ理論と重力のすべての次元で類似の公式が見つかり[ 34 ]、続いて他のさまざまな理論でも見つかりました[ 35 ] 。その後、Mason と Skinner によって、元のツイスター弦を含む一般的なフレームワークでアンビトツイスター空間の弦理論として理解され[ 36 ]、多くの新しいモデルと公式を与えるように拡張されました。[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]弦理論として、それらは従来の弦理論と同じ臨界次元を持っています。例えば、タイプII超対称バージョンは10次元では臨界的であり、10次元におけるタイプII超重力の完全場理論と等価である（これは、さらに無限階層の質量を持つ高次スピン状態を持ち、紫外線完備化を提供する従来の弦理論とは異なる）。これらはループ振幅の公式を与えるまで拡張され[ 40 ] [ 41 ]、曲面背景上で定義することができる。[ 42 ]

ツイスター通信

ミンコフスキー空間を⁠ ⁠M{\displaystyle M}で表し、座標を、ローレンツ計量シグネチャをとする。2成分スピノル指数を導入し、 ×1つの＝（t、×、y、z）{\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}η1つのb{\displaystyle \eta_{ab}}（1、3）{\displaystyle (1,3)}あ＝0、1;あ′＝0′、1′、{\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}

×ああ′＝12（t−z×+私y×−私yt+z）。{\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}tz&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}

非射影ツイスター空間は、座標が で表される4次元複素ベクトル空間であり、 とは2つの定数ワイルスピノルである。エルミート形式は、 からその双対への複素共役を によって定義することで表すことができ、エルミート形式は次のように表される。 T{\displaystyle \mathbb {T} }Zα＝（ωあ、πあ′）{\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}ωあ{\displaystyle \omega^{A}}πあ′{\displaystyle \pi _{A'}}T{\displaystyle \mathbb {T} }T∗{\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}Z¯α＝（π¯あ、ω¯あ′）{\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}

ZαZ¯α＝ωあπ¯あ+ω¯あ′πあ′。{\displaystyle Z^{\alpha}{\bar {Z}}_{\alpha}=\omega^{A}{\bar {\pi}}_{A}+{\bar {\omega}}^{A'}\pi_{A'}.}

これは、正則体積形式とともに、コンパクト化されたミンコフスキー時空の共形群 C(1,3) の四重被覆である群 SU(2,2) の下で不変です。 εαβγδZαdZβ∧dZγ∧dZδ{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}

ミンコフスキー空間の点はツイスター空間の部分空間と入射関係によって関係づけられる。

ωあ＝私×ああ′πあ′。{\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}

入射関係は、ツイスター全体の複素再スケーリングの下で​​保存されます。このスケーリングは、光線⁠ ⁠Z∈PT{\displaystyle \mathbf {Z} \in \mathbb {PT} }に旗竿の範囲、旗面の方向、およびスピノリアルの符号を割り当てます。実数変換は、が形式（ は実数）を持つときは常に不変のままになります。したがって、変換によって点は光線 上の別の点に移動します。代わりに点を固定すると、⁠ ⁠でパラメータ化された直線が決定されます。 の場合、 は必然的に消え、対応する複素射影直線はヌルツイスター の 5 次元空間内にあります。非ヌルツイスターの場合、 は消えないため、実数解は存在しません。非ヌルツイスターは、スピンを持つ質量のない粒子として物理的に解釈されます。粒子の世界線と見なすことができる光線が特定されないため、非ヌルツイスターは時空に局在していません。 ×1つの→×1つの+q1つの{\displaystyle x^{a}\rightarrow x^{a}+q^{a}}Zα{\displaystyle Z^{\alpha}}q1つの{\displaystyle q^{a}}q1つの＝あなたπ¯あπあ′{\displaystyle q^{a}=u{\bar {\pi }}^{A}\pi ^{A'}}あなた{\displaystyle u}×{\displaystyle \mathbf {x} }Z{\displaystyle \mathbf {Z} }×∈M{\displaystyle x\in M}CP1{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}PT{\displaystyle \mathbb {PT} }πあ′{\displaystyle \pi _{A'}}×∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }ZαZ¯α{\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}P北{\displaystyle \mathbb {PN} }ZαZ¯α{\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}

バリエーション

スーパーツイスター

スーパーツイスターは、1978年にアラン・ファーバーによって導入されたツイスターの超対称拡張である。 [ 43 ]非射影ツイスター空間はフェルミオン座標によって拡張され、ここでは超対称性の個数であるので、ツイスターは反可換性を持つ によって与えられる。超共形群SU(2,2 | )はこの空間に自然に作用し、ペンローズ変換の超対称版は、スーパーツイスター空間上のコホモロジー類を超ミンコフスキー空間上の質量ゼロの超対称多重項に変換する。= 4の場合はペンローズのオリジナルのツイスター弦の標的となり、その場合はスキナーの超重力一般化の標的となる。 北{\displaystyle {\mathcal {N}}}（ωあ、πあ′、η私）、私＝1、…、北{\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}ηi{\displaystyle \eta ^{i}}N{\displaystyle {\mathcal {N}}}N{\displaystyle {\mathcal {N}}}N=8{\displaystyle {\mathcal {N}}=8}

クライン対応の高次元一般化

ツイスター理論の基礎となるクラインの対応の高次元一般化は、共形コンパクト化（複素化）されたミンコフスキー空間とその超空間拡張の等方性部分空間に適用可能であり、J. ハーナドとS. シュナイダーによって開発された。[ 4 ] [ 5 ]

ハイパーケーラー多様体

次元のハイパーケーラー多様体は複素次元のツイスター空間とのツイスター対応も許容する。[ 44 ]4k{\displaystyle 4k}2k+1{\displaystyle 2k+1}

宮殿のツイスター理論

非線形重力子構成は反自己双対、すなわち左利きの場のみを符号化する。[ 8 ]ツイスター空間を一般重力場を符号化するように修正する問題への第一歩は、右利きの場を符号化することである。極小的には、これらはツイスター関数または同次性−6 のコホモロジー類に符号化される。このようなツイスター関数を完全に非線形な方法で使用することによる右利きの非線形重力子を得る作業は、（重力）グーグリー問題と呼ばれている。[ 45 ] （「グーグリー」という言葉は、クリケットの試合で、通常は左利きのヘリシティを生じる見かけの作用を使用して右利きのヘリシティで投げられたボールを指すために使用される用語である。）ペンローズによる2015年のこの方向での最新の提案は、ツイスター空間上の非可換幾何学に基づいており、宮殿ツイスター理論と呼ばれている。[ 46 ]この理論はバッキンガム宮殿にちなんで名付けられました。そこでマイケル・アティヤ[ 47 ]はペンローズに、理論の重要な要素である「非可換代数」の一種の使用を提案しました。（宮殿のツイスター理論の基礎となるツイスター構造は、ツイスター空間ではなく、非可換正則ツイスター量子代数に基づいてモデル化されました。）

参照

注記

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参考文献

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  • Roger Penrose とWolfgang Rindler (1984)、「Spinors and Space-Time; vol. 1、Two-Spinor Calculus and Relativitic Fields」、Cambridge University Press、Cambridge。
  • Roger Penrose と Wolfgang Rindler (1986)、「Spinors and Space-Time; vol. 2、Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry」、Cambridge University Press、Cambridge。

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