2中心双極座標

2 中心双極座標。

数学において、二中心双極座標は、2つの固定された中心からの距離を与える2つの座標に基づく座標系である。^[1]この座標系は、いくつかの科学的応用（例えば、平面上の双極子の電界計算）で非常に有用である。 ^{[2] [3]}${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

直交座標への変換

中心が と にあるとき、二中心双極座標から直交座標への変換は ${\displaystyle (+a,0)}$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (r_{1},r_{2})}$

${\displaystyle x={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{4a}}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4a}}{\sqrt {16a^{2}r_{2}^{2}-(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}+4a^{2})^{2}}}}$ ^[1]

極座標への変換

x > 0のとき、二中心双極座標から 極座標への変換は

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2a^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\sqrt {r_{1}^{4}-8a^{2}r_{1}^{2}-2r_{1}^{2}r_{2}^{2}-(4a^{2}-r_{2}^{2})^{2}}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}\right)}$

ここで、極（座標系の中心）間の距離です。 ${\displaystyle 2a}$

アプリケーション

極座標プロッタは、2 つの中心を持つ双極座標を使用して、対象のイメージを描画するために必要な描画パスを記述します。

参照

• 双極座標
• 二角座標
• ベルヌーイのレムニスケート
• カッシーニの楕円
• デカルト楕円
• 楕円

参考文献

1. Weisstein, Eric W.「双極座標」。MathWorld。
2. R. Price、「周期的定在波近似：適応座標とスペクトル法」
3. 周期的定在波近似：非線形スカラー場、適応座標、および固有スペクトル法。